思維導圖第08講測量直角三角形的性質銳角三角函數思維導圖一、解直角三角形的應用1.利用勾股定理測量：通過構造直角三角形，利用勾股定理（a2+b2=c2）求解未知邊長，從而得到測量目標的高度或距離。例如，通過測量旗桿影子和標桿影子的長度，利用比例關系求解旗桿的高度。2.利用相似三角形測量：根據相似三角形的性質（對應邊成比例，對應角相等），通過測量已知物體的高度和其與測量目標之間的角度或距離關系，求解測量目標的高度或距離。例如，通過測量人與旗桿的距離、人的身高以及人眼觀察旗桿頂部時的視線與水平線的夾角，利用相似三角形求解旗桿的高度。二、測量方法1.陽光下的影子法：利用同一時刻物高與影長成比例的原理進行測量。2.標桿法：通過設立標桿，利用標桿與測量目標之間的相似關系進行測量。3.平面鏡法：利用光的反射原理和平面鏡成像的特點，通過測量鏡子與測量目標之間的距離以及觀察者與鏡子之間的距離，利用相似三角形求解測量目標的高度。4.構造類似三角形法：通過構造與測量目標相似的三角形，利用相似三角形的性質進行測量。三、測量誤差與精度了解測量條件（如儀器的精密度、觀測者的鑒別力、自然環境等）對測量誤差的影響，以及如何通過多余觀測和最小二乘法測量平差等方法提高測量精度。一、直角三角形的定義直角三角形是指其中一個角為90度的三角形。在直角三角形中，90度的角稱為直角，其余兩個角稱為銳角，且這兩個銳角互余。直角三角形的性質勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2，其中a和b是直角邊，c是斜邊。斜邊上的中線性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。30°60°90°直角三角形的性質：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；反之，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。直角三角形的面積：直角三角形的面積等于兩直角邊的乘積的一半，即S=(1/2)ab。一、銳角三角函數的定義在直角三角形ABC中，∠C=90°，銳角∠A的正弦、余弦、正切定義如下：1.正弦：sinA=∠A的對邊/斜邊=a/c2.余弦：cosA=∠A的鄰邊/斜邊=b/c3.正切：tanA=∠A的對邊/鄰邊=a/b二、銳角三角函數的表示法及注意事項1.在sinA，cosA，tanA中，三角函數的符號一定要小寫，不能大寫。2.當銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示時，它的三角函數習慣上省略角的符號，如sinA，cosα，tanB等；當銳角是用三個大寫英文字母或數字表示時，它的三角函數不能省略角的符號，如sin∠ABC，sin∠1等。3.“sinA”“cosA”“tanA”是整體符號，不能理解為“sin·A”“cos·A”“tan·A”。三、銳角三角函數的取值范圍及性質1.正弦、余弦、正切都是一個比值，是沒有單位的數值，它們只與銳角的大小有關，而與三角形的邊的長短無關。2.由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長均為正數，所以銳角三角函數值都是正實數，且0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0（A為銳角）。3.正弦、余弦、正切符號后面可以直接寫銳角的度數，如sin28°，cos8°，tan18°等。四、銳角三角函數之間的關系1.同一銳角的三角函數之間的關系：（1）平方關系：sin2A+cos2A=1（2）商數關系：tanA=sinA/cosA2.互余兩角的三角函數之間的關系：可以利用平方關系和商數關系進行推導，具體關系式根據題目需求進行變換。教材習題01如圖，在甲、乙兩座樓正中間有一堵院墻，小明站在甲樓某層窗口前，同時小光站在乙樓某層窗口前觀察這堵墻，小明視線所及位置如圖所示，小光視線恰好落在甲樓底部．已知墻的高度為5米，兩棟樓的間距為100米，小明視線所及位置到墻的距離為10米．（1）請根據題意畫出平面圖形，并標上相應字母．（2）求甲、乙兩人的觀測點到地面高度的距離差．教材習題02(1)求的長．(2)請直接寫出線段與線段之間的數量關系．教材習題03教材習題04教材習題05教材習題06用計算器求下列各式的值：教材習題07已知為銳角，求滿足下列條件的的度數(精確到1″)．考點一、正弦值求解A． B． C． D．(1)求的長．考點二、余弦值求解A． B． C． D．考點三、正切值求解A． B． C． D．3．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，不要求寫畫法，要求保留必要的作圖痕跡．考點四、兩個直角三角形斜邊的一半——斜邊上的中線考點五、兩個直角三角形斜邊的一半——30°對應的直角邊A． B． C． D．考點六、測量1．如圖，小明為了測量大樓MN的高度，在離N點30米放了一個平面鏡，小明沿NA方向后退1.5米到C點，此時從鏡子中恰好看到樓頂的M點，已知小明的眼睛（點B）到地面的高度BC是1.6米，則大樓MN的高度是（）A．32米 B．米 C．36米 D．米2．如圖，一棵大樹被風吹斷，已知折斷處距地面5米，樹的折斷部分與地面成45°的角，這棵大樹有米．3．如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．①計算小亮在路燈D下的影長；②計算建路燈AD的高．考點七、判斷三角形形狀A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形

考點八、特殊角三角函數混合運算考點九、用計算器求銳角三角函數值3．已知下列銳角的三角函數值，用計算器求銳角A的度數：知識導圖記憶A．2 B． C．4 D．A． B． C． D．2

A．2 B．3 C．4 D．55．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若AB＝4，AC＝3，則BD為（）A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．510．如圖，小明從路燈下向前走了5米，發現自己在地面上的影子長DE是2米，如果小明的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度AB是