21.3實際問題與一元二次方程第3課時用一元二次方程解決幾何問題教學目標：1.能正確利用面積關系列出關于幾何圖形的一元二次方程.2.通過解決封面設計與草坪規劃的實際問題，學會將實際應用問題轉化為數學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐應用意識．3.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．教學重點：根據而積與而積之間的等量關系建立一元二元方程的數學模型并運用它解決實際問題.教學難點：根據而積與而積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型.教學過程：一、復習引入【問題】1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？2.正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？3.梯形的面積公式是什么？4.菱形的面積公式是什么？5.平行四邊形的面積公式是什么？6.圓的面積公式是什么？【設計意圖】復習一些簡單幾何圖形的面積公式，為繼續學習建立一元二次方程的數學模型并解決幾何圖形問題作好鋪墊．二、探索新知探究3如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？（精確到0.1cm）【分析】(1)本題中有哪些數量關系？(2)如何理解“正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形”？(3)如何利用己知的數量關系選取未知數井列出方程？(4)解方程并得出結論，對比幾種方法各有什么特點？【解答】依據題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的．所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm．【師生活動】教師提出問題學生分組，分別按問題（3）中所列的方程來解答，選代表展示解答過程，并講解解題過程和應注意問題．在活動中，教師應注意：（1）學生對幾何圖形的分析能力；（2）學生在未知數的選擇上，能否根據情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）學生回答問題時的語言表達是否準確．【設計意圖】使學生通過多種方法解幾何圖形問題，驗證多種方法的正確性；通過解題過程的對比，體會對已知數量關系的適當變形對解題的影響，豐富解題經驗．三、應用拓展例.如圖，我校為綠化校園，準備在長32米，寬20米的長方形場地上修筑若干寬度相等道路，余下部分種植草坪,草坪的總面積為540平方米.以下是三種設計方案，求各方案中道路的寬是多少米？請你設出未知數，列出方程.直觀展示：多媒體動態展示兩種不同的道路移動方法.探究歸納：通過移動圖形來化“分散為整體”、利用面積公式建立一元二次方程模型是本節課的難點.練習：如圖，某中學為方便師生活動，準備在長30m，寬20m的矩形草坪上修兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為3:2，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應為多少？【師生活動】學生分組討論，畫圖，上臺演示．教師與學生一起評價，總結圖形變換的基本原則．四、反饋練習1.在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖（2）所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=02.如圖，是寬為20米，長為32米的矩形場地，要修建互相垂直的兩條道路，縱向道路與橫向道路的寬度比為3：2，要使剩余場地的面積為570平方米.（1）由題意，可設縱向道路寬為：________米，則橫向道路寬為：___________米；（2）可列方程為：___________________________.3.剪一剪、拼一拼、移一移：如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上下底分別為100米、180米，高為80米，在兩腰中點連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各條甬道的寬度相等，甬道面積是梯形面積的六分之一，甬道的寬為多少?五、課堂小結解應用題的步驟是：_____________________________________________列方程的關鍵是：_______________________________________________解決面積問題常用的方法是：____________________________________我還收獲了：________________________________________________________________