第09講正多邊形與圓（知識清單+4大題型+好題必刷）題型匯聚題型匯聚題型一正多邊形和圓的綜合題型二求正多邊形的中心角題型三已知正多邊形的中心角求邊數(shù)題型四尺規(guī)作圖——正多邊形知識清單知識清單知識點1．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．題型練習(xí)題型練習(xí)【題型一】正多邊形和圓的綜合【例1】（2425九年級上·江蘇宿遷·期末）半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】正多邊形和圓的綜合【詳解】解：如圖：正六邊形由6個等邊三角形組成，故選：A．【舉一反三】【答案】C【知識點】正多邊形和圓的綜合【分析】本題主要考查了正多邊形的外接圓和正多邊形圓心角，圓周角定理等知識點，解決此題的關(guān)鍵是要畫出正多邊形的外接圓．【詳解】解：如圖，作正邊形的外接圓，故選項A，B，D錯誤，不符合題意；選項C正確，符合題意；故選：C．2．（2425九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）用長的籬笆圍成正三角形或正方形或正六邊形的綠地，其面積分別為，，，用“”號把，，連接起來為．【知識點】正多邊形和圓的綜合∵正方形的邊長為，【知識點】正多邊形和圓的綜合、用勾股定理解三角形【題型二】求正多邊形的中心角【例2】（2425九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）一個正邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，則可取的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【知識點】求旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角度、求正多邊形的中心角【分析】本題考查正多邊形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)題意，分別計算等于各選項值時的中心角，逐項判斷即可得到答案，熟記正多邊形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)后對稱是解決問題的關(guān)鍵．∴此時正多邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，故項錯誤，不符合題意；∴此時正多邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，故項正確，符合題意；∴此時正多邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，故項錯誤，不符合題意；∴此時正多邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，故項錯誤，不符合題意；故選：．【舉一反三】A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【知識點】求正多邊形的中心角、已知正多邊形的中心角求邊數(shù)【詳解】解：如圖，連接，正六邊形與正方形，故選：．2．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）正五邊形的一個中心角等于度．【答案】【知識點】求正多邊形的中心角故答案為：【知識點】正多邊形和圓的綜合、求正多邊形的中心角∵該六邊形為正六邊形，【題型三】已知正多邊形的中心角求邊數(shù)A． B． C． D．【答案】D【知識點】正多邊形和圓的綜合、已知正多邊形的中心角求邊數(shù)、圓周角定理【詳解】解：連接，，∵、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，∴點、、、在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，故選：．【舉一反三】1．（2324九年級上·江蘇徐州·期中）如圖，是內(nèi)接正六邊形的一邊，點在弧上，且是內(nèi)接正八邊形的一邊．此時是內(nèi)接正邊形的一邊，則的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【知識點】已知正多邊形的中心角求邊數(shù)、求正多邊形的中心角【詳解】解：連接，∵是內(nèi)接正六邊形的一邊，∵是內(nèi)接正八邊形的一邊，故選：D．2．（2024·江蘇泰州·一模）如果一個正多邊形的中心角等于，那么這個正多邊形的對稱軸共有條．【答案】【知識點】求對稱軸條數(shù)、已知正多邊形的中心角求邊數(shù)【分析】本題考查了正多邊形與圓，對稱軸數(shù)量問題，先求得正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而根據(jù)對稱性求得對稱軸數(shù)量，即可求解．∴這個正多邊形為正五邊形，每個頂點與其對邊中點的連線所在的直線為對稱軸，共5條對稱軸，故答案為：．【知識點】已知正多邊形的中心角求邊數(shù)、旋轉(zhuǎn)綜合題(幾何變換)∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補(bǔ)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型四】尺規(guī)作圖——正多邊形【例4】如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對【答案】D【知識點】尺規(guī)作圖——正多邊形、正多邊形和圓的綜合【分析】甲的做法可根據(jù)對角線垂直平分可得到菱形，從而可得到多個等邊三角形和各邊和各角相等，乙的做法根據(jù)等邊三角的內(nèi)角是60°，求出其他等邊三角形，從而得出各邊和各角相等【詳解】甲：∵BF是中垂線

∴四邊形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等邊三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等邊三角形，同理可得△OCD,△OED也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形故選D【點睛】本題關(guān)鍵是想辦法求出多個等邊三角形，從而得到六條邊，六個角也相等【舉一反三】1．如圖，、、是上順次三點，若、、分別是內(nèi)接正三角形、正方形、正邊形的一邊，則．【答案】12【知識點】尺規(guī)作圖——正多邊形【詳解】如圖，連接OA、OC、OB．∵若AC、AB分別是內(nèi)接正三角形、正方形的一邊，∴12，故答案為：12．【點睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，一次連接各分點所得到的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓，熟練的掌握正多邊形的有關(guān)概念是解答本題的關(guān)鍵．2．僅用無刻度的直尺，按要求畫圖(保留畫圖痕跡，不寫作法)(1)如圖①，畫出的一個內(nèi)接矩形.【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.【知識點】尺規(guī)作圖——正多邊形【分析】（1）根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，畫出圓的兩條直徑，即可得到⊙O的一個內(nèi)接矩形；【詳解】（2）根據(jù)對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，畫出圓的一條直徑，使其與AB互相垂直，即可得到⊙O的內(nèi)接正方形．解：（1）如圖所示，過O作⊙O的直徑AC與BD，連接AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD即為所求；（2）如圖所示，延長AC，BD交于點E，連接AD，BC交于點F，連接EF并延長交⊙O于G，H，連接AH，HB，BG，GA，則四邊形AHBG即為所求．【點睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖以及圓的性質(zhì)的運用，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．3．（2024·江蘇無錫·一模）尺規(guī)作圖：【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】證明四邊形是菱形、利用矩形的性質(zhì)證明、尺規(guī)作圖——正多邊形、畫圓(尺規(guī)作圖)【分析】（1）結(jié)合菱形的判定，以點D為圓心，的長為半徑畫弧，交為點E，再分別以點E、點A為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接、、即可；（2）解：如圖，點、即為所求，【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，理解題意、靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．好題必刷好題必刷一、單選題1．圓的內(nèi)接四邊形ABCD的四個內(nèi)角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是(

).A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2【答案】C【分析】由四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，繼而求得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴圓內(nèi)接四邊形ABCD的四個內(nèi)角之比可能是：4:3:1:2.故選C.【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).2．如圖是一個正八邊形，則它（）

A．只是軸對稱圖形 B．只是中心對稱圖形C．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：正八邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選：C．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵．3．邊長為的正六邊形的邊心距等于（

）【答案】A【分析】連接OA、OB，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠AOB，得出等邊三角形OAB，求出OA、AM的長，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=a，∵OM⊥AB，∴AM=BM=a，故選A．【點睛】本題主要考查對正多邊形與圓，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能求出OA、AM的長是解此題的關(guān)鍵．A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，∴的內(nèi)接正多邊形是六邊形，故選：B．5．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C．3 D．【答案】C6．正三角形內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之間的關(guān)系為（）A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r【答案】D【分析】正三角形的內(nèi)心和外心重合，根據(jù)等腰三角形的三線合一，則正三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓的半徑可以放在30°的直角三角形中，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，得R=2r．【詳解】正三角形內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之間的關(guān)系為R=2r．故選D．【點睛】熟記正三角形的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的2倍．7．圓內(nèi)接正六邊形的周長為24，則該圓的內(nèi)接正三角形的周長為（）【答案】A【分析】本題考查了正多邊形和圓，以及圓內(nèi)接正三角形及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，求出正六邊形的邊長，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：圓內(nèi)接正六邊形的周長為24，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4，圓的半徑為4，如圖，

故選：A．8．一個圓形餐桌直徑為2米，高1米，鋪在上面的一個正方形桌布的四個角恰好剛剛接觸地面，則這塊桌布的每邊長度為（）米【答案】A【分析】根據(jù)題意，圓形餐桌的直徑為2米，高為1米．鋪在桌面上的正方形桌布的四角恰好剛剛接觸地面，說明正方形對角線長度為圓形桌面的直徑加上兩個高，即2+1+1=4米，所以正方形邊長是2米．【詳解】解：正方形桌布對角線長度為圓形桌面的直徑加上兩個高，即2+1+1=4（米），設(shè)正方形邊長是x米，則x2+x2=42，解得：x=2，所以正方形桌布的邊長是2米．故選A．【點睛】本題考查了正方形和圓的有關(guān)知識，以及勾股定理，此題解答關(guān)鍵是求出正方形桌布的對角線的長度，進(jìn)而求出邊長．【答案】C【分析】40%圓周一個扇形就是告訴扇形的圓心角是144°，這樣就知道了圓錐的底面周長，也就已知了底面半徑，圓錐的母線長，圓錐的高，底面半徑正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理就可求得．故選C．【點睛】此題是以圓和圓錐之間的相互聯(lián)系為背景，設(shè)置了一個應(yīng)用性數(shù)學(xué)問題，主要考查了圓的周長、弧長、勾股定理等基礎(chǔ)知識和學(xué)生的空間觀念，要求考生具有較強(qiáng)的畫圖分析能力和圖形轉(zhuǎn)換能力．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【詳解】四邊形ABCD是正方形，四邊形ADGF是矩形，四邊形ABCD是正方形，綜上，結(jié)論正確的是①②③，故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，熟練掌握各定理與性質(zhì)，并正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題11．正n邊形的中心角為72°，則．【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360°計算即可．故答案為：5．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關(guān)鍵．12．若正多邊形的中心角為，則該正多邊形的邊數(shù)為．【答案】∴正多邊形的邊數(shù)為：；故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】/度∵正六邊形是軸對稱性圖形，故答案為：15．已知正六邊形邊長為a，則它的內(nèi)切圓面積為．【答案】πa216．如圖，已知邊長為的正方形ABCD內(nèi)有一邊長為的內(nèi)接正方形EFGH，則△EBF的內(nèi)切圓半徑是.【分析】首先利用正方形的性質(zhì)得出△AEH≌△BFE（AAS），再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法得出即可．【詳解】∵邊長為m的正方形ABCD內(nèi)有一邊長為n的內(nèi)接正方形EFGH，∴∠AEH+∠FEB=90°,∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，在△AEH和△BFE中，∠A=∠B,∠AHE=∠FEB,EH=EF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴AE=BF，∴BE+BF=AB=m，【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟練掌握兩者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，則∠ODC=．【答案】50°．【詳解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案為50°．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【答案】6+3【分析】連接OA1、OA2，過A1作A1H⊥OA2于H，設(shè)A1H=x，在Rt△A1A2H中，可得x2+（2xx）2=12，解出x的值，即可求出S、S1，從而得到答案．【詳解】解：連接OA1、OA2，過A1作A1H⊥OA2于H，如圖：∴∠A1OH=30°，∴A1H=OA1，設(shè)A1H=x，則OA1=2x=OA2，OH=A1H，∴A2H=2xx，在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2=A1A22，∴x2+（2xx）2=12，故答案為：6+3，．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正確地求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．要用圓形鐵片截出邊長為a的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的半徑至少是多少？【答案】半徑至少為a．【分析】畫出正方形外接圓，連接AC，求出正方形外接圓半徑即可．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵∠D＝90°，∴AC為直徑，∴半徑至少為a．【點睛】本題考查了正多邊形和圓的計算，解題關(guān)鍵是畫出圖形，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．【答案】【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正多邊形的中心角的計算，直徑所對的圓周角是直角”是解題的關(guān)鍵.∵該六邊形為正六邊形，【詳解】解：（1）連∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BDC=45°，AC=BC，在△EAC和△DBC中，∴△EAC≌△DBC（SAS），∴∠E=∠BDC=45°；【點睛】此題考查了圓的綜合，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形，關(guān)鍵是證出△EAC≌△DBC．23．分別求出半徑為的圓內(nèi)接正三角形的邊長和邊心距．【分析】作出幾何圖形，在由外接圓半徑、邊心距和邊長的一半組成的三角形中，已知外接圓半徑和特殊角，可求得邊心距，進(jìn)而邊長的一半，可解．【詳解】解：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，OB＝6cm，OD⊥BC．等邊三角形的內(nèi)心和外心重合，所以O(shè)B平分∠ABC，則∠OBD＝30°；∵OD⊥BC，∴BD＝DC，又∵OB＝6，∴OD＝3，BD＝3cm，∴BC＝6cm．∴邊長6cm，邊心距．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)，注意：等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓是同心圓，圓心到頂點的距離等于外接圓半徑，邊心距等于內(nèi)切圓半徑．24．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度數(shù)；（2）當(dāng)∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【分析】（1）如圖，連接BD，由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到∠ABD=60°，從而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AED=120°；【詳解】解：（1）如圖，連接BD，∵四邊形ABC