第01章二次函數章節（11知識點回顧+40題型練習）題型梳理題型梳理題型一列二次函數關系式題型二二次函數的識別題型三根據二次函數的定義求參數題型四y=ax2的圖象和性質題型五y=ax2+k的圖象和性質題型六y=a（xh）2的圖象和性質題型七y=a（xh）2+k的圖象和性質題型八把y=ax2+bx+c化成頂點式題型九畫y=ax2+bx+c的圖象題型十y=ax2+bx+c的圖象與性質題型十一二次函數圖象與各項系數符號題型十二一次函數、二次函數圖象綜合判斷題型十三反比例函數、二次函數圖象綜合判斷題型十四根據二次函數的圖象判斷式子符號題型十五待定系數法求二次函數解析式題型十六二次函數圖象的平移題型十七已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸題型十八根據二次函數的對稱性求函數值題型十九y=ax2+bx+c的最值題型二十利用二次函數對稱性求最短路徑題型二十一求拋物線與x軸的交點坐標題型二十二求拋物線與y軸的交點坐標題型二十三已知二次函數的函數值求自變量的值題型二十四拋物線與x軸的交點問題題型二十五根據二次函數圖象確定相應方程根的情況題型二十六圖象法確定一元二次方程的近似根題型二十七圖象法解一元二次不等式題型二十八利用不等式求自變量或函數值的范圍題型二十九根據交點確定不等式的解集題型三十圖形問題(實際問題與二次函數)題型三十一圖形運動問題(實際問題與二次函數)題型三十二拱橋問題(實際問題與二次函數)題型三十三銷售問題(實際問題與二次函數)題型三十四投球問題(實際問題與二次函數)題型三十五噴水問題(實際問題與二次函數)題型三十六增長率問題(實際問題與二次函數)題型三十七其他問題(實際問題與二次函數)題型三十八面積問題(二次函數綜合)題型三十九角度問題(二次函數綜合)題型四十其他問題(二次函數綜合)知識清單知識清單知識點1．二次函數的定義1.二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．2.二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數．這里，當a=0時就不是二次函數了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.知識點2．根據實際問題列二次函數關系式根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題．②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．知識點3：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象用描點法畫出二次函數y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因為拋物線y=x2關于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y=x2的頂點是圖象的最低點。因為拋物線y=x2有最低點，所以函數y=x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.知識點4：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的畫法（1）列表：取自變量x的一些值，計算相應的函數值y，如下表所示：x…21012……41014…112341234xyxyOO12122121圖1圖2（2）描點：分別以所取的x的值和相應的函數值y作為點的橫坐標和縱坐標，描出這些坐標所對應的各點，如圖1所示．要點詮釋：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象．用描點法畫二次函數y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.知識點5：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的性質二次函數y=ax2（a≠0）的圖象的性質，見下表：函數圖象開口方向頂點坐標對稱軸函數變化最大（?。┲祔=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減??；x<0時，y隨x增大而增大.當x=0時，y最大=0要點詮釋：頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.知識點6．二次函數的性質二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．知識點7．二次函數圖象上點的坐標特征二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析式中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．知識點8．二次函數的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．知識點9．待定系數法求二次函數解析式（1）二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0）；（2）用待定系數法求二次函數的解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．知識點10．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．知識點11．二次函數綜合題（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．題型練習題型練習題型一列二次函數關系式1．（2324八年級下·福建福州·期末）某廠今年一月份新產品的研發資金為9萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產品的研發資金y（元）關于x的函數關系式為（

）題型二二次函數的識別2．（2425九年級上·浙江湖州·期末）下列函數中，是的二次函數的是（

）題型三根據二次函數的定義求參數題型四y=ax2的圖象和性質題型五y=ax2+k的圖象和性質題型六y=a（xh）2的圖象和性質題型七y=a（xh）2+k的圖象和性質(1)填空：函數圖像的開口方向是___________，對稱軸是直線___________．(2)當___________時，隨的增大而減?。}型八把y=ax2+bx+c化成頂點式(1)請選出符合條件的一組，的值，求出函數圖象與軸交點的坐標．(2)求所選二次函數圖象的頂點坐標．題型九畫y=ax2+bx+c的圖象(1)求b，c的值；(2)在圖中畫出這個函數的圖象；（不必列表）題型十y=ax2+bx+c的圖象與性質A． B．C． D．題型十一二次函數圖象與各項系數符號A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型十二一次函數、二次函數圖象綜合判斷題型十三反比例函數、二次函數圖象綜合判斷A． B．C． D．題型十四根據二次函數的圖象判斷式子符號題型十五待定系數法求二次函數解析式(1)求此拋物線的解析式；題型十六二次函數圖象的平移題型十七已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸題型十八根據二次函數的對稱性求函數值題型十九y=ax2+bx+c的最值①求二次函數圖象與x軸的交點坐標；題型二十利用二次函數對稱性求最短路徑

題型二十一求拋物線與x軸的交點坐標(1)求函數圖象與坐標軸的交點坐標．題型二十二求拋物線與y軸的交點坐標題型二十三已知二次函數的函數值求自變量的值23．（2425九年級上·浙江臺州·期中）一位滑雪者從某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距離s（單位：m）與滑行時間t（單位：s）近似滿足“一次函數”、“二次函數”關系中的一種．測得一些數據如下：滑行時間012340261220(1)s是t的__________函數（填“一次”、“二次”）；(2)求s關于t的函數表達式；題型二十四拋物線與x軸的交點問題①用含的代數式表達；②求證：不論為何值，該函數圖象與軸一定有兩個交點．題型二十五根據二次函數圖象確定相應方程根的情況(1)任意寫一個二次函數，使它的圖象上存在“點”．①求證：該函數圖象上一定存在兩個“點”．題型二十六圖象法確定一元二次方程的近似根x2.52.62.72.82.9y0.481.282.12題型二十七圖象法解一元二次不等式(1)求此函數圖象的頂點坐標，與y軸交點，并指出它的開口方向；題型二十八利用不等式求自變量或函數值的范圍題型二十九根據交點確定不等式的解集(1)請直接寫出：_______，_______，頂點_______；題型三十圖形問題(實際問題與二次函數)30．（2425九年級上·浙江杭州·期末）如圖，某房間的窗戶上部分由2個全等的正方形組成，下部分是一個矩形．已知制作一個這樣的窗戶邊框，所需要的材料的總長度為10米，設小正方形的邊長為米，該窗口的透光面積為平方米（計算透光面積時材料忽略不計）．(1)求關于的函數表達式．(2)當取何值時，透光面積最大？最大透光面積是多少？題型三十一圖形運動問題(實際問題與二次函數)（1）出發2秒后，點P，Q之間的距離是．題型三十二拱橋問題(實際問題與二次函數)32．（2425九年級上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．(1)請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式．(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過？題型三十三銷售問題(實際問題與二次函數)33．（2425九年級上·浙江杭州·期末）某電商計劃售賣一批筆記本電腦，每臺售價為5000元，每月可售出100臺．為了促進銷