10.3.2隨機模擬1.掌握隨機模擬試驗出現的意義.2.會用隨機模擬試驗求概率.重點：隨機模擬的基本過程難點：隨機模擬的應用

學習目標

我們知道，用隨機試驗或利用信息技術可生成隨機數.實際上，根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了.

思考：用頻率估計概率,需要做大量的重復試驗.有沒有其他方法可以替代試驗呢?

例如

對于拋擲一枚質地均勻硬幣的試驗

用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.這樣不斷產生0、1兩個隨機數，相當于不斷地做拋擲硬幣的試驗.我們可以讓計算器或計算機產生取值于集合{0，1}的隨機數；

又如

一個袋中裝有2個紅球和3個白球,這些球除顏色不同外沒有其他差別.對于從袋中摸出一個球的試驗,我們可以讓計算器或計算機產生取值于集合{1，2，3，4，5}的隨機數，用1、2表示紅球，用3、4、5表示白球.這樣不斷產生1～5之間的整數隨機數，相當于不斷地做從袋中摸球的試驗.下表是用電子表格軟件模擬上述摸球試驗的結果,其中n為試驗次數，

為摸到紅球的頻數，

為摸到紅球的頻率.fnn102050100150200250300n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)0.60.350.40.450.440.3850.4160.39畫出頻率折線圖如下從圖中可以看出：隨著試驗次數的增加，摸到紅球的頻率穩定于概率0.4(從5個小球中任取一個球是紅球的概率為2/5=0.4)

利用計算器或計算機產生的隨機數來做模擬試驗,達到快速進行大量重復試驗的目的，從而用頻率來估計概率,我們稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.

例3

從你所在班級任意選出6名同學，調查他們的出生月份，假設出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.設事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設計一種試驗方法，多次模擬，估計事件A發生的概率.

模擬分析:根據題意，每個人的出生月份在12個月中是等可能的;

而且相互之間沒有影響，所以觀察6個人的出生月份可以看成可重復試驗.

方法1：用隨機試驗生成隨機數進行模擬：

在袋子中裝入編號為1，2，…，12的12個球，這些球除編號外沒有什么差別,每個小球被摸到都是等可能的；

有放回地隨機從袋中摸6次球，得到6個數代表6個人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗.

如果這6個數中至少有2個相同，表示事件A發生了.

重復以上模擬試驗分別進行20次、40次、60次、100次...就可以統計出事件A發生的頻率.

方法2:利用計算機電子表格軟件模擬試驗：

（1）利用計算機軟件生成6個隨機數，代表6個人的出生月份，則完成一次模擬試驗；

（2）用計算機形成n組隨機數組，即相當于做n次重復試驗；

（3）統計其中有相同數的頻率，得到事件A的概率的估計值.

產生20組隨機數組，相當于做了20次重復試驗.

每列6個數字有重復數字出現就說明事件A發生，類似圖中的紅色區域。

我們可以看到事件A發生了14次,則事件A的頻率值為0.7.

該表是40次模擬試驗的結果.20次試驗20次試驗

事件A發生了35次，事件A的頻率值為0.875.

該表是60次模擬試驗的結果.20次20次20次

事件A發生了48次，事件A的頻率值為0.8.

該表是100次模擬試驗的結果.20次20次20次20次

20次

事件A發生了79次，事件A的頻率值為0.79.

概率計算：設事件A=“至少有兩人出生月份相同”，任選一人，他的出生月份有12種等可能的結果。那么調查6個人的出生月份的樣本空間包含

個等可能的樣本點。事件A的對立事件為

=“6個人出生月份各不相同”，則

包含其中

個樣本點。所以

例4

在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中,運動員甲和乙進入了決賽（三局兩勝制）.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率.

模擬分析:設事件A=“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”，則P(B)=0.6。

由于甲和乙獲勝的概率比為3：2，不妨用計算器或計算機產生1～5之間的隨機數。

不妨設出現隨機數1、2或3時,表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6由于要比賽3局,所以每3個隨機數為一組.

產生20組隨機數組，相當于做了20次重復試驗.其中3個數中1、2、3至少出現2次說明事件A發生，如圖中的紅色數組。我們可以看到事件A發生了14次,用頻率估計事件A的概率的近似為產生100組隨機數組，相當于做了100次重復試驗.其中事件A發生了67次,用頻率估計事件A的概率的近似為產生200組隨機數組，相當于做了200次重復試驗.其中事件A發生了130次,用頻率估計事件A的概率的近似為

概率計算：設事件A=“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”則P(B)=0.6

奧運會羽毛球比賽是3局2勝制，甲獲得冠軍的結果可能是2：0或2：1，即甲連勝2局或在前2局中贏一局輸一局，并贏得了第3局。

則

在設計隨機數模擬試驗時應注意：

（1）待選整數個數與每個因素的可能結果相關；

（2）將待選整數按比例分配來表示各個結果；

（3）當每次試驗結果需要K個隨機數表示時,要把這K個隨機數作為一組來處理.

1．隨機數模擬試驗的步驟：

（1）設計模擬試驗；

（2）進行模擬試驗，收集數據；

（3）分析試驗數據，得到頻率，用頻率估計概率.

2．產生隨機數的常用方法：

（1）用隨機試驗生成隨機數；

（2）利用計算器或計算機產生隨機函數RANDBETWEEN(a，b)，可以產生從整數a到整數b的取整數值的隨機數．

3.在設計隨機數模擬試驗時應注意：

（1）待選整數個數與每個因素的可能結果（數）相關；

（2）將待選整數按比例分配來表示各個結果；

（3）當每次試驗結果需要K個隨機數表示時,要把這K個隨機數作為一組來處理.1.已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8.現采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器產生0～9之間取整數值的隨機數，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；因為射擊4次，故以每4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果．經隨機模擬產生了20組隨機數：5727029371409857034743738636964714174698

0371623326168045601136619597742467104281據此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.70 B．0.75C．0.80 D．0.85

解析：該射擊運動員射擊4次至少擊中3次，相當于每組隨機數中2～9至少出現3次，數一數20組隨機數有15組數滿足，故概率的估計值為0.75.2.拋擲兩枚質地均勻的正