試題試題2024北京朝陽外國語學校高三10月月考數學2024.10（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.若全集，則（）A. B. C. D.2.關于函數的單調性的說法正確的是（）A.在上是增函數 B.在上是減函數C.在區間上是增函數 D.在區間上是減函數3.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則（）A. B. C. D.4.函數是定義在上的奇函數，當時，，則（）A. B.2 C. D.5.函數，其中，，，它的圖象如圖所示，則的解析式為（）．A.，B.，C.，D.，6.若a，b，l是空間中三條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題中真命題是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則7.已知，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.8.設等比數列的前項和為，則“”是“數列為遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.光線通過一塊玻璃，強度要損失．設光線原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為，則經過塊這樣的玻璃后光線強度為：，那么至少通過（）塊這樣的玻璃，光線強度能減弱到原來的以下（，）A. B. C. D.10.已知無窮數列的各項均為實數，為其前n項和，若對任意正整數都有，則下列各項中可能成立的是（）A.，，，…，為等差數列，，，，…，為等比數列B.，，，…，為等比數列，，，，…，為等差數列C.，，，…，為等差數列，，，…，，…為等比數列D.，，，…，為等比數列，，，…，，…為等差數列第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知等比數列的前項和為，則__________.12.已知向量，，則=______13.已知，且，則________．14.設正實數滿足，則__________．15.某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數，分別為紅、藍兩方初始兵力，t為戰斗時間；，分別為紅、藍兩方t時刻的兵力;正實數a，b分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；和分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T．給出下列四個結論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰斗演習勝利；④若，則紅方獲得戰斗演習勝利．其中所有正確結論的序號是________．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數的定義域和值域.17.在中，已知．（1）求角C的大??；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長是．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.如圖．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；（2）若F為線段BC上靠近B的三等分點，求平面AFE與平面AFC夾角的余弦值．19.已知函數，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調區間；（3）在（2）的條件下，若對于任意，不等式成立，求a的取值范圍．20.已知函數，設l為曲線y=fx在點處的切線，其中．（1）求直線l在y軸上的截距的取值范圍：（2）設直線分別與曲線y=fx和射線（）交于M，N兩點，求MN的最小值及此時a的值．21.已知為有窮整數數列，若滿足：，其中，是兩個給定的不同非零整數，且，則稱具有性質.（1）若，，那么是否存在具有性質的？若存在，寫出一個這樣的；若不存在，請說明理由；（2）若，，且具有性質，求證：中必有兩項相同；（3）若，求證：存在正整數，使得對任意具有性質的，都有中任意兩項均不相同.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】C【分析】根據給定條件，利用補集、并集的定義直接求解即可.【詳解】由，得，而，所以.故選：C2.【答案】C【分析】先求出函數定義域，再結合復合函數單調性性質進行判斷即可.【詳解】由函數的解析式知定義域為，設，顯然在上是增函數，在上是增函數，由復合函數的單調性可知在上是增函數，故選：C3.【答案】B【分析】根據三角函數的定義可先得，再根據誘導公式計算即可.【詳解】由正弦函數的定義可知，再利用誘導公式知故選：B4.【答案】D【分析】根據奇函數的性質求解即可.【詳解】解：因為是定義在上的奇函數，當時，，所以.故選：D.5.【答案】A【分析】將點與的坐標代入函數表達式，建立關于的方程組即可求解.【詳解】點與代入中，，∴，，故選：A．6.【答案】A【分析】由線線，線面，面面的位置關系逐項判斷即可得結論.【詳解】對于A，若，，，由線面平行的性質可得，故A正確；對于B，若，，，當時，得不出，故B錯誤；對于C，若，，，可能，也可能與相交，故C錯誤；對于D，若，，，可能，也可能，也可能不共線且不垂直，故D錯誤.故選：A.7.【答案】B【分析】令，根據的單調性得，取滿足條件的特殊值排除選項ACD，可證得選項B正確；【詳解】由得，令，即因為在R上為增函數，在R上為減函數，故在R上為增函數，所以.對A：取，則，故A錯誤；對B：由得，所以，故B正確；對C：取，則，故C錯誤；對D：取，則，故D錯誤；故選：B8.【答案】D【分析】根據等比數列的求和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】為等比數列，設公比為，當，數列不一定是遞增數列，如當，時，中的各項均為負數，，是遞減數列，充分性不成立；當數列為遞增數列時，不一定成立，如當，時，，，，必要性不成立.“”是“數列為遞增數列”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.【答案】C【詳解】光線經過塊玻璃后，強度變為，光線經過塊玻璃后，強度變為，……光線經過塊玻璃后，強度變為．由題意，即，兩邊同取對數，可得，∵，∴，又，所以至少通過塊玻璃，光線強度能減弱到原來的以下．選．點睛：對于本題中的問題，在實際問題中常用指數函數模型（其中N是基礎數，p為增長率，x為時間）或冪函數模型（其中a為基礎數，x為增長率，n為時間）求解．解題時往往用到對數運算，要注意結合已知條件中給定的值對應求解．10.【答案】C【分析】根據題意，假設，，…，為等差數列，公差為，分討論，找出矛盾，可判斷A，B，D選項，對于C，舉例說明.【詳解】由題對任意正整數，都有，可判斷，，…，不可能為等差數列，理由如下：假設，，…，為等差數列，公差為，若，，則，矛盾；若，，當時，，存在使得，矛盾；若，，當時，，存在使得，矛盾；若，當時，，，必有使得，矛盾；若，當時，，，必有使得，矛盾；對于A，為等差數列與上述推理矛盾，故A錯誤；對于B，為等差數列與上述推理矛盾，故B錯誤；對于D，為等差數列與上述推理矛盾，故D錯誤；對于C，取，，，滿足題意，故C正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用反證法假設，，…，為等差數列，推理找出矛盾，依此判斷.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】設公比，由條件列出方程，求出公比和首項，代入等比數列求和公式計算即得.【詳解】設等比數列an的公比為，由，得，所以，又，故.故答案為：.12.【答案】5【分析】根據向量的坐標運算求解即可.【詳解】因為向量，，所以，所以，故答案為：513.【答案】或【分析】把代入方程解方程即可.【詳解】，解得：或，因為，所以或.故答案為：或.14.【答案】【分析】根據對數的運算法則與性質化簡即可得解.【詳解】由，得．所以．故答案為：15.【答案】①②④【分析】對于①根據已知條件利用作差法比較大小即可得出，所以①正確；對于②，利用①中結論可得藍方兵力先為0，即解得，②正確；對于③和④，若要紅方獲得戰斗演習勝利，分別解出紅、藍兩方兵力為0時所用時間、，比較大小即可知③錯誤，④正確.【詳解】對于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對于②，當時根據①中的結論可知，所以藍方兵力先為0，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數可得，即，所以戰斗持續時長為，所以②正確；對于③，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可，設紅方兵力為0時所用時間為，藍方兵力為0時所用時間為，即，可得同理可得即，解得又因為都為正實數，所以可得，紅方獲得戰斗演習勝利；所以可得③錯誤，④正確.故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函數的定義域為，值域為【分析】（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數間的基本關系求出及的值，再代入中即可得到結果.（2）函數解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數，根據的范圍，即可得到函數值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數的定義域為.化簡，得，因為，且，，所以，所以.所以函數的值域為.（注：或許有人會認為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式，三角函數函數值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數關系式的問題，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理邊化角即可結果；（2）利用正弦定理可得.若選條件①：根據題意可得，進而分析其唯一性即可；若選條件②：利用余弦定理可得，，進而求，進而可得面積；若選條件③：根據周長可得，利用余弦定理并分析其唯一性.【小問1詳解】因為，即，可得，且，所以.【小問2詳解】因為，，由正弦定理可得，可得.若選條件①：因為，，即，可得，可知滿足條件的角A有兩個，不唯一，不合題意；若選條件②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，則，，因為兩角和兩邊均已確定，根據三角形全等可知三角形存在且唯一，又因為，所以的面積；若選條件③：因為的周長是，則，即，由余弦定理可得，即，整理可得，且，可知方程有2個不相等的實根，且，可知方程有2個不相等的正實根，即邊a不唯一，不合題意.綜上，只有選條件②符合題意.18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據給定條件，證明，結合線面垂直的性質、判定證得平面，再由面面垂直的判斷推理作答.（2）以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【小問1詳解】因，為中點，則，又底面，而底面，則有，又因，，平面，于是得平面，而平面，因此，又，平面，從而得平面平面，所以平面平面．【小問2詳解】以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，因底面，則平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，得，設平面AFE與平面AFC夾角為，顯然為銳角，則，所以二平面AFE與平面AFC夾角的余弦值為．19.【答案】（1）；（2）單調遞減區間為和，單調遞增區間為；（3）．【分析】（1）由導數的意義求出切線的斜率，再把代入原函數求出，最后由點斜式寫出直線方程即可；（2）求導后令導數為零，解出兩個根，再由導數的正負確定單調區間即可；（3）含參數的函數不等式恒成立問題，先由單調性得到，，，解不等式得到參數的范圍，再比較參數大小，確定范圍即可.【小問1詳解】因為，所以．所以．所以，．所以曲線y=fx在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】因為，定義域為，所以．因為，令，即，解得，，所以．當x變化時，f'x，x2f00單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減所以的單調遞減區間為和，單調遞增區間為．【小問3詳解】在（2）的條件下，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．因為對于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因為，所以．所以a的取值范圍是．20.【答案】（1）（2）的最小值為，【分析】（1）求導，得到切線的斜率，由此得切線的方程；直線在軸上的截距為．設新的函數，求導，求最值即可.（2）過作軸的垂線，與射線交于點，得到是等腰直角三角形，．設，求最值即可.【小問1詳解】對求導數，得，所以切線的斜率為，由此得切線的方程為：，即.得直線在軸上的截距為．設，．所以，令，得．列表得：單調遞減單調遞減所以函數在上單調遞減，所以，，所以直線在軸上的截距的取值范圍是．【小問2詳解】過作軸的垂線，與射線交于點，所以是等腰直角三角形．所以．設，，所以．令，則，所以在上單調遞增，所以，從而在上單調遞增.所以，此時，．所以的最小值為，此時．21.【答案】（1）不存在具有性質的，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據所給定義，設，，，中有個，個，從而有，推出矛盾；（2