試題試題2024北京朝陽外國語學(xué)校高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知全集為R，集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥0}，則（?RB）∩A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0}2．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的為（）A．y＝log0.2x B． C．y＝22x D．y＝tanx3．已知tanα，tanβ是方程x2+7x﹣13＝0的兩個根，則tan（α+β）＝（）A．﹣2 B．2 C． D．4．若a＝log32，b＝log45，c＝log0.32，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b5．已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）的部分圖象如下，與其交于A，B兩點(diǎn)．若，則ω＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，若四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（）A．8 B．16 C． D．7．若函數(shù)f（x）＝則函數(shù)f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，2）8．已知a為實(shí)數(shù)，則“?x＞0，ax+≥2”是“a≥1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．△ABC中，，若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則BC邊的最小長度是（）A． B． C． D．10．設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的公差為d，集合T＝{t|t＝sinan，n∈N*}．則（）A．T不可能有無數(shù)個元素 B．當(dāng)且僅當(dāng)d＝0時(shí)，T只有1個元素 C．當(dāng)T只有2個元素時(shí)，這2個元素的乘積有可能為 D．當(dāng)時(shí)，T最多有k個元素，且這k個元素的和為0二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a10＝．12．（5分）若，則＝．13．（5分）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則的值為．14．（5分）如圖，直角△POB中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于A點(diǎn)．若圓弧等分△POB的面積，且∠AOB＝α弧度，則＝．15．（5分）△ABC為銳角三角形，其三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b＝1，C＝2B，則△ABC周長的取值范圍為．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1．（Ⅰ）求證：AB∥平面A1DCB1；（Ⅱ）求直線AB和平面A1DCB1所成的角．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝6，，B＝45°．（1）求b的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求△ADC的面積．18．（14分）已知函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)f（x）存在．條件①：函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)；條件②：；條件③：．（1）求φ的值；（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x2﹣ax，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若a＝0，令p（x）＝f′（x），求證：對任意的x1，x2，x3∈[﹣1，1]，都有p（x1）+p（x2）＞p（x3）成立．20．（15分）已知函數(shù)；（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；（2）若f（x）在（1，e）上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（15分）設(shè)n∈N*且n≥2，集合Sn＝{（x1，x2…，xn）||x1|＝1，|xi+1|＝2|xi|（i＝1，2…，n﹣1）}．（Ⅰ）寫出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）設(shè)（a1，a2，…an），（b1，b2，…，bn）∈Sn，證明“ai＝bi”的充要條件是“ai＝bi（i＝1，2，3，…n）”；（Ⅲ）設(shè)集合Tn＝{xi|（x1，x2，…，xn）∈Sn}，求Tn所有正數(shù)之和．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可．【解答】解：?RB＝{x|x＜0}，（?RB）∩A＝{x|﹣1＜x＜0}．故選：D．2．【分析】掌握常見函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案．【解答】解：A．y＝log0.2x為對數(shù)函數(shù)，0.2＜1，所以函數(shù)y＝log0.2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意；B．，為對勾函數(shù)，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，不符合題意；C．y＝22x＝4x，函數(shù)y＝4x為指數(shù)函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；D．y＝tanx，為正切函數(shù)，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，不符合題意；故選：C．3．【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得出：tanα+tanβ＝﹣7，tanαtanβ＝﹣13，然后根據(jù)兩角和的正切公式即可求出答案．【解答】解：由題可知，tanα+tanβ＝﹣7，tanαtanβ＝﹣13，則：．故選：C．4．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小．【解答】解：a＝log32∈（0，1），b＝log45＞1，c＝log0.32＜0，則b＞a＞c．故選：B．5．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得．【解答】解：設(shè)，，則由|AB|＝，得，由，得或，由圖可知，ωx2+φ﹣（ωx1+φ）＝，即，所以ω＝4．故選：D．6．【分析】先計(jì)算出每個面的面積，再乘以8即為表面積．【解答】解：每個面的面積為，所以該圖形的表面積為．故選：C．7．【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的的性質(zhì)及分段函數(shù)性質(zhì)可求．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝2x∈（0，2），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝﹣log2x≤0，則函數(shù)f（x）的值域（﹣∞，2）．故選：A．8．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式，對兩個條件進(jìn)行正反推理論證，即可得到本題的答案．【解答】解：若?x＞0，ax+≥2，則a≥，當(dāng)x＝1時(shí)，不等式的右邊取得最大值1，故a≥1，充分性成立；若a≥1，則x＞0時(shí)，≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝a＝1時(shí)，等號成立，即≥2恒成立，因此，由“a≥1”可以推出“?x＞0，ax+≥2”，必要性成立．綜上所述，“?x＞0，ax+≥2”是“a≥1”的充要條件．故選：C．9．【分析】設(shè)，得到恒成立，得出AC⊥BC，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得到，即可求解．【解答】解：設(shè)，如圖所示，因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)t，都有恒成立，由恒成立，則AC⊥BC，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)m＝﹣1時(shí)，等號成立．故選：C．10．【分析】通過舉反例否定A、C選項(xiàng)；d＝0時(shí)，可求出T中不止一個元素，否定B選項(xiàng)，然后時(shí)，可研究一個y＝sinx在一個周期[0，2π）內(nèi)的T的元素之和，判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對于A，不妨令an＝n，則d＝1，則t＝sinan，由于y＝sinx的周期為2π，且對稱軸為，k∈Z，則對任意的ai，aj，i，j∈N*，i≠j，必有sinai≠sinaj，當(dāng)an有無窮項(xiàng)時(shí)，T中有無數(shù)元素，A錯誤；對于B，令an＝nπ，此時(shí)d＝π，此時(shí)sinnπ＝0，T中只有一個元素0，B錯誤；對于C，若T中只有兩個元素，根據(jù)y＝sinx的周期性與中心對稱性，sinan的值必一正一負(fù)，因?yàn)槿魞蓚€值都為正，必不滿足等差數(shù)列的定義，所以該兩個數(shù)的乘積必為負(fù)，C錯誤；對于D，當(dāng)時(shí)，在y＝sinx的一個周期[0，2π）內(nèi)，取a1＝0，此時(shí)＝2π，比如取k＝5，此時(shí)sina1，sina2，?，sina5兩兩不相等，此時(shí)T有5個元素；而結(jié)合y＝sinx的周期為2π可知，必有sinai必周期性重復(fù)出現(xiàn)，所以T中最多有k個元素；再證明和為0，＝＝[﹣]＝[﹣cos（）]＝0，D正確．故選：D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算求解即可．【解答】解：等差數(shù)列{an}的公差d為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，可得a32＝a1a4，即有（a1+4）2＝a1（a1+6），解得a1＝﹣8，a10＝﹣8+2×9＝10．故答案為：10．12．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)椋瑒t＝cos[﹣（﹣α）]＝．故答案為：．13．【分析】由已知結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則＝（﹣1，﹣2），＝（6，﹣4），＝（﹣5，﹣2），因?yàn)椋剑裕ī?，﹣2）＝（﹣λ，﹣2λ）+（6μ，﹣4μ）＝（﹣λ+6μ，﹣2λ﹣4μ），所以﹣λ+6μ＝﹣5，﹣2λ﹣4μ＝﹣2，解得，λ＝2，得．故答案為：﹣4．14．【分析】設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出高PB，計(jì)算直角三角形的面積，由條件建立等式，解此等式求出tanα與α的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為αr2，直角三角形POB中，PB＝rtanα，△POB的面積為r×rtanα，由題意得r×rtanα＝2×αr2，∴tanα＝2α，∴＝．故答案為：．15．【分析】借助正弦定理結(jié)合所給條件可將周長用B表示，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)可得B的范圍，即可得解．【解答】解：b＝1，C＝2B，由正弦定理，可得，則，，則△ABC周長為＝＝cos2B+2cos2B+2cosB+1＝2cos2B﹣1+2cos2B+2cosB+1＝，由△ABC為銳角三角形，則，解得，故，則，即△ABC周長的取值范圍為．故答案為：．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可得AB∥A1B1，再由線面平行的判斷定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得線面角的大小．【解答】（Ⅰ）證明：在正方體中，AB∥A1B1，而AB?平面A1DCB1，A1B1?平面A1DCB1，所以AB∥平面A1DCB1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得直線AB和平面A1DCB1所成的角為0弧度．17．【分析】（1）根據(jù)余弦定理列式，即可求出b的值；（2）根據(jù)正弦定理求出AD長，再根據(jù)余弦定理求出BD長，最后根據(jù)面積公式求出△ADC的面積．【解答】解：（1）因?yàn)閍＝6，，B＝45°，所以，得；（2）根據(jù)，得（舍負(fù)），在△ABD中，根據(jù)正弦定理，解得，所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB，即，整理得9BD2﹣36BD﹣28＝0，解得或（舍負(fù)），所以，且，可得△ADC的面積．18．【分析】（1）根據(jù)題意先把函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，然后根據(jù)所選的條件，利用三角函數(shù)輔助角公式，三角函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間而分別計(jì)算并判斷是否使函數(shù)f（x）存在，從而求解；（2）根據(jù)（1）中選的不同條件下得出函數(shù)的解析式，然后求出在區(qū)間上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由題意，f（x）＝2cosx?cos（x+φ）＝2cosx?（cosxcosφ﹣sinxsinφ）＝2cosφcos2x﹣2sinφsinxcosx＝cosφ（1+cos2x）﹣sinφsin2x＝（cos2xcosφ﹣sinφsin2x）+cosφ＝cos（2x+φ）+cosφ，當(dāng)選條件①時(shí)，由f（x）＝cos（2x+φ）+cosφ，可得當(dāng)﹣π+2kπ≤2x+φ≤2kπ，k∈Z時(shí)，即，k∈Z時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閒（x）在上單調(diào)遞增，所以得，解得，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，，與已知條件矛盾，故條件①不能使得f（x）存在．當(dāng)選條件②時(shí)，，即，因?yàn)椋裕裕裕傻茫矗?dāng)選條件③時(shí)，，又f（x）＝cos（2x+φ）+cosφ，所以當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值，即，又，所以，得．（2）當(dāng)選條件②，③時(shí)，，則，因?yàn)椋裕?dāng)，即時(shí)，f（x）取最小值，最小值為，當(dāng)，即x＝0時(shí)，f（x）取最大值，最大值為1．19．【分析】（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)，求出切線的斜率k＝f'（0），再求出切線方程即可；（Ⅱ）當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)p（x）＝ex﹣x，根據(jù)條件，求出p（x）的值域，再證明p（x1）+p（x2）＞p（x3）成立即可．【解答】解：（Ⅰ）由，得f（0）＝1，f'（x）＝ex﹣x﹣a，所以切線的斜率k＝f'（0）＝1﹣a，所以切線l的方程為y﹣1＝（1﹣a）x，即y＝（1﹣a）x+1；（Ⅱ）證明：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)p（x）＝ex﹣x，p′（x）＝ex﹣1，易知，p（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，又，所以p（x）的值域?yàn)閇1，e﹣1]，對任意的x1，x2，x3∈[﹣1，1]，都有p（x1）+p（x2）≥1+1＞e﹣1≥p（x3），所以p（x1）+p（x2）＞p（x3）．20．【分析】（1）對函數(shù)式進(jìn)行兩次求導(dǎo)分析即得；（2）對于含參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常考慮運(yùn)用分析討論法，即對導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類逐個分析，找到符合題意的情況即得．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，，x∈[1，+∞），，令g（x）＝1﹣lnx+x3，x∈[1，+∞），，則g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則g（x）min＝g（1）＝2＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）min＝f（1）＝0．（2），x∈（1，e），，令g（x）＝ax3﹣lnx+1，x∈（1，e），，（i）當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（1，e）上是減函數(shù)，則g（x）＜g（1）＝a+1，①若a≤﹣1，易得f′（x）＜0，則f（x）在（1，e）上是減函數(shù)，f（x）max＜f（1）＝0，不合題意；②若﹣1＜a＜0，因g（1）＝a+1＞0，g（e）＝ae3＜0，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必?x0∈（1，e），使g（x0）＝0，即f′（x0）＝0，x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（1，x0）x0（x0，e）f′（x）+0﹣f（x）單調(diào)遞增極大值f（x0）單調(diào)遞減則f（x0）＞f（1）＝0，故要使函數(shù)f（x）在（1，e）上存在零點(diǎn)，需使，即；（ii）當(dāng)a＝0時(shí)，，而，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（1，e）上是增函數(shù)，f（x）＞f（1）＝0，不合題意；（iii）當(dāng)a＞0時(shí)，在（1，e）上是增函數(shù)，y＝a（x2﹣1）在（1，e）上是增函數(shù)，則f（x）在（1，e）上是增函數(shù)，f（x）＞f（1）＝0，不合題意，綜上所述，a的取值范圍是．21．【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用以ai＝不為零這個特性，結(jié)合反證法可以證明．（3）根據(jù)計(jì)數(shù)原理，Tn為正時(shí)，最后一項(xiàng)的系數(shù)必為正數(shù)，再看前n﹣1項(xiàng)的情況，數(shù)出個數(shù)相加即可．【解答】解：（1）依題意，|x1|＝1，|x2|＝2|x1＝2，∴x1＝±1，x2＝±2，|∴集合S2中的所有元素為：（1，2），