試題試題2024北京理工大附中高三（下）開學考數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.如圖，在復平面內，復數，對應的點分別為，，則復數為（）A. B. C. D.-33.已知直線，直線，且，則（）A. B.1 C. D.44.已知拋物線的焦點為，點在上，，則（）A.5 B.4 C.3 D.25.在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.6.已知平面向量，，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.7.若，，則A. B. C. D.8.已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“"是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知是公比為的等比數列，為其前項和．若對任意的，恒成立，則（）A.是遞增數列 B.是遞減數列C.是遞增數列 D.是遞減數列10.在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.在的展開式中，的系數為______．12.已知雙曲線的一條漸近線上一點為，則雙曲線離心率為______．13.已知數列的前項和滿足，且成等差數列，則__________；__________．14.已知函數，，其中.若，使得成立，則____．15.已知數列，，．給出下列四個結論：①；②；③為遞增數列；④，使得．其中所有正確結論的序號是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，，再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：邊上的高為；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.17.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，平面平面，且,，點G是EF的中點.（1）證明：平面；（2）若直線BF與平面所成角的正弦值為，求的長；（3）判斷線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18.2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現碳中和.”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和.某校環保社團為了解本校學生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機抽取了200名學生進行調查，樣本調查結果如下表：假設每位學生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834（1）從該校學生中隨機抽取一人，估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從樣本高中部和初中部的學生中各隨機抽取一名學生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數，求的分布列和數學期望；（3）從樣本中隨機抽取一名男生和一名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式.直接寫出方差和的大小關系.（結論不要求證明）19.已知橢圓與軸交于兩點，與軸的一個交點為，△的面積為2.（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）在軸右側且平行于軸的直線與橢圓交于不同的兩點，直線與直線交于點.以原點為圓心，以為半徑的圓與軸交于兩點（點在點的左側），求的值.20.已知函數．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數，求的單調區間；（3）判斷極值點的個數，并說明理由．21.在無窮數列中，是給定的正整數，，．（Ⅰ）若，寫出的值；（Ⅱ）證明：數列中存在值為的項；（Ⅲ）證明：若互質，則數列中必有無窮多項為．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】C【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為，，所以，因為，所以.故選：C.2.【答案】A【分析】利用復數的幾何意義得到復數，，再利用復數的四則運算即可得解.【詳解】依題意，在復平面內，復數，對應的點分別為，，則，，所以.故選：A.3.【答案】B【分析】利用兩條直線平行，斜率相等，截距不相等即可得解.【詳解】因為直線，，，所以，則直線可化為，由，得，解得或，當時，，，滿足題意；當時，，，兩直線重合，不滿足題意；所以.故選：B。4.【答案】D【分析】先由拋物線的焦半徑公式求出點橫坐標，從而得到軸，從而得解.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程，如圖：不妨設，因為點在上，所以，得，又，所以軸，，所以.故選：D.5.【答案】C【分析】根據題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求點到平面的距離，從而得解.【詳解】依題意，設，則平面，因為平面，所以為與平面所成角，即，因為，所以，則，以點為原點，建立空間直角坐標系如圖，則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，故，所以點到平面的距離為.故選：C.6.【答案】C【分析】根據題意，利用向量平行、垂直的坐標表示，依次分析選項是否成立，綜合可得答案．【詳解】對于A，，，則不成立，則A錯誤；對于B，，因為，則B錯誤；對于C，向量，，則，則有，即，C正確；對于D，，，因為，則與平行不成立，D錯誤；故選：C.7.【答案】C【詳解】試題分析：用特殊值法，令，，得，選項A錯誤，，選項B錯誤，，選項D錯誤，因為選項C正確，故選C．【考點】指數函數與對數函數的性質【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數的單調性進行比較；若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.8.【答案】D【分析】由題意得，再結合必要不充分條件的定義、斜率與傾斜角的關系，特殊角的三角函數值即可得解.【詳解】由題意兩直線均有斜率，所以，當時，取，則，但，即充分性不成立；當時，取，則，但，即必要性不成立；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.9.【答案】A【分析】先根據等比數列前項和，結合恒成立，分析的取值范圍，得到與的單調性，從而得解.【詳解】因為是公比為的等比數列，為其前項和，由恒成立，得，即恒成立，若，則可能為正也可能為負，不等式不恒成立；若，則，顯然不等式不成立；所以，則，，顯然，當時，，此時是遞增數列，是遞增數列；當時，，此時是遞增數列，是遞減數列；綜上，是遞增數列，的單調性不確定.故選：A.10.【答案】C【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立所示的空間直角坐標系，設點，分、、三種情況討論，確定截面與各棱的交點，求出截面面積關于的表達式，由此可解得截面面積的最小值.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、，設點，其中.①當時，點與點重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時平面即為平面，截面面積為；②當時，同①可知截面面積為；③當時，，，，，則，設平面交棱于點，，，可得，不合乎題意.設平面交棱于點，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為.綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查正方體截面面積最值的求解，解題的關鍵在于確定截面與各棱交點的位置，這里可以利用空間向量法，將線線垂直關系轉化為向量數量積為零來處理，確定點的位置，進而將截面面積的最值利用函數的最值來求解.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】利用二項式定理寫出通項公式，令即可求的系數.【詳解】因為，則，故，而的展開通項公式為，令，得，則所求的系數為.故答案為：.12.【答案】【分析】由雙曲線方程可得其漸近線方程,從而得關于的方程,再結合離心率公式求解即可.【詳解】因為雙曲線可化為，且，所以其漸近線方程為，因為在其中一條漸近線上，所以，則，所以該雙曲線的方程為，則，故，所以該雙曲線的離心率.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】根據題意，得到，得到為等比數列，列出方程組，求得，再由等比數列的通項公式，即可求解.【詳解】由數列的前項和滿足，當時，，兩式相減可得，又由成等差數列，所以，即，解得，所以數列是以2為公比的等比數列，所以數列的通項公式為.故答案為：；.14.【答案】【分析】根據題意可得，分別求兩邊的范圍，利用子集關系，得到結果.【詳解】解：依題意，得：，化簡，得：，因為.，所以，，即，所以，，因為，且，因為，有成立，所以，，所以，所以，，所以，.故答案為【點睛】本題考查了函數的單調性與值域,考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.【答案】②④【分析】利用指數函數的單調性可判定①②③，根據條件遞推得，結合不等式性質可判定④.【詳解】對于①，根據題意可知，因為，所以，即，故①錯誤；對于③，則，故，即，所以，即，故③錯誤；對于②，依次遞推有，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，故②正確；對于④，因為，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故答案為：②④.【點睛】難點點睛：本題的難點是利用指數函數的單調性，逐一分析列舉得出，從而可判定②.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）.【分析】選①：（1）在直角中，，再利用即可求得結果；（2）在直角中，由，得，再利用面積公式即可得解.選②：（1）直接利用即可求得結果；（2）由正弦定理，求得，再利用面積公式即可得解；選③：（1）由，得，再利用即可得結果；（2）直接利用三角形面積公式得解.【詳解】選①：邊上的高為（1）設邊上高為，在直角中，，，（2）在直角中，因為，選②：（1），，又，（2），選③：.，又，（2）【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.17.【答案】（1）證明見解析（2）或（3）存在；【分析】（1）由面面垂直性質定理，可得線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用線面角的向量求法即得；（3）利用空間向量確定坐標，從而得出其位置.【小問1詳解】因為，點G是EF的中點，所以，又因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因為平面，，所以兩兩垂直.以A為原點，以，，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，設，則，，所以，，，設平面的法向量為，由，得，令,得，因為BF與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得或，所以或；【小問3詳解】假設線段上存在一點，使得平面，設，則，由，得，設，則，所以，設平面的法向量為，因為，，由，得，令,得，因為平面，所以，即，解得.所以，此時，所以當時，平面.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，的數學期望為；（3）.【分析】（1）運用古典概率公式即可；（2）的取值有0，1，2，分別求得隨機變量取每一個值的概率得出分布列，由公式求得其數學期望；（3）由表中數據可得結論.【小問1詳解】解：由已知得，清楚垃圾分類后處理方式的有人，所以從該校學生中隨機抽取一人，該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率為；【小問2詳解】解：高中部共有名學生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學生有人，初中部共有名學生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學生有人，從樣本高中部和初中部的學生中各隨機抽取一名學生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數，則的取值有0，1，2，所以，，，所以的分布列為：X012P所以的數學期望為；【小問3詳解】解：.19.【答案】（Ⅰ），離心率為；（Ⅱ）4.【分析】(Ⅰ)由題意結合三角形的面積求得m的值即可確定橢圓方程，然后求解離心率即可；(Ⅱ)由題意首先求得點P的軌跡方程，然后結合雙曲線的定義和幾何性質可得的值.【詳解】（Ⅰ）因為由橢圓方程知：，，所以所以橢圓的方程為.由，，得，所以橢圓的離心率為.（Ⅱ）設點,不妨設設，，由得即又，得，化簡得因為，所以，即所以點的軌跡為雙曲線的右支，兩點恰為其焦點，為雙曲線的頂點，且，所以.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解，平面軌跡方程的確定，雙曲線的性質與應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20.【答案】（1）21.答案見解析（2）；理由見解析【分析】（1）求出導數，然后求出，從而求解.（2）由（1）知，然后求出導數，從而可求解.（3）根據（2）中分類討論的情況，然后求出相應的解，從而求出單調區間，從而求解.【小問1詳解】由題意知，定義域為，所以，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，所以，令，即，解得或，當，，當，，當，，所以在，單調遞增，在單調遞減.【小問3詳解】個極值點，理由如下：由（2）知當時，在區間上單調遞增，，，所以存在唯一，使；當時，在區間上單調遞減，，，所以存在唯一，使；當時，，，所以所以在區間無零點；綜上，當，，當