第2章離散時間信號與系統

1

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(3)x(n)=e*8

解:⑶令

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8

T=16n\7r

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x(n)=e8不是周期序列

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一

〃〃〃（此題按照周期序列的定義求解）

1（8）.?〃）二2cos4;:+sinL-2cosL

486

解：此序列周期為48.

2

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2(15)—，〃(一〃—1)

解：①〃=0時，女〃）=0,系統具有因果性和穩定性。

②〃工0時，

因果性：由于〃《-1時，火〃）工0,故為非因果系統;

-00+8-1

穩定性；s=￡?火〃)|=￡］，〃(〃卬=￡I”

7X-OC/A=-XZZ="0C

I">1忖，s<+8,為穩定系統；

z7<llhf,S->+oo,為『穩定系統。

（16）]<；〃（〃）；（注意：此處/為虛數符號，不是變量！）

解：I大1果性：〃<0H寸,h（n）=0時,為因果系統；

—00+00/?、“XC?"

穩定性:s二Zl"（〃）l=Z~〃（〃）=z".為穩定系統。

//=-X//=-XV-//7=o-

3

3.確定系統穩定、因果、線性、非時變性。

(2)T[x(n)]這x(k)

k=n0

(4)T[x(n)]=x(n-n0)

(6)r[x(/?)]=ax(n)+b

(8)71x(〃)]二/(〃)

(l())T[x(/?)]=x(〃)sin(|m+g)

36

(2)解：①線性：設，

x(n)=ax[(n)+bx2(n)

)，(〃)=71x(〃)]=T[axx(〃)+bx2(n)]

=￡ar1(n)+ax2(n)

/I〃

一a￡$(〃)+bXx2(n)

*=?ok=no

=ayi(n)+by2(n)

???該系統是線性系統

②時變性：

n-m

y(n-m)=>%伙)*T[x(n-m)]

A="o

?.?該系統是M變系統

③穩定性：若

),(〃)=71x(〃)]=￡](%)4

k=n0k=n0

找不到一個常數，使得，故系統不穩定。

④因果性：只與時刻以及時刻之前的輸入有關，故該系統是因果系統,

(4)①線性：設

)，(〃)=T[x(n)]=T[axl(n)+bx2(n)]

=ar,(〃一〃°)+bx2(n-n0)

=ay](n)+by2(n)

???系統是線性的

②時變性：

-M-m-H0)=T\x(n-m)]

該系統為非時變系統。

③穩定性：若

則y(〃)=x(〃-〃())<M

:.系統是穩定的。

④因果性：

時，系統的輸出只與該時刻及之前的輸入有關，系統為因果系統。

時，系統為非因果系統。

(6)①線性：設

T[x(n)]=a[Ax}[n)+Bx2{n)]+b

=aAx](〃)+aBx2(n)+h

工A[ax1(〃)+/?]+B[ax2(n)+b]

=Ay](n)+By2(<n)

???故系統為非線性系統。

②時變性：

/

T[x(n-rn)]=y(n-m)

???系統為非時變系統。

③穩定性：若則

y(〃)=ax{n}+〃〈同M+〃

???系統是穩定的。

④因果性：只與nE寸刻及以前輸入有關，故系統是因果系統。

(8)①線性:設

22

T[x(n)]=x(/r)=ax[(n)+bx2(n)=ay\(n)+by2(n)

???系統是線性的。

②時變性：：

T[x(n-m)]=x[(n-m)2],y(n-m)=x[(n-m)2]=T[x(n-m)]

系統是時不變的。

③穩定性：若則

y(n)=x(/?2)<M

???系統是穩定的

④因果性：

當或時，與n時刻以后的輸入有關，故系統是非因果的。

3(9)7卜[〃)]=￡；.?才)；(此題按照系統各個性質的定義求解即可)

才=-00

解：非穩定、因果、線性、非時變系統；

.271

(10)T[x(ri)]=x(n)sin(—nn+―)

36

①線性：設

27V

T[x(n)]=[叫(〃)+bx(n)]sin(—萬〃+—)

236

.、..27t...271

=or1(n)sm(—7rn+—)+bx(n)sin(—nn+—)

36236

=叫(〃)+勿，2(，)

，系統是線性系銃。

②時變性：

T[x(n-tn)]=x(n-/zz)sin(—+—)

36

.2471

y(n-m)=x(n-m)sin[——(n-ni)4——]wT[x(n—nij]

36

???系統是時變系統

③穩定性：若均

27T

則)，(〃)=x(〃)sin(—加+―)<M

36

?.?系統是穩定的

④因果性：

只與時刻以及以前的輸入有關，故系統是因果的.

-W0

(11)/卜⑨卜小(此題按照系統各個性質的定義求解即可)

^=-<x

解：非穩定、非因果、非線性、時變系統:

(12)T[x(n)]=nx(n)

①線性：設

T[x(n)]=n[axl(〃)+bx2(?)]=anx[(〃)+bnx2(n)=ayt(n)+by2(n)

???系統是線性的

②時變性：

T[x(n-tn)]=nx(n-m)

y(n-〃z)=(〃-rn)x(n-m)H71M〃-Ml

???系統是時變的

③穩定性:若，均,則

找不到一個常數，使得，

???系統不穩定

④因果性：

只與n時刻以及之前輸入有關，故系統是因果系統。

4

4.已知力(〃)=］茂7",4〃)=｛n魯",求可〃)=*力(〃)

-HX

解：1(〃)=.4〃)*/>(//)=Z.(〃)力(〃一7〃)

Z7=1X

若要M〃)HO,則｛岸…=｛黑小

分情況討論：

①〃<〃o時，1不〃)=0

@n-N<z/o<〃，即4<〃<生+兒時，''(〃)二￡pi4”

加=々

③〃0?〃一工,即〃2%+加時，.1(〃)二￡piaf

m=n_N4

7

7.己知力(〃)=/〃(〃),其中Ov|水1H")={?鬻T,求H〃)=M〃)*"(〃)

田

解：i(〃)=.《〃)*力(〃)=Z火〃/).?〃-/〃)

若要?1、("/)工0,貝IU2￡〃一ZV小S八一,11=>({Z武T-A+卬1SZ亦VS〃ZZ

分情況討論：

lJ/7<0lbf,,-(//)=0

〃1-z/+11

②〃一及+iwow〃，即ow〃"一1時，.】(〃)=y^=------=——

m=Q1一〃1一〃

③〃一兒+1>0.即〃2及一1時，.《〃)=￡cT=(-----'=------

m^N.\1一〃1一〃

9

(2)一(0.5)"〃(一〃一1)

+OC>00-14-X

解：X(z)=￡.?〃):-〃=￡一(0.5)"〃(一〃—1)「=一￡(0.5)"="=一￡(2二)〃

n—xzr-oozz-1

3-1

當|2，＜1即目〈人時，1（二）收斂，此時1（二）二」^，零點=。二0,極點=/二L

22二一12

故此序列的收斂域為日＜；,零點二.二0,極點二〃二;

(4)(0.5)[〃(〃)-〃(〃-10)]

產產991

解：X(z尸ZM〃L"=Z(0.5)〃[〃(〃)-〃(〃-10)]L=Z(05)Y"=Z(7T)"

n-?"0mO乙?

l-（y-）10。-尸一］

當目=0時，才（二）收斂，此時.丫（二）二一至一二上?-----，求得零點

11

1,（±）（2二）二2:-1）

"二;/京―（其中k=l.…9,注意：k=0時z0=0.5.此項與分母中的（2z-l）消掉）,

有一個9階極點二夕=0。

故此序列的收斂域為百工0，零點二0='J」，（k=l,---9）.9階極點二夕=0.

p

(8)Aicos(o0/z+?)〃(〃),0</,<1

fln

解：X(z)=ZM〃)二二ZAjcos((y0//+0)〃(〃)二"=Zcos(ro0//+(p)z~

n?-ocZM-X加0

-K?

zr=Ozr=O

當H%二平出,八二］＜i時，i（二）收斂，得到憶|＞人

rcos<p-7-cos(o0-</))

此時-r(r)=-(-I(二一//例)(二求得零點

21…例）

rcos(?-(p)

0有2個極點“心,二p?=N.

COS0

故此序列的收斂域為目〉/，零點二“二黃詈魚，極點％”

(10)—//(//)

//!

■??CO1田1

解：x(z)=z.?〃)尸二z1〃(〃);—"=Z-；二-"二，

n-oczr-OD〃??0〃?

故此序列的收斂域為不包含原點的整個復平而，極點二2=0,無零點。

（12）—,//＞1,（提示：求導）

〃

產產1

解：x(z)=ZM〃)二一"二Z一二

n=yn=\〃

對X⑵求一階導數得X(z)=?三二"1

n-l

當二7＜1即目＞1時，1'(二)收斂，此時11)二一一一二七一一—

1一二zz-\

對X(z)求積分得X(z)=jX(z)=j—-j=Inj-lii(r-l)=hi—

則有2個極點》=0,今2=1，無零點.

故此序列的收斂域為目＞1,極點二十0.%二1，無零點.

10

10已知X(z),求x(n).

(1)X(z)=2—\z\>\

i+-z-]+-z-2

48

解:化簡X(z)得:

43

X(z)=

1+-Z-11+-Z-,

24

由上式可知X(z)有兩個極點Z[=-呆2=-7設工(〃)"(〃)+/2(〃)

.小(〃)和X2(〃)都是右邊序列

內(〃)=4(一；)"〃(〃)

?(〃)=-3(-；)""(〃)

于是x(n)=4(--)"〃(〃)一3(-

24

(2)X(z)=------：--------|z|>|4例

。—一7)(1-慶7)

解:化簡X(z)得:

由上式可知X(z)有兩個極點Z1=-a,z2=一/?,設工(〃)=菁(〃)+匕(〃)

舊》同，網

.??X(〃)和々(〃)都是右邊序列

%(〃)=—^7〃"〃(%)

a-b

于是x(n)二人(a*-夕句)〃(〃)

...、1—ciz1II1

(3)X(z)=———\z\>-

z-aa

解：化簡X(z)得：

由上式可知X(z)有一個極點z=a~\

為右邊序列

又?.修(〃)/變先＞1

于是x(〃)=(a——)a~nu(n)-a3(n)

a

(4)X(Z)=1<|z|<2

解：化簡X(z)得:

X(z)=——

l-2z_,l-z-,

由上式可知X(z)有兩個極點Z[=1*2=2,設X(")=x](n)+x2(n)

*/1<|z|<2

.?.±5)為右邊序列，/(〃)為左邊序列

%(〃)=_〃(〃)

X2(〃)-2?—2"u\—n—1)

于是x(n)=-u(n)-2"+i?(-??-1)

z-5

⑸X(z)=0.5<|z|<2

(l-0.5z-')(l-0.5z)

解：化簡X(z)得:

46

X(z)=

l-2z-1l-0.5z-1

由上式可知X(z)有兩個極點Z]=2,z2=0.5,設必?)=%(〃)+々5)

0.5<|z|<2

為左邊序列，/(〃)為右邊序列

%(〃)=-42"〃(一〃一1)

x2(/?)=一60.5"〃(〃)

于是x(n)=—4?2"〃(—〃—1)—6,0.5"〃(〃)

1

(6)X(z)=|z|<l

(l-z-'Xl+z-1)

解：化簡X（z）得:

X(Z)=-(^-r+—!-r)

21-z-11+z-1

由上式可知X(z)有兩個極點Z[=l,z2=-1,設x(〃)=%(〃)+占(〃)

V|z|<1

X](")和/(〃)均為左邊序列

=-1)

M

x2(?)=-—?(-1)w(-7?-l)

于是x(〃)=M(〃)+玉(〃)=-〃(一〃一1)(/?=2k,kGZ)

(10)X(9=------7------,H>2

(r-l)2(r-2)11

解:利用留數法:

由逆z變換定義：M〃）二一一匚丫（二）/區

2里/J-

/式二）有一個二階極點%=1,一個一階極點二月二2

根據留數定理得：.丫（〃）=㈢尸在C內的極點P,上的留數］

=Res[尸(二).1]+Res，(二),2]

=2〃—〃—1(n=0.1,2....)

=2〃—zz—1(11=0,1,2)

=（2〃一〃一1）//（77）

(11)1(二”一字~7.2<|r|<3

1+二一】-6三2，II

解:利用部分分式法:

由于收斂域為2＜目＜3,則

M〃)=2^//(//)+(-3)*〃(-〃-1)

14

14.為實因果序列，其傅里葉變換實部為，求及其傅里葉變換。

解：由于序列的共枕對稱分量的傅里葉變換等于序列傅里葉變換實部，故

he(n)=IDTFT(H

=＜y(77)+—J(z?-1)+—+1)

22

h(n)為實序列.?./??(-〃)=力(一〃)

為因果序列，所以，

4(〃)=g[〃(〃)+4*(-〃)]

=g[/?(〃)+〃(-〃)]

=5(〃)+48(〃-1)+』3(〃+1)

22

當時，上式化為：

222

/?(/?)=25(〃)+b(〃-1)+旗〃+1)

-1)

當時，

/.h(n)=3(〃)+-1)

其傅里葉變換為:

序列的傅里葉變換的定義和性質

[例2卜若序列h(n)是實因果序列，其德立葉變換的實部為

jw

HR(e)=l+cosw,求h(n)及其H?w).

00

解???HR(ejw)=FT[he(n)]=1+0.5W+0.5e~^=^he(n)eM

0.5n=-1

/.he(n)="1n=0根據實因杲序列特性，h(n)=he(n)U+(n)

-0.5n=1

,0,n<0f1n=0

h(n)="he(0),n=0=-1n=1

2he(n),n>00其它n

根據仲立葉交換定義，H@w)=FT[h(n)]=Zh(n)e"wn=i+?jw

n=-oo

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15

15.為實因果序列，其傅里葉變換虛部為，求及其傅里葉變換。

方法1：

解：序列的共枕反對稱分量的傅里葉變換為序列的傅里葉變換的虛部，所以

1

4⑺=/。用以(，町=2雙〃T)一次〃+D]

是實因果序列，故

1/?(〃)=(),〃<0

Ih*(-n)-h(-n)

于是

=^lh(n)-h(-n)]

=3隆(〃-1)-3(〃+1)]

得

〃⑴=i

<//(0)=C

/?(〃)=0,n>1或〃<0

其傅里葉變換為F[h(n)]=C+e~JM

方法二：

若序列h(n)是實因果序列,h(O)=l,其傅旦葉變換的虛部為:HI(ej()=-sin(，求序

列h(n)及其傅里葉變換H(ej()o

答：

1

H,)=-sin<y=--(*-1)

rT[h0(〃)]=jH,(e2)=-1(e加-e-加)=￡%(〃)△'"'

乙M="O?

1

--

2,n=-\

%0

〃=()

1

-

2,〃=1

0,z?<0

h(n)={/?(〃)，〃=0

2h〈Qi),n=1

I,71=0

=<1,n=1

0,其它

"(〃&)=￡/?(〃)"/.=1+e-a=2e~j6),2cos-

n="oc2

17

(1)

一個因果線性非移變系統用如下差分方程表示

y(n)=y(n-1)+y(〃-2)+x(n-1)

①求系統函數，并畫出零、極點圖。

②求系統的單位樣值響應力(〃)。

如果這個差分方程表示的是個穩定的線性非移變系統(但非因果)，求系統的單位?樣值

響應。

解：

①對差分方程兩邊進行z變換可得：

z

求得系數函數為：H(z)=-

1—z-z-2~~~1+同,~~1-二、

(z——--)(z——--)

22

1

i+Ji

,|z|>

1+7行1-V52

z------------z—一

22

系統函數的零、極點圖

點

o等

點

X極

T

P

D0.5

A

J

P

&U

CED

一-0.5

-1卜一..'.?，入”.j.、.

-0.500.5

RealPart

②由系統函數及其收斂域可得：

③如果該系統為穩定系統，則系統函數的收斂域包含Z平面中的單位圓，因此其收斂域

為：

從而得到對于的系統的單位樣值響應為：

h(n)=-1+")”u(-n-1)1Zl-V5

2Vs2

(2)

9伽)+:?伽-1)=人(同)+；雙月-1)

(1)求系統函數H(Z)的收斂域;

(2)求該系統的單位取樣響應;

(3)求該系統的頻率響應。

解：(I)對差分方程兩端進行Z變換，可以得到

y（z）」y（z）z，=x（z）+U（z）z」

42

則系統函數E（2）為

y（z）

耳(Z)=

所以其收斂域（ROC）為

（2）系統的單位取樣響應是系統函數/的逆Z變爽，由（1）結果知

y(z)/+#[i?拉"

H(Z)=

X(Z)1+lz-11+lz-1

AAA

又由于

ROC\Z\>1

ROC:\Z\>a

所以

勛）=信)〃⑷儀T)

（3）系統的頻率響應

月（m（z）g2

1

i+L-“

4

18

18求以下線性非移變系統的單位沖激響應，并判斷它是否為因果系統，是否為穩

定系統.

(1).F(〃一1)一??〃)+.1(〃+=

對方程兩邊同時取Z變換得:2”（力一”其力+閉力=）⑶

則仃H?二9=——-=-—J—

?】"）-3一81-3廣,_l.i

??一X4V

33）

則〃（二）有兩個極點:，=3,二月=；?

1?(1\

?]4<A,h(n)=--3---//(-//-l),系統為非因果非穩定系統;

38\3；

_3〃〃(_〃_1)_弓

②！<目<3,h(n)=1〃（〃），系統為非因果穩定系統;

3o

2(I\

③目〉3.h(n)=-3〃--//(//).系統為因果北穩定系統.

8k3/

（2）,?〃一1）一；,1（〃）+.1（〃+1）=M〃）

一

對方程兩邊同時取Z變換得：二-1?（二）-；八二）+二八二）二1（二）

則有，（二）=9=1211

1（二）

則〃（二）仃兩個極點:二產2,

產人X-7

2

?M<|h(n)=--2"-//（-//-1）,系統為非因果『?穩定系統:

3

2

@—<|.|<2.11(11)=--2"〃(-〃-1),系統為佳因果穩定系統;

2

③目>2,h(n)=—〃（〃），系統為因果非穩定系統.

19

一個因果線性非移變系統的系統函數為

a）

,實數

a應滿足什么條件？系統是穩定的。

（2）在z平面用幾何方法證明該系統是個全通濾波器（即系統的幅頻特性為一個

常數r

（3）把與另一個系統級聯起來，使整個系統函數等于1。設，且為一個穩定系統，求系

統的單位樣值響應。

解：①當a<l時，收斂域包含單位圓，從而系統是穩定的。

②證明：系統的零、極點圖如下所示，圖中C表示零點,D表示極點,A表示Z平面單位

圓上任意一點。

由圖可得：

因為A為單位圓上任意一點，因而有

則上式可化簡為

，1I1八.2\

x2+y2--x+--y1——x+—r—r(l-2ov+67)

2

|H（^）|=-L==~j0=Jaa=Ja*___________

211

yjx+y-2ax+aY1-2ax+a\1-lax+a

故該系統是個全通濾波器。

zaz_i

③由題意可得“（2）二」^=-i-2

z-az-az-a

/（Y"?￡Ti

u(n—1)

第3章離散傅里葉變換及其快速算法

1.如題圖3.1所示，序列是周期為4的周期序列，求求其傅里葉級數的系數。

解；由圖可知；

x(0)=2,i(l)=L尤(2)=0,尤(3)=1,N=4

.-j—nk-j—nk-j—Jt-j—k冗

222

N(A)=2比(〃)e丁=2*(")e=2+e+e=2+2cos—女

n=0n=02

可得：X(0)=4,X(l)=2,X(2)=0,X(3)=2

2.

計算周期序列文(〃)的傅里葉級數的系數x(k)o

解：由序列文5)可知其周期N=4,

/V-1.2左3EL宗L.37

N(A)=Z*(〃)e'11=￡無(〃)e'21=j+J'二/e""+e'2

n=On=O

兀

=j+2cos—Z:-jcos7ik

可得：%(())=2,X(l)=2j,X(2)=-2,X⑶=2/

3

3.設.《〃)=々(〃),網〃)=乂(〃))6，試求上(才)，并做圖。

解：耳〃)如圖所示：

A-〃)

?m匚?m匚二

01234567S91011

5,k-6〃

.5乃,

?%-心■加5展初二展公\-e~我上sin~T左

1(#)=2￥3[網〃)]:工邊')6"=￡網〃)e?二工6?，

e3----，左=6〃

1-e二r>

sin—/■

6

山木)|如卜?圖所示：

4

〃,04〃05--

4.設H〃)=1c.....>叔〃)=4(〃-2),令何〃)=.?(〃))6，力(〃)=砥〃))6.試求回〃)與力(〃)的周期

0.具他n

卷積，并做圖。

AM?

解：y(//)=Z$(/〃)%(〃-")

y（”）

[10.//=0

14.//=1

曰-!12,//=2

y(〃)=￡網〃，)力(〃一/〃)=￡網〃，)力(〃一/〃)={_

AOg015〃;J

8,〃二4

、6,〃=5

5

5.試求下列有限長序列的N點DFTo

(1)x(/i)=0<n(i<N

(2)x(n)=nRN(n)

(3)*〃)=，％(〃)

解：（1）

N-\,N-lI_N+(N-I)M

⑵X(幻=ZY(，)W：=?W；=

〃=0〃=0a-閱y-

“，皿，1_

6

6.已知27Z7[M〃)]=試求DFT[X(k)].

AM

解：IGO=勿71M〃)]=ZM〃)廳.0wk<N-\

zr-0

iN-\

M〃)二IDF7\X^二一Z.1'"-)4",0<//<TV-1

八7AO

3-1]3M

則47711(#)]=Z*(才)=yVx[—^.r(^)/^]*=NX.?、—〃)

mO/V加0

7

7.設有兩個序列=和"〃)=<5(//-2),試畫出它們的六點圓周卷積.

0,其他n

5,77=0

6,〃=1

W-11,〃=2

解:y(〃)=.《〃◎(〃)=￡.r(〃/)今(〃-〃/))“&.(〃)=<

種02.〃=3

3.〃二4

4.7/=5

5

8

8.設序列M〃）為N點有限長序列，M〃）的傅里葉變換為“產）,試用1（/）表示下列序列的傅

里葉變換:①M2〃）；②.（）；③/（〃）；

解：已知1（"*）=2>"7|4〃）］=工》（〃,內"，.1（〃）=一￡而

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