第05講圓（知識清單+11大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一圓的基本概念辨析題型二求過圓內一點的最長弦題型三圓的周長和面積問題題型四判斷點與圓的位置關系題型五利用點與圓的位置關系求半徑題型六三角形外接圓的概念辨析題型七求三角形外心坐標題型八求特殊三角形外接圓的半徑題型九判斷三角形外接圓的圓心位置題型十判斷確定圓的條件題型十一點與圓上一點的最值問題知識清單知識清單知識點1．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．知識點2．點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．知識點3．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．知識點4．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．題型方法題型方法【題型一】圓的基本概念辨析【例1】（2425九年級上·浙江寧波·開學考試）下列說法中，正確的是（

）．A．同心圓的周長相等 B．相等的圓心角所對的弧相等C．面積相等的圓是等圓 D．平分弧的弦一定經過圓心【答案】C【知識點】圓的基本概念辨析【分析】本題考查的是對圓的認識，主要考查的是直徑，弦，弧，半圓，等弧，等圓，這幾個基本概念．掌握以上幾個基本概念是解答本題的關鍵．A周長相等的兩個圓，半徑就相等，就能重合，所以是等圓，不是同心圓；B在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，不能缺少“在同圓或等圓中”這個條件；C利用等圓的條件進行分析解答；D根據垂徑定理即可得出結論．【詳解】解：A、圓心相同，半徑不相等的圓是同心圓，所以周長不相等，故A選項錯誤，不符合題意；B、在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故B選項錯誤，不符合題意；C、面積相等的圓半徑一定相等，所以是等圓，故C選項正確，符合題意；D、平分弧的弦不一定經過圓心，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江湖州·階段練習）已知是半徑為5的圓的一條弦，那么的長不可能是（

）A．1 B．5 C．3 D．11【答案】D【知識點】圓的基本概念辨析【分析】本題考查了圓的半徑，直徑，弦的關系，掌握直徑是圓中最長的弦是解題的關鍵．根據圓的相關概念，及直徑是圓中最長的弦的相關知識進行判定即可求解．【詳解】解：已知半徑為5的圓，∴該圓的中最長的弦即為直徑，值為，∴弦最長不能超過，∴D選項不符合題意，故選：D．【答案】/65度【知識點】圓的基本概念辨析、等邊對等角【分析】本題考查圓的基本性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是構造出輔助線，本題屬于基礎題型．連接，根據圓的半徑都相等即可求出答案．【詳解】解：連接，故答案為：．(1)求二次函數的解析式：【知識點】待定系數法求二次函數解析式、面積問題(二次函數綜合)、圓的基本概念辨析、線段周長問題(二次函數綜合)【分析】對于（1），根據待定系數法求出關系式即可；（2）如圖所示，連接，∴點M在線段的垂直平分線上，即點M在對稱軸上，∴點M在的垂直平分線上，【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數關系式，二次函數與幾何圖形，兩點之間的距離公式，圓的確定，利用割補法求不規則三角形的面積是解題的關鍵．【題型二】求過圓內一點的最長弦【例2】（2425九年級上·浙江寧波·開學考試）已知中最長的弦為，則的半徑為（

）．A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【知識點】求過圓內一點的最長弦【分析】本題考查了圓的基本知識；熟練理解圓中最長的弦是直徑是解題的關鍵．根據圓中最長的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即可求得結果．故選B．【舉一反三】【答案】D【知識點】求過圓內一點的最長弦【分析】本題考查了圓的認識，根據直徑是圓中最長的弦即可求解．故選：D．2．（2324九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，AB是半徑為2的的弦，點C是上的一個動點，若點M，N分別是AB，BC中點，則MN長的最大值是．

【答案】2【知識點】求過圓內一點的最長弦、與三角形中位線有關的求解問題【詳解】解：如圖，連接并延長，交圓于點D，連接，∵點M，N分別是AB，BC中點，點A為定點，C為動點，的最大值為直徑長，即長．∵是直徑，故答案為：2

【點睛】本題考查中位線定理，圓的基本概念弦與直徑；掌握中位線定理是解題的關鍵．3．（2425九年級上·浙江金華·階段練習）請用無刻度的直尺在以下圖中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【知識點】線段垂直平分線的判定、求過圓內一點的最長弦、等腰三角形的性質和判定、矩形性質理解【分析】（1）連接，并延長交上于一點D，則是直徑，符合題意，即可作答．本題考查的是作圖，主要涉及等腰三角形的性質、矩形的性質、線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用相關的知識解決問題．【詳解】（1）解：是中一條最長的弦，如圖所示：（2）解：底邊的中線如圖所示：（3）解：直線即為所求．如圖所示：【題型三】圓的周長和面積問題【例3】（2223九年級上·浙江金華·階段練習）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【知識點】圓的周長和面積問題【分析】根據題意、利用圓的面積公式計算即可．【詳解】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環的面積，故選：C．【點睛】本題考查的是圓的認識、圓的面積的計算，掌握圓的面積公式是解題的關鍵．【舉一反三】1．（九年級上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點B，A，C作弧BAC，如圖所示．若AB=4，AC=2，圖中兩個新月形面積分別為S1，S2，兩個弓形面積分別為S3，S4，S1S2=，則S3S4的值是(

)

【答案】D【知識點】圓的周長和面積問題【分析】根據AB和AC的長和圓的面積公式可求得S1+S3，S2+S4的值，然后再兩值相減即可得出結論．【詳解】解：∵AB=4，AC=2，∴S1+S3=2，S2+S4=，∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=∵S1S2=，∴S3S4=﹣=，故選：D．【點睛】本題考查了圓的面積，正確表示出S1+S3，S2+S4的值是解答的關鍵．【知識點】圓的周長和面積問題【分析】本題考查了圓環，根據圓環的面積公式計算即可求解，關鍵是熟練掌握圓環的面積公式．②把分成三條相等的線段，每個小圓的周長記作，③把分成四條相等的線段，每個小圓的周長，…④把分成條相等的線段，每個小圓的周長．分別求出，，；(2)類比探究：仿照（1）的探索過程，當把大圓直徑平均分成等分時，以每條線段為直徑畫小圓，求每個小圓的面積與大圓面積之間的關系．【知識點】圓的周長和面積問題【分析】本題考查了圓的周長、面積．正確求出小圓的半徑是解題的關鍵．【題型四】判斷點與圓的位置關系A．外 B．上 C．內 D．不能確定【答案】C【知識點】判斷點與圓的位置關系【分析】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．直接根據點與圓的位置關系即可得出結論．∴點A在內．故選：C．【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江杭州·期末）數軸上有點A、點B，點A表示實數6，點B表示實數b，半徑為4．若點A在內，則實數b的取值范圍是（

）A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10【答案】D【知識點】判斷點與圓的位置關系【分析】首先確定的取值范圍，然后根據點A所表示的實數寫出b的取值范圍，即可得到正確選項．【詳解】解：∵半徑為4．若點A在內，∵點A所表示的實數為6，故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系,解決此題的關鍵是充分理解點與圓的位置關系．2．（2425九年級上·浙江杭州·期中）半徑為，點A到圓心O距離為，則A在．（填“上”、“外”或“內”）【答案】內【知識點】判斷點與圓的位置關系【分析】本題考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握點與圓的位置關系的判定方法．∴A在內．故答案為：內．3．（2024·浙江紹興·二模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點，，，在格點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點為原點建立直角坐標系．(1)過，，三點的圓的圓心坐標為______；(2)在圓外【知識點】判斷三角形外接圓的圓心位置、判斷點與圓的位置關系、求三角形外心坐標【分析】本題考查了垂徑定理推論，勾股定理，平面坐標系中點的坐標，點與圓的位置關系，根據垂徑定理得出圓心位置是解答本題的關鍵．（1）連接，，分別作，的垂直平分線，兩直線交于點，就是過，，三點的圓的圓心，由圖形可得的坐標；（2）分別求出和的長度進行比較即可作出判斷．【詳解】（1）解：如圖，連接，，分別作，的垂直平分線，兩直線交于點，是過，，三點的圓的圓心，【題型五】利用點與圓的位置關系求半徑【例5】（2425九年級上·浙江杭州·期末）數軸上有點、點，點表示實數6，點表示實數，半徑為4，若點在內．則實數的取值范圍是（）【答案】D【知識點】利用點與圓的位置關系求半徑【分析】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．首先確定的取值范圍，然后根據點A所表示的實數寫出b的取值范圍，即可得到正確選項．【詳解】解：∵半徑為4．若點A在內，∵點A所表示的實數為6，故選：D．【舉一反三】A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】B【知識點】利用點與圓的位置關系求半徑【詳解】解：點A在內，點B在外，故選：B．【答案】4【知識點】利用點與圓的位置關系求半徑【分析】本題考查了點與圓上各點的距離的最大值與最小值的含義．故答案為：4．(3)1或2【知識點】根據判別式判斷一元二次方程根的情況、利用點與圓的位置關系求半徑、求一次函數自變量或函數值、已知兩點坐標求兩點距離m為正整數，【點睛】本題主要考查了“新定義”，反比例函數與一次函數，一次函數與二元一次方程組的應用，二次函數與一元二次方程的判別式，兩點間距離公式，不等式解集．準確理解“新定義”是解答關鍵．【題型六】三角形外接圓的概念辨析【例6】（2425九年級上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓B．三角形的外心是三角形三條角平分線的交點C．等弧就是長度相等的兩條弧D．圓中最長的弦是直徑【答案】D【知識點】圓的基本概念辨析、三角形外接圓的概念辨析【分析】本題考查了圓的相關知識點，根據圓的相關知識點逐項分析即可得解，熟練掌握圓的相關知識點是解此題的關鍵．【詳解】解：A、三個不在一條直線上的點可以確定一個圓，故原說法錯誤，不符合題意；B、三角形的外心是這個三角形三邊垂直平分線的交點，故原說法錯誤，不符合題意；C、長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原說法錯誤，不符合題意；D、圓中最長的弦是直徑，故原說法正確，符合題意；故選：D．【舉一反三】1．（2324九年級上·浙江紹興·期中）下列命題不正確的是（

）A．過一點有無數個圓B．過三點能作一個圓C．三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點D．直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊【答案】B【知識點】三角形外接圓的概念辨析、判斷命題真假【分析】考查確定圓的條件以及三角形外接圓的知識，根據圓的性質定理逐項排查即可．掌握三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點是解題的關鍵．【詳解】解：A、過一點有無數個圓，正確，不符合題意；B、不在同一條直線上的三點確定一個圓，選項錯誤，符合題意；C、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，正確，不符合題意；D、直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊，正確，不符合題意；故選：B．【答案】圓上【知識點】三角形外接圓的概念辨析、判斷點與圓的位置關系、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的外接圓，以及點與圓的位置關系，當點到圓心的距離小于半徑的長時，點在圓內；當點到圓心的距離等于半徑的長時，點在圓上；當點到圓心的距離大于半徑的長時，點在圓外．求出點C到圓心的距離，然后根據點與圓的位置關系判斷即可．【詳解】解：如圖，∵斜邊為直徑，∴圓心O是斜邊的中點，∴點C在圓上．故答案為：圓上．3．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖，以已知線段為弦作⊙O，使其經過已知點C．利用直尺和圓規作圖（保留作圖痕跡，不必寫出作法）．【答案】見詳解【知識點】三角形外接圓的概念辨析、判斷三角形外接圓的圓心位置【分析】本題考查了三角形的外心，連接，分別作、的垂直平分線，交于，連接，以為圓心，長為半徑畫圓，即可求解；能根據三角形的外心的性質找出圓心的位置是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，【題型七】求三角形外心坐標【例7】（九年級上·浙江金華·階段練習）下列四個命題中，正確的有（

）A．圓的對稱軸是直徑 B．半徑相等的兩個半圓是等弧C．三角形的外心到三角形各邊的距離相等 D．經過三個點一定可以作圓【答案】B【知識點】求三角形外心坐標、判斷確定圓的條件【分析】直接運用對稱軸的定義、確定圓的條件、三角形外心的性質、等弧的定義逐項判定即可．【詳解】解：A.圓的對稱軸是直徑所在的直線，所以A錯誤；B.半徑相等的兩個半圓是等弧，所以B正確；C.三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，所以C錯誤；D.經過不共線的三個點一定可以作圓，所以D錯誤；故答案為B．【點睛】本題主要考查了對稱軸的定義、確定圓的條件、三角形外心的性質、等弧的定義等知識點，考查知識點較多，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．【舉一反三】【答案】C【知識點】判斷點與圓的位置關系、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圓的半徑、求三角形外心坐標【詳解】解：如圖：故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，坐標與圖形的性質，點與圓的位置關系，勾股定理的應用，確定圓心的位置是解題的關鍵．2．（九年級上·浙江衢州·期中）在直角坐標系中，拋物線y=ax2－4ax＋2(a>0)交y軸于點A，點B是點A關于對稱軸的對稱點，點C是拋物線的頂點，若△ABC的外接圓經過原點O，則a的值為．【知識點】根據二次函數的定義求參數、求三角形外心坐標【分析】想辦法求出拋物線頂點坐標，利用待定系數法即可解決問題；【詳解】連接OB交對稱軸于點O′．∵拋物線的對稱軸x=2，A（0，2），A，B關于對稱軸對稱，∴B（4，2），∵△ABC的外接圓經過原點O，∴外接圓的圓心是線段OB的中點O′，∴O′（2，1），∴O′C=，∴點C坐標為（2，1），∴1=4a8a+2，【點睛】此題考查三角形的外接圓與外心，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【知識點】根據二次函數的對稱性求函數值、已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸、求三角形外心坐標【題型八】求特殊三角形外接圓的半徑【答案】A【知識點】求特殊三角形外接圓的半徑、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，根據直角三角形斜邊上的中線長等于三角形外接圓的半徑求解即可．即此直角三角形外接圓半徑為5，故選：A．【舉一反三】【答案】C【知識點】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圓的半徑、等腰三角形的性質和判定故選：C．2．（2324九年級上·浙江溫州·階段練習）已知直角三角形的斜邊長為，則該三角形的外接圓半徑為．【答案】【知識點】求特殊三角形外接圓的半徑【分析】根據直角三角形的斜邊為直角三角形的外接圓的直徑求解即可．【詳解】解：∵直角三角形的斜邊長為，∴直角三角形的外接圓半徑為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，掌握直角三角形的斜邊為直角三角形的外接圓的直徑成為解答本題的關鍵．(2)．【知識點】判斷三角形外接圓的圓心位置、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圓的半徑、無刻度直尺作圖（2）連接，∴一個網格的長為1，【點睛】本題考查的是作圖——復雜作圖及三角形的外接圓圓心，解題的關鍵是利用網格的特點作圖．【題型九】判斷三角形外接圓的圓心位置【例9】（2024·浙江臺州·二模）下列命題正確的是（

）A．同位角相等 B．平方根等于它本身的數是0C．對角線相等的四邊形是矩形 D．三角形的外心在三角形內部【答案】B【知識點】判斷三角形外接圓的圓心位置、平方根概念理解、同位角、內錯角、同旁內角、矩形的判定定理理解【分析】本題考查同位角、內錯角、同旁內角；矩形的判定；命題與定理；三角形的外接圓與外心；平方根，根據平行線的性質、平方根的定義、矩形的判定和三角形的外心性質等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題；B、平方根等于它本身的數是0，是真命題；C、對角線平分且相等的四邊形不一定是矩形，原命題是假命題；D、三角形的外心可能在三角形內部，也可能在三角形的外部，原命題是假命題；故選：B．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】D【知識點】判斷三角形外接圓的圓心位置、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形外接圓，正確找出三角形外接圓的圓心是解題關鍵．∴是的垂直平分線，故選：D．【答案】或【知識點】三線合一、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、判斷三角形外接圓的圓心位置圓心點O在直線AD上綜上，AB的長為或故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形外接圓的性質、勾股定理等知識點，利用三角形外接圓的性質得出圓心點O的位置是解題關鍵．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】判斷三角形外接圓的圓心位置、畫旋轉圖形【分析】本題主要考查了旋轉作圖，確定三角形外接圓圓心位置：（1）根據旋轉的性質作圖即可．（2）根據三角形的外心的定義，連接，分別作線段，的垂直平分線，交于點，則點即為所求．（2）解：如圖，連接，，分別作線段，的垂直平分線，交于點，則點即為所求．【題型十】判斷確定圓的條件【答案】C【知識點】求一次函數解析式、判斷確定圓的條件故選：C．【舉一反三】1．（2425九年級上·浙江寧波·期中）下列事件中必然發生的事件是（

）A．一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數C．100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品D．經過任意三點一定可以畫一個圓【答案】C【知識點】事件的分類、判斷確定圓的條件【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念；關鍵是理解必然事件指在一定條件下一定發生的事件．根據必然事件的概念（必然事件指在一定條件下一定發生的事件）可判斷正確答案．【詳解】解：A、一個圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，故本選項不符合題意；B、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數，是隨機事件，故本選項不符合題意；C、100件產品中有4件次品，從中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本選項符合題意；D、只有不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，如果三點在同一條直線上，則無法畫出一個圓，是隨機事件，故本選項不符合題意．故選：C．2．（2223九年級上·浙江·單元測試）正方形的四個頂點和它的中心共5個點能確定個不同的圓．【答案】5【知識點】判斷確定圓的條件【分析】根據不在同一條直線上的三點可以確定一個圓分析得出．【詳解】解：正方形的四個頂點和它的中心的點的距離相等，中心與一邊的兩個端點可以確定一個圓，正方形有四條邊，因而有四個圓；而正方形的四個頂點都在以中心為圓心的圓上，因而能確定5個不同的圓．故答案為5．【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟記不在同一條直線上的三點可以確定一個圓．(1)在圖1中作出∠AHG＝∠C．(2)在圖2中作出∠AGH＝∠C．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】判斷確定圓的條件、圖形的平移【分析】（1）將BC向上平移，使點B，點C均在格點上即可；【詳解】（1）如圖，線段EF，∠AHG即為所作，【點睛】本題主要考查了作圖應用與設計作圖，熟練掌握平移是解答本題的關鍵．【題型十一】點與圓上一點的最值問題【答案】C【知識點】點與圓上一點的最值問題【分析】點P可能在圓內，也可能在圓外；當點P在圓內時，直徑為最大距離與最小距離的和；當點P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差；再分別計算半徑．【詳解】解：若所在平面內一點P到上的點的最大距離為a，最小距離為b，故選C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，培養學生分類的思想及對點P到圓上最大距離、最小距離的認識．【舉一反三】

【答案】B【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、點與圓上一點的最值問題、利用平行四邊形的性質求解【詳解】解：如圖，連接，

∵點P為中點，∴隨著點E的運動，點P的運動軌跡是以O為圓心、2為半徑的圓，故選：B．【知識點】點與圓上一點的最值問題、最短路徑問題、用勾股定理解三角形、根據成軸對稱圖形的特征進行求解【詳解】解：作點E關于的對稱點H，設的中點為O，連接，交于點F，交圓O于點G，如圖：∵點G是以為直徑的半圓上的一個動點，(1)求點D的橫坐標（用含b的代數式表示）(3)在（2）的條件下，如圖2，P為OC的中點，在直線AC上取一點M，連接PM，作點C關于PM的對稱點N，①連接AN，求AN的最小值．②當點N落在拋物線的對稱軸上，求直線MN的函數表達式．【答案】(1)2b；【知識點】求拋物線與x軸的交點坐標、y=ax2+bx+c的最值、點與圓上一點的最值問題、求一次函數解析式（3）①點N在以P為圓心，以2為半徑的圓上運動，當P、N、A同側且共線時，AN最小，用勾股定理計算即可．②分點M在對稱軸的左側和右側，兩種情形求解．解得x=0或x=2b，∵b＞0，∴x=0舍去，∴點D的橫坐標為2b．∵點D的橫坐標為2b，A（4，m），∴OD=2b，BD=42b，=2b(42b)∵4＜0，∴當b=1時，w有最大值，最大值為4，∴OC=4，∵P為OC的中點，∴OP=PC=2，∵點C關于PM的對稱點N，∴OP=PC=PN=2，∴點N在以P為圓心，以2為半徑的圓上運動，如圖所示，當P、N、A同側且共線時，AN最小，∵AC=4，PC=2，②當點N落在拋物線的對稱軸上，且M在對稱軸的左側，如圖所示，設對稱軸與AC交于點H，交x軸于點Q，過點P作PG⊥HN，垂足為G，則QG=2，∵PC=PN=2，PG=1，∴NG=，∴HN=2，點N（1，2+），設CM=a，則MN=a，MH=1a，解得a=42，∴點M（42，4），設直線MN的解析式為y=kx+b，當點N落在拋物線的對稱軸上，且M在對稱軸的右側，如圖所示，設對稱軸與AC交于點T，交x軸于點R，過點P作PK⊥TN，垂足為K，則KT=KR=2，∵PC=PN=2，PK=1，∴KR=，∴NR=2，點N（1，2），TN=2+設CM=b，則MN=b，MT=a1，解得b=4+2，∴點M（4+2，4），設直線MN的解析式為y=mx+q，【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的最值，圓的基本性質，待定系數法確定一次函數的解析式，軸對稱的性質，勾股定理，熟練掌握圓的性質，拋物線的性質，靈活運用對稱的思想和勾股定理是解題的關鍵．好題必刷好題必刷一、單選題1．有下列四個命題，其中正確的有()①圓的對稱軸是直徑；②經過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】解：①圓的對稱軸是直徑所在的直線；故此選項錯誤；②當三點共線的時候，不能作圓，故此選項錯誤；③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故此選項正確；④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故此選項正確．故選：C．【詳解】此題考查了圓中的有關概念：弦、直徑、等?。⒁猓翰辉谕粭l直線上的三個點確定一個圓．2．三角形的外心是（

）．A．各內角的平分線的交點B．各邊中線的交點C．各邊垂線的交點D．各邊垂直平分線的交點【答案】D【詳解】解：三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點．故選D．3．如圖，圓環中內圓的半徑為米，外圈半徑比內圓半徑長1米，那么外圓周長比內圓周長長（

）【答案】A【分析】根據圓的周長公式可以得到解答．【詳解】解：由題意可得：故選A．【點睛】本題考查圓的應用，熟練掌握圓周長的計算公式是解題關鍵．A．在內 B．在上 C．在外 D．以上都有可能【答案】A【詳解】解：如圖，連接，∵的半徑為，∴A在內，故選A．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，無理數的估算，點與圓的位置關系，掌握“點與圓心的距離小于半徑，則點在圓內”是解本題的關鍵．【答案】A【詳解】解：設點B的坐標為（x，y），∵AB是⊙M的直徑，∴M點為AB的中點，∵A（a，b），M（1，0），，解得：x＝2?a，y＝?b，∴B點坐標為（2?a，?b）．故選：A．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，靈活運用線段的中點坐標公式是解決問題的關鍵．6．已知⊙P的半徑為5，圓心P的坐標為(1，2)，點Q的坐標為(0，5)，則點Q(

)A．在⊙P外 B．在⊙P上 C．在⊙P內 D．不能確定【答案】C【詳解】試題解析：∵點P的坐標為（1，2），點Q的坐標為（0，5），∴點Q在⊙P內．故選C．7．已知點A的坐標為A（3，4），⊙A的半徑為5，則原點O與⊙A的位置關系是（）A．點O在⊙A內 B．點O在⊙A上 C．點O在⊙A外 D．不能確定【答案】B【詳解】試題分析：本題可先由勾股定理等性質算出點與圓心的距離d，再根據點與圓心的距離與半徑的大小關系，即當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；點在圓外；當d＜r時，點在圓內；來確定點與圓的位置關系．解：∵點A的坐標為A（3，4），∴OA==5，∴根據點到圓心的距離等于半徑，則知點在圓上．故選B．點評：本題考查了點與圓的位置關系及坐標與圖形性質，能夠根據勾股定理求得點到圓心的距離，根據數量關系判斷點和圓的位置關系．A． B． C． D．【答案】B故選B．【點睛】本題考查圓的認識，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質．熟練掌握圓內半徑均相等，得到等腰三角形，是解題的關鍵．9．投擲飛鏢是大眾喜愛的一項游戲，如圖所示的標靶由一個中心圓和九個等寬的圓環組成，中心圓的半徑為1，每個圓環的寬度也為1（標靶的半徑為10）．則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓環面積等于大圓面積減小圓面積即可求解．=．故選C．【點睛】本題考查了圓環的面積，熟練掌握圓的面積公式是解題的關鍵．【答案】D【詳解】如圖，∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2，∵∠APB=30°，∴點P的軌跡是以M為圓心，半徑r=2的圓弧；故選【點睛】本題考查了線段最短問題，確定點P的位置是解本題的難點．二、填空題11．平面上不共線的四點，可以確定圓的個數為．【答案】1個或3個或4個【分析】不在同一條直線上的三個點確定一個圓．由于點的位置不同，導致確定的圓的個數不同，所以本題分三種不同情況考慮．【詳解】解：（1）當四個點中有三個點在同一直線上，另外一個點不在這條直線上時，確定3個圓；（2）當四個點中任意三個點都不在同一條直線上，并且四點不共圓時，則任意三點都能確定一個圓，一共確定4個圓；（3）當四個點共圓時，只能確定一個圓．故答案為：1個或3個或4個．【點睛】本題考查的是圓的確定，由于點的位置不確定，因此用分類討論的思想方法進行解答．12．叫做直徑.【答案】經過圓心的弦【詳解】直徑的概念.答案為:經過圓心的弦.13．三角形的外接圓與外心（1）的三個點確定一個圓；（2）三角形的外接圓：經過三角形的三個的圓；（3）三角形的外心：三角形的圓心．它是三角形三邊的交點，到三角形三個的距離相等．【答案】不在同一直線上頂點外接圓垂直平分線頂點【分析】不在同一條直線上的三個點確定一個圓；經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心．外心到三角形任意一頂點的距離即為外接圓的半徑．據此填空即可．【詳解】解：（1）不在同一直線上的三個點確定一個圓；（2）三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓；（3）三角形的外心：三角形外接圓的圓心．它是三角形三邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點的距離相等．故答案為：不在同一直線上；頂點；外接圓；垂直平分線；頂點．【點睛】本題考查三角形的外接圓和內心的確定等，熟練掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點是解題的關鍵．【答案】【分析】根據直角三角形兩銳角和是90°，可以求出∠A的度數，在△ACD中由三內角和為180°，可以求出∠ACD的度數，由∠ACB＝90°，求出∠BCD．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°．在△ACD中，∵CD＝CA，∴∠A＝∠CDA＝65°∴∠ACD＝180°?65°?65°＝50°．∴∠DCB＝90°?50°＝40°．故答案是：40°．【點睛】本題考查的是對圓的認識，由圓中半徑都相等和直角三角形兩銳角互余，以及三角形三內角和為180°，可以求出圓心角∠DCE的度數．15．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE=OB，∠AOC=74°，則∠E=．【分析】連接OD,則OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC=DE，所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO，再證∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°.【詳解】連接OD,則OD=OB=OC因為，DE=OB,所以，OD=OB=OC=DE所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO所以，∠CDO=2∠E,所以，∠C=2∠E,所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，【點睛】本題考核知識點：圓半徑的性質，等腰三角形性質,三角形外角性質.解題關鍵點：利用三角形的外角和等腰三角形性質得到角的關系.16．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A，B，C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是．考點：勾股定理；點和圓的位置關系.三、解答題17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，求∠ACD的度數．【答案】10°．【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性質求出∠BCD，則∠ACD與∠BCD互余，從而求得∠ACD的度數．【詳解】解：連接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°2×50°=80°，∴∠ACD=90°80°=10°．故答案為10°．【點睛】本題考查三角形的內角和定理和等腰三角形的性質，同圓的半徑相等的性質，是基礎知識比較簡單，求出∠BCD的度數是解題的關鍵．18．如圖，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點