第04講有理數的乘法、除法運算1.準確理解有理數乘法、除法的運算法則，熟練掌握有理數乘法、除法的運算步驟，能正確區分正數、負數、零在運算中的不同規則，并能運用文字語言和符號語言清晰闡述運算法則。2.熟練掌握多個有理數相乘、相除的運算方法，明確確定積或商的符號的規律，能準確計算出結果；同時，能夠將有理數的除法運算通過倒數的概念轉化為乘法運算，實現乘除運算之間的靈活轉換。3.能熟練運用有理數乘法、除法運算解決生活中的實際問題，如行程問題中的速度、時間、路程計算，商品價格的折扣計算等，提高運用數學知識解決實際問題的能力。知識點一有理數的乘法法則有理數的乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負,并把絕對值相乘;任何數與0相乘,都得0.有理數乘法的運算步驟(1)確定積的符號;(2)確定積的絕對值注意：確定積的符號是乘法運算中至關重要的一步,法則中的“同號得正,異號得負”是指兩數相乘,不要與有理數的加法法則混淆.知識點二倒數的概念倒數乘積是的兩個數互為倒數.注意：倒數是它本身的數只有1和1.倒數與相反數的區別倒數相反數定義乘積是1的兩個數互為倒數只有符號不同的兩個數互為相反數表示的相反數是性質判定相同點都成對出現不同點正數的倒數是正數,負數的倒數是負數，0沒有倒數正數的相反數是負數，負數的相反數是正數,0的相反數是0知識點三多個有理數相乘1.幾個不是0的數相乘的法則積的符號由負因數的個數決定.當負因數的個數是偶數時,積是正數;當負因數的個數是奇數時,積是負數.確定符號后,再把這幾個有理數的絕對值相乘.簡記為“偶正奇負，絕對值相乘”2.有因數0的幾個數相乘的法則幾個數相乘，如果其中有因數為0,那么積等于0.同樣,若積為零則至少有一個因數為零.注意：在乘法運算中,一般先把式子中所有的小數化為分數,帶分數化為假分數，然后再確定符號，并把絕對值相乘.知識點四有理數的乘法運算律運算律文字表達符號語言乘法交換律兩個數相乘,交換因數的位置,積相等乘法結合律三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把后兩個數相乘，積相等乘法分配律一個數同兩個數的和相乘,等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加有理數的乘法交換律或乘法結合律一般不單獨用,交換的目的是為了更好地結合.知識點五有理數除法法則法則1：法則2：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數都得0.提示有理數除法沒有交換律、結合律,更沒有分配律.兩個數相除,若商是1,則這兩個數相等;若商是1,則這兩個數互為相反數.任何數除以1都得原數;任何數除以1都得原數的相反數;除以一個非0數等于這個數的倒數.化簡分數要遵循“同號得正，異號得負”的符號法則,分子、分母、分數線前,若有一個或兩個負號,則負號可以移到三個位置的任何一個,而分數的值不變.知識點六有理數乘除的同級運算有理數乘除同級運算通常是先將除法轉化成乘法，然后按照乘法法則,確定積的符號，最后求出結果注意：除法沒有運算律，只有將除法轉化為乘法后，才可以利用乘法的運算律簡化運算；有理數的乘除運算是同級運算,如果沒簡便計算情況下，一般要按照從左到右的順序進行.題型一、兩個有理數的乘法運算例1若兩數之積為負數，則這兩個數一定是（）A．同為正數 B．同為負數 C．一正一負 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了有理數的乘法計算，熟知兩個非零的有理數相乘，同號為正，異號為負是解題的關鍵．【詳解】解：∵兩個非零的有理數相乘，同號為正，異號為負，∴若兩數之積為負數，則這兩個數一定是一正一負，故選：C．【分析】本題主要考查了有理數的乘法計算，直接根據有理數乘法計算法則求解即可．故答案為：．12計算【答案】(1)0；(2)；(4)；(5)0；(7)1；(8)【分析】本題考查了有理數的乘法法則，正確運用有理數的乘法法則，尤其是符號法則，是解題的關鍵．（1）根據0與任何數相乘都得0進行計算；（2）根據兩數相乘，異號得負進行計算；（3）根據兩數相乘，異號得負進行計算；（4）根據兩數相乘，同號得正進行計算；（5）根據0與任何數相乘都得0進行計算；（6）根據兩數相乘，異號得負進行計算；（7）先利用乘法交換律，再根據兩數相乘，同號得正進行計算；（8）先計算括號中的式子，再根據兩數相乘，異號得負進行計算．題型二、多個有理數的乘法運算例2（2425六年級上·上海·期中）下列說法中，正確的個數是（

）①個有理數相乘，當因數有奇數個時，積為負；②個有理數相乘，當正因數有奇數個時，積為負；③個有理數相乘，當負因數有奇數個時，積為負；④個有理數相乘，當積為負時，負因數有奇數個；⑤個有理數相乘，當積為正時，正因數有奇數個；⑥個有理數相乘，當積為正時，正因數有偶數個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了有理數的乘法法則，解題的關鍵是熟練使用運算法則進行計算．根據幾個不為0的數相乘，積的符號由負因數的個數確定，負因數有奇數個，積為負；負因數有偶數個，積為正．【詳解】解：①個有理數相乘，當其中一個因數為0時，不管正因數有多少個，積為0，故原說法錯誤；②個有理數相乘，當其中一個因數為0時，不管負因數有多少個，積為0，故原說法錯誤；③個不為0有理數相乘，當負因數有奇數個時，積為負，故原說法錯誤；④個有理數相乘，當積為負時，則負因數一定有奇數個，故原說正確；⑤個有理數相乘，當積為正時，不管正因數有多少個，則負因數一定有偶數個，故原說錯誤；⑥個有理數相乘，當積為正時，不管正因數有多少個，則負因數一定有偶數個，故原說錯誤；故正確的有④共1個，故選：A．【答案】．【分析】本題考查了有理數的乘法運算，根據有理數的運算法則即可求解，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．6．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：(2)(3)60(4)【分析】本題考查有理數乘法運算，熟練掌握有理數乘法運算法則和運算律是解題的關鍵．（1）利用乘法交換律，結合律計算即可；（2）利用乘法交換律，結合律計算即可；（3）利用乘法交換律，結合律計算即可；（4）利用乘法交換律，結合律計算即可．題型三、有理數乘法的實際應用例3（2425六年級上·上海嘉定·期末）某汽車制造廠計劃今年第一季度生產15000輛汽車，但實際生產的轎車數量比計劃增加了，那么該汽車制造廠今年第一季度實際生產了輛汽車．【答案】18750【分析】本題考查分數混合運算的應用，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．根據題意進行列式計算即可．【詳解】解：由題意可得：故答案為：18750．31（2425六年級上·上海·階段練習）股民曹先生上星期五買進某公司股票1000股，每股31元，下表為本周每日該股票的漲跌情況（單位：元）．星期一二三四五每股漲跌注：正數表示比前一天上漲，負數表示比前一天下跌．(1)星期三收盤時，每股是多少元？（列式計算）(2)本周內最高股價是每股多少元？最低價是每股多少元？(3)如果曹先生在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益情況如何？【答案】(1)周三收盤時股價為元(2)本周內最高股價是每股元，最低價是每股元【分析】本題考查了有理數的混合運算，以及正負數表示一對具有相反意義的量，解題關鍵在于認真的閱讀題目，分析題意，認真的進行計算．（1）根據有理數的加法，可得答案；（2）根據有理數的加法，有理數的大小比較，可得答案；（3）分別求出賣出時的受益，買進的費用即可解決問題；【詳解】（1）解：周三收盤時股價為：答：周三收盤時股價為元；答：本周內最高股價是每股元，最低價是每股元；32（2425六年級上·上海·期中）外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學習小組調查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規定送餐量超過40單（送一次外賣為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，下表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量/單(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單．(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每單補貼8元．求外賣小哥這一周工資收入多少元．【答案】(1)45(2)1574元（2）先計算正常產量的工資，加上超產的獎勵工資即可．本題考查的是正負數的實際應用，平均數的計算，有理數的加法與乘法的實際應用，理解題意，正確的列代數式計算計算是解本題的關鍵．答：外賣小哥這一周平均每天送餐45單．（2）解：∵外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每單補貼8元．∴本周工資為：答：外賣小哥這一周工資收入1574元．33（2425六年級上·上海·階段練習）出租車司機小劉某天上午營運全是在南北走向的某條大街上進行的，如果規定向北為正，向南為負，他這天上午的行程是（單位：千米）：，，，，，，，，，．(1)將最后一名乘客送達目的地時，小張距上午出發點的距離是多少千米？在出發點的什么方向？【答案】(1)小張距上午出發點的距離13千米，在出發點的南方(2)需要加油，需要加升才能返回出發地．【分析】本題考查了正負數的意義及有理數的運算；（1）先將各數相加，再根據正負號判斷即可；（2）先算出總路程，再算出消耗油量，最后判斷即可．故小張距上午出發點的距離13千米，在出發點的南方．需要加油，需要加升才能返回出發地．題型四、倒數例4的倒數是．【答案】【分析】本題主要考查了倒數的概念，熟練掌握基本概念是解題的關鍵．先將帶分數化為假分數，再將分子分母顛倒位置即可得到答案．∴的倒數是，故答案為：．41（2425六年級上·上海·期中）若是，則的倒數是．【分析】本題主要考查了倒數的定義，根據乘積為1的兩個數互為倒數，進行計算即可．∴的倒數是．故答案為：．【分析】本題考查了倒數的定義，掌握“乘積是1的兩個數互為倒數”是解題關鍵．將帶分數化為假分數，再求倒數即可．的倒數是，故答案為：．43（2425六年級上·上海閔行·階段練習）下列說法正確的是（

）A．有理數包括正有理數和負有理數 B．和正整數稱為非負數C．除外，所有的有理數都有倒數 D．規定了原點、單位長度和正方向的射線叫做數軸【答案】C【分析】本題主要考查了有理數的分類，倒數，數軸，熟練掌握各個知識點是解題的關鍵．根據有理數的分類，倒數，數軸相關概念逐一判斷即可．【詳解】解：、有理數包括正有理數，和負有理數，原選項說法錯誤，不符合題意；、和正數稱為非負數，原選項說法錯誤，不符合題意；、除外，所有的有理數都有倒數，原選項說法正確，符合題意；、規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸，原選項說法錯誤，不符合題意；故選：．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查倒數，有理數的乘法，關鍵是掌握倒數的定義，有理數乘法的運算法則．由倒數的定義，有理數乘法的運算法則，即可判斷．【詳解】解：①0沒有倒數，故①不符合題意；④幾個不為0的有理數相乘，若有奇數個負因數，則積為負數，故④不符合題意，∴其中正確的結論有2個．故選：B．題型五、有理數乘法運算律【分析】本題考查了有理數的運算，變形后利用乘法分配律計算即可．【答案】13【分析】本題主要考查了有理數四則混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數乘法運算律，準確計算．根據乘法運算律進行計算即可．．【答案】【分析】本題考查有理數的混合運算，利用乘法分配律計算即可．．【答案】【分析】本題考查了有理數的乘法運算律，根據乘法分配律進行計算即可求解．【答案】【分析】本題考查了有理數的乘法分配律，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．利用有理數的乘法分配律求解即可．題型六、有理數的除法運算【答案】/【分析】本題考查了有理數的除法運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．先將帶分數化為假分數，再將除法化為乘法計算即可．，故答案為：．【答案】4【分析】該題主要考查了有理數的除法，解題的關鍵是掌握有理數的除法運算法則．根據除法運算法則計算即可．故答案為：4．【答案】【分析】本題考查了有理數的除法，絕對值的應用，根據題意得出、、、四個數三個為正，一個為負，即可求解．∴、、、四個數三個為正，一個為負，故答案為：．63（2425六年級上·上海崇明·期中）一個數的是的倒數，求這個數．【答案】【分析】本題考查了倒數的定義，掌握乘積為1的兩個數互為倒數是解題的關鍵；根據倒數的定義直接計算即可．所以這個數為．題型七、有理數除法的應用例7（2425六年級上·上海·期末）觀察圖中正方形四個頂點所標數字的規律，可知數2025應標在（

）A．第507個正方形的右上角 B．第507個正方形的右下角C．第506個正方形的左上角 D．第506個正方形的左下角．【答案】B【分析】本題考查了有理數的除法運算的運用，理解圖示，找出規律是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，每個正方形的都有4個數字，故選：B．71（2425六年級上·上海奉賢·期中）把一根長度為5米的繩子平均分成4段，下列說法正確的是（

）A．每一段繩子的長度是米 B．每一段繩子的長度是米C．每一段繩子的長度是米 D．每一段繩子的長度是米【答案】C【分析】本題考查了有理數的除法，根據把一根長度為5米的繩子平均分成4段，得出每一段繩子的長度是米，即可作答．【詳解】解：∵把一根長度為5米的繩子平均分成4段，∴每一段繩子的長度是米，故選：C．72如圖所示，點，，把一條300米環形跑道分為相等的3段．若甲、乙兩人分別從，兩處同時相向出發，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改變方向，經過800秒時，兩人恰好第次相遇．【答案】14【分析】本題考查了有理數混合運算的實際應用；分別求出第一次相遇的時間和之后每次相遇所需時間，再進行計算即可．所以經過800秒時，兩人恰好第14次相遇，故答案為：14．73（2425六年級上·上海長寧·期中）一輛公交車從起點站開出后，途中經過6個停靠站，最后到達終點站，下表記錄了這輛公交車全程載客變化情況，其中正數表示上車人數，負數表示下車的人數．該次公交車從起點站出發，到終點站全體下車．已知中間第四站開車時的人數比起點站的人數多了4個，回答以下問題：停靠起點站中間第一站中間第二站中間第三站中間第四站中間第五站中間第六站終點上下車人數(1)中間第二站上車人數是_______，下車人數是_______，中間第二站開車時車上人數是_______；(2)請問的值是_______；(3)到達終點站時的人數比起點站的人數多了還是少了？此時的人數比起點站的人數多了（或少了）幾分之幾？(4)如果每人次的車票價格是2元，請問這一趟公交車票價總收入為多少元？【答案】(1)，，(2)(3)到達終點站時的人數比起點站的人數少了，此時的人數比起點站的人數少了(4)這一趟公交車票價總收入為92元【分析】本題考查了正負數的意義，有理數的加減法的應用及有理數的乘除法的應用，根據題意列出算式是解題的關鍵．（1）根據表格數據根據正負數的意義，有理數的加減進行計算即可求解；（2）先計算出中間第三站開車時車上人數，再根據中間第四站上車人數結合中間第四站開車時的人數比起點站的人數多了4個，列式計算即可；（3）觀察表格中數據，求出到達終點站時的人數，即可解答；（4）根據表格數據，求出所有上車的人數再加上起點站的人數，最后乘以票價即可解答．【詳解】（1）解：由表格可知：中間第二站上車人數是4人，下車人數是6人，故答案為：4，6，21故答案為：到達終點站時的人數比起點站的人數少了，此時的人數比起點站的人數少了；答：這一趟公交車票價總收入為92元．題型八、有理數乘除混合運算【答案】2【分析】根據有理數乘除的混合運算解答即可．本題考查了有理數乘除的混合運算，熟練掌握運算法則是階梯的關鍵．．【答案】【分析】本題考查了有理數的乘除混合運算，熟練掌握有理數的乘除運算法則是解題的關鍵．根據有理數的乘除運算法則計算即可．【答案】【答案】1【分析】本題主要考查了有理數的乘除混合運算，先確定結果的符號，再將除法變為乘法，按照順序計算即可．．【答案】【分析】本題主要考查了有理數的乘除混合運算．將帶分數轉化成假分數，再根據有理數的乘除法可以解答本題．題型九、有理數四則混合運算【分析】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．先算除法，再算加法即可．【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，解題關鍵是熟練掌握混合運算法則．按照混合運算法則先算括號里面的乘法，再進行通分，然后先算括號里面的，再算括號外面的即可．【答案】【分析】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，計算乘法，再計算加減即可．【答案】【分析】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數運算律和相關運算法則．先用乘法分配律計算，再算括號內，后算加減即可．題型十、有理數四則混合運算的實際應用例10（2425六年級上·上海·階段練習）等額本金是指一種貸款的還款方式，是在還款期內把貸款數總額等分，每月償還同等數額的本金和剩余貸款在該月所產生的利息，這樣由于每月的還款本金額度固定，而利息越來越少，借款人起初還款壓力較大，但是隨時間的推移每月還款敗也越來越少．設小王貸款60萬，月利率是，采用等額本金還款法，準備在半年內還清，請問他第一個月需還款多少萬元？第二個月需還款多少萬元？最后總共要還款多少萬元？【答案】第一個月需還款10.6萬元，第二個月需還款10.5萬元，最后總共要還款62.1萬元【分析】本題考查了有理數混合運算的應用，利率問題，正確理解題意是解題的關鍵．先求出每月應還本金，再由還款金額等于本金加利息求出每個月需要還款金額，再相加即可．答：第一個月需還款10.6萬元，第二個月需還款10.5萬元，最后總共要還款62.1萬元．(1)小張的這張加油卡，在計劃日期內至少優惠了多少元？（提示：要求出最少優惠，那么就要避開特殊日子）(2)如果小張合理規劃加油日期，從2月15日至3月31日期間，總共最多可以加_________升油．（直接寫出答案）【答案】(1)元(2)【分析】本題主要考查了有理數四則混合計算的實際應用，正確理解題意列出對應的算式求解是解題的關鍵．（1）先求出總加油數，則可求出按照原價加油的費用，再減去辦卡的費用即可得到答案；（2）根據題意可得個位數字是5的日期有5天，那么分別求出5天普通日子的加油數和5天特殊日子加油的費用，二者求和即可得到答案．答：在計劃日期內至少優惠了元；（2）解：2月15日至3月31日期間，個位數字是5的日期有2月15日，2月25日，3月5日，3月15日，3月25日，一共五天特殊日期，∴總共最多可以加升油．102（2425六年級上·上海金山·期中）某檢修小組從地出發，在東西向的馬路上檢修線路，如果規定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中七次行駛記錄如下．（單位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次(1)收工時檢修小組位于地的______（東面西面），距離地______千米．(2)若每千米耗油升，問檢修小組全程共耗油多少升？【答案】(1)西面，【分析】（）根據正負數的意義列出算式計算即可；（）求出總路程，再乘以每千米耗油即可；本題考查了正負數的意義，有理數加法和混合運算的實際應用，根據題意正確列出算式是解題的關鍵．∴收工時檢修小組位于地的西面，距離地千米，故答案為：西面，；(1)早間新聞播報將在幾點結束?(2)早間新聞播報期間甲、乙兩臺將分別插播幾分鐘廣告?【答案】(1)(2)早間新聞播報期間甲、乙兩臺分別插播了9分鐘和6分鐘廣告．【分析】本題主要考查最小公倍數及整數四則運算的應用，理解題意是解題關鍵．（1）甲臺新聞加廣告是12分鐘，乙臺新聞加廣告是18分鐘；12，18的最小公倍數是36，所以是36分鐘之后早間新聞播報結束，由此即可得；（2）用最小公倍數36分別除以新聞加廣告共用的時間再乘插播廣告時間即可．因為12和18的最小公倍數為36，所以早間新聞播報用了36分鐘，所以結束時間為；答：早間新聞播報期間甲、乙兩臺分別插播了9分鐘和6分鐘廣告．A組1.（2425六年級上·上海·期中）下列說法正確的是（

）A．零是最小的非負有理數 B．任何一個數的絕對值是它本身C．有理數中沒有絕對值最小的數 D．任何一個正數大于它的倒數【答案】A【分析】此題主要考查了有理數的特征和分類，有理數大小比較的方法，絕對值以及倒數，根據有理數的特征和分類，有理數大小比較的方法，絕對值的含義和求法，以及倒數的含義和求法，逐項判斷即可．【詳解】解：A、零是最小的非負有理數，正確，本選項符合題意；B、負數的絕對值是它的相反數，例如的絕對值是2，不是它本身，故原說法錯誤，本選項不符合題意；C、有理數中絕對值最小的數是0，故原說法錯誤，本選項不符合題意；D、任何一個正數不一定大于它的倒數，例如小于它的倒數（的倒數是2），故原說