第二十四章一元二次方程（B卷-拔高卷）注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學校九年級期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2020的值為（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，則可表示出m3=2m-1，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，∴m2+m-1=0，∴m2=-m+1，∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．2．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）用配方法解方程，經過配方可轉化為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常數項移到方程的右邊，再兩邊都加上一次項系數一半的平方，再配方即可.【詳解】解：移項得：兩邊都加4得：故選：B.【點睛】本題考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步驟”是解題的關鍵.3．（2022·四川廣元·九年級期末）有一人感染了新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有100人被感染，每輪傳染中平均一個人傳染的人數x滿足的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】每輪傳染中平均一個人傳染的人數為x人,即經過第一輪有（x+1）人感染,則經過第二輪有人得了流感,根據兩次一共有100患了流感即可列出方程．【詳解】解：由題可知1+x+x（1+x）=100．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，認真審題，找到等量關系是解題關鍵．4．（2021·甘肅·金昌市第五中學八年級期末）賓館有50間房供游客居住，當每間房每天定價為180元時，賓館會住滿；當每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房．如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出20元的費用．當房價定為多少元時賓館當天的利潤為10890元？設房價定為x元．則有（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據利潤=房價的凈利潤×入住的房間數可得．【詳解】解：設房價定為x元，根據題意得：，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意，找準等量關系列出方程是關鍵．5．（2022·全國·九年級課時練習）若關于x的一元二次方程的一個根是，則一元二次方程必有一根為（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】對一元二次方程變形，設t＝x＋2得到，利用的一個根是可得t＝2022，從而求出x即可．【詳解】解：對于一元二次方程即，設t＝x＋2，則可得，而關于x的一元二次方程的一個根是，所以有一個根為t＝2022，所以x＋2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程必有一根為x＝2020，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮陽·八年級期末）將個數，，，記成：定義，則方程的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．只有一個實數根【答案】C【分析】根據新定義的運算得出一元二次方程，再利用根的判別式進行判斷其根的情況即可．【詳解】解：∵∴2x2?4x=-3，即，∵b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8﹤0，∴原方程沒有實數根，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是明確題意，將方程進行正確的轉化．7．（2022·河北保定·一模）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以點A為圓心作弧交AB于點D，使AD＝AC，則該方程的一個正根是（）A．CD的長 B．BD的長 C．AC的長 D．BC的長【答案】B【分析】由勾股定理可得：整理可得從而可得答案.【詳解】解：∠C＝90°，AC＝，BC＝b，AD＝AC，整理得：而x2+ax＝b2，方程的一個正根為線段BD的長，故選B【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，勾股定理的應用，理解一元二次方程的解的含義是解本題的關鍵.8．（2021·遼寧葫蘆島·九年級階段練習）如圖，在中，，cm，cm，動點，分別從點，同時開始移動（移動方向如圖所示），點的速度為1cm/s，點的速度為2cm/s，點移動到點后停止，點也隨之停止運動，若使的面積為15cm2，則點運動的時間是（

）A．s B．5s C．4s D．3s【答案】D【分析】設出動點P，Q運動t秒，能使△PBQ的面積為15cm2，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計算公式即可解答．【詳解】設動點P，Q運動t秒后，能使△PBQ的面積為15cm2，則BP為(8?t)cm，BQ為2tcm，由三角形的面積計算公式列方程得，×(8?t)×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（當t＝5時，BQ＝10，不合題意，舍去）．∴動點P，Q運動3秒時，能使△PBQ的面積為15cm2．故答案為:D【點睛】此題考查一元二次方程的應用，借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題．9．（2022·安徽合肥·八年級期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根據一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識逐個分析即可．【詳解】由，表明方程有實數根﹣1，表明一元二次方程有實數解，則，故①正確；∵方程有兩個不相等的實根，∴方程有兩個不相等的實根，即a與c異號．∴-ac>0，∴，∴方程必有兩個不相等的實根；故②正確；∵是方程的一個根，∴，即當時，一定有成立；當c=0時，則不一定成立，例如：方程，則；故③錯誤；∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識，熟練掌握這些知識是解答本題的關鍵．10．（2022·浙江紹興·八年級期末）空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法【答案】A【分析】分兩種情況討論：采用圖1圍法，圖2圍法，設矩形菜園的寬為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗x的范圍，從而可得答案．【詳解】解：設矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當時，采用圖1圍法，則此時當時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結合可得

∴解得：經檢驗不符合題意，綜上：若a＝16，S＝196，則沒有圍法，故A符合題意；設矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當時，采用圖1圍法，則此時當時，解得：經檢驗符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結合可得

∴解得：經檢驗符合題意，綜上：若a＝20，S＝198，則有兩種圍法，故B不符合題意；同理可得：C不符合題意，D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022·江蘇·九年級專題練習）“新冠肺炎”防治取得戰略性成果．若有一個人患了“新冠肺炎”，經過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個人傳染了_________人．【答案】4【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，根據一人患病經過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，即可得出關于x的一元二次方程，解方程求解即可．【詳解】設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，由題意得解得或（舍去）所以，每輪傳染中平均一個人傳染了4人故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．12．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）已知三角形兩邊的長分別是8和，第三邊的長是一元二次方程的一個實數根，則該三角形的面積是_____．【答案】或24【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，當第三邊長為6時，利用等腰三角形的性質和勾股定理可計算出底邊上的高=2，則根據三角形面積公式可計算出此時三角形的面積；當第三邊長為10時，利用勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形，然后根據三角形面積公式求解．【詳解】解：x2-16x+60=0，（x-6）（x-10）=0，x-6=0或x-10=0，所以x1=6，x2=10，當第三邊長為6時，三角形為腰是6，底為8的等腰三角形，則底邊上的高==2，此時三角形的面積==；當第三邊長為10時，∵62+82=102,∴三角形為直角三角形，此時三角形的面積=×8×6=24．故答案為：或24【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關系，勾股定理及其逆定理．13．（2022·北京昌平·八年級期末）2022年女足亞洲杯在2022年1月20日至2月6日舉行，由小組賽和淘汰賽組成．按比賽規則小組賽賽制為單循環賽制（即每個小組的兩個球隊之間進行一場比賽），在小組賽階段，中國隊憑借著小組賽比賽前幾個場次的贏球，成為最先獲得八強資格的球隊，并在2022年2月6日的亞洲杯決賽中以3∶2戰勝韓國女足，獲得亞洲杯冠軍．已知中國女足隊所在的A組共安排了6場比賽，則中國女足所在的A組共有______支球隊．【答案】4【分析】設中國女足所在的A組共有x支球隊，則每支球隊需要比賽的場數為場，根據×球隊數×每支球隊需要比賽的場數=6，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設中國女足所在的A組共有x支球隊，根據題意得：，解得：，（舍去）故答案為：4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意找出等量關系，列出方程，是解題的關鍵．14．（2022·浙江·諸暨市濱江初級中學八年級階段練習）《代數學》中記載，形如x2+8x＝33的方程，求正數解的幾何方法是：“如圖1，先構造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數解為7﹣4＝3．”小聰按此方法解關于x的方程x2+10x+m＝0時，構造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為50，則該方程的正數解是_________．【答案】##【分析】根據陰影部分的面積+四個正方形的面積=大正方形的面積，得出解方程即可．【詳解】解：∵陰影部分的面積為50，∴即75=（x+5）2，解得∴x的正數解為：故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，借助數形結合的思想得出方程是解決本題的關鍵．15．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，則與數量關系是______．【答案】【分析】根據左圖可以知道圖形是一個正方形，邊長為(a+b)，右圖是一個長方形，長、寬分別為(b+a+b)、b，并且它們的面積相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．【詳解】解：依題意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，則a2-b2+ab=0，方程兩邊同時除以b2，則，解得：，∵不能為負，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查了圖形的剪拼，是一個信息題目．解題的關鍵是要正確理解題目的意思，會根據題目隱含條件找到數量關系，最后利用數量關系列出方程解決問題16．（2022·遼寧鞍山·八年級期中）對于實數p，q，我們用符號表示p，q兩數中較大的數，例如：，若，當y＝4則x＝______．【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根據題意，進而可得max{（x﹣1）2，x2}＝4時分情況討論，當x＝0.5時，x＞0.5時和x＜0.5時，進而可得答案．【詳解】∵max{（x﹣1）2，x2}＝4，解得當x＝0.5時，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值為4，∴當x＞0.5時，（x﹣1）2＜x2，則x2＝4，解得：x1＝-2（不合題意，舍去），x2＝2，當x＜0.5時，（x﹣1）2＞x2，則（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x﹣1＝2，x﹣1＝﹣2，解得：x1＝-1，x2＝3（不合題意，舍去），綜上所述：x的值為：2或﹣1．故答案為2或﹣1．【點睛】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，實數的比較大小，以及分類思想的運用，關鍵是正確理解題意．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·廣西崇左·八年級期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵，，，∴，∴，∴，．（2）解：原方程可化為，配方得，，∴．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法——直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法是解題的關鍵．18．（2022·北京順義·八年級期末）已知：關于x的方程．(1)請判斷這個方程根的情況；(2)若該方程的一個根小于1，求k的取值范圍．【答案】(1)有兩個實數根(2)【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式以及完全平方公式，可得原方程有兩個實數根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，，分和兩種情況進行討論即可．（1）解：∵≥0．

∴原方程有兩個實數根．（2）解：∵，其中，，，，∵∴，若，則，∵該方程的一個根小于1，∴，即，這與矛盾，應舍去；若，則，∵該方程的一個根小于1，∴，即，符合題意，綜上，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和求根公式，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．19．（2022·安徽合肥·八年級期末）某水果店標價為10元/kg的某種水果經過兩次降價且兩次降價的百分率都是10%，請回答下列問題：(1)該水果經過兩次降價后的價格是______元/kg；(2)從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數）的銷量及儲藏和損耗費用的相關信息如下表所示，已知該水果的進價為4.1元/kg，設銷售該水果第x天（1≤x<10）的利潤為368元，求x的值．時間/天x銷量/kg120－2x儲藏和損耗費用/元【答案】(1)8.1(2)9【分析】（1）根據“水果店標價為10元/kg的某種水果經過兩次降價且兩次降價的百分率都是10%”得兩次降價后的價格為10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用當天銷售該水果獲得的利潤=每斤的利潤×當天的銷售量-儲藏和損耗費用，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出x的值為．（1）根據題意得：10（1-10）2=8.1（元/kg）故答案為：8.1．（2）依題意得：（8.1-4.1）（120-x）-（3x2-64x+409）=368，整理得：x2-20x+99=0．解得：x1=9，x2=11．又∵1≤x＜10，∴x=9．答：x的值為9．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20．（2022·廣西北海·七年級期中）閱讀材料：把代數式因式分解，可以分解如下：(1)探究：請你仿照上面的方法，把代數式因式分解．(2)拓展：當代數式時，求的值．【答案】(1)(2)1或-3【分析】（1）仿照例題的計算方法先配方，再利用平方差公式進行分解；（2）將方程左邊因式分式后求出與的關系，求出結果即可．（1）解：；（2）解：，∵，∴，∴或，∴或，∴或．【點睛】本題考查因式分解的應用，解題關鍵是模仿例題進行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．21．（2022·重慶·八年級期末）某商店今年3月第一周購進一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個“冰墩墩”的進價比一個“雪容融”的進價多40元，購進20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．(1)今年3月第一周每個“冰墩墩”和每個“雪容融”的進價分別是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個，第二周商店決定調整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，銷量比第一周增加了個，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎上下降了m元，銷量比第一周增加了2m個，若該商家今年3月份第一、二周共獲利13200元，求m的值．【答案】(1)今年3月第一周每個“冰墩墩”的進價是120元，每個“雪容融”的進價是80元(2)15【分析】（1）設今年3月第一周每個“冰墩墩”的進價是x元，每個“雪容融”的進價是y元，利用總價=單價×數量，結合“冰墩墩”及“雪容融”單價間的關系，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）利用總利潤=每件的銷售利潤×銷售數量，即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．（1）解：設今年3月第一周每個“冰墩墩”的進價是x元，每個“雪容融”的進價是y元，依題意得：，解得：．答：今年3月第一周每個“冰墩墩”的進價是120元，每個“雪容融”的進價是80元．（2）依題意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+）+（100-m-80）×（150+2m）=13200，整理得：m2-15m=0，解得：m1=15，m2=0（舍去）．答：m的值為15．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年級期中）如圖1，，點P從A出發，沿路線運動，到D停止；點P的速度為每秒，運動時間為x秒，如圖1是的面積與x（秒）的圖像．(1)______時間段內點P在線段上運動；______時間段內點P在線段上運動；(2)根據題目中提供的信息，請你推斷出圖1中的______；______；______；圖2中的______；(3)當點P運動______秒時，．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函數的圖像2知，在0到2秒的時間段點P在線段AB上運動，，在2到5秒的時間段點P在線段BC上運動，即可求解；（2）從圖2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），當點P和點C重合時，△ABP的面積S為m，即可求解；（3）當AP＝PD時，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，進而求解．（1）解：由函數的圖像2知，在0到2秒的時間段點P在線段AB上運動，，在2到5秒的時間段點P在線段BC上運動，故答案為：0到2；2到5；（2）解：從圖2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），當點P和點C重合時，△ABP的面積S為m，即m＝S＝×AB?BC＝×2×3＝3（cm2），故答案為：2，3，1，3；（3）解：從圖象看，當點P在BC上時，有△ADP以∠ADP為底角構成等腰三角形，此時，BP＝x﹣2，則PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，則AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，當AP＝PD時，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案為：．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．23．（2022·浙江金華·八年級期中）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．(1)如圖1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，將線段AC繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AD，連接DC，DB．①四邊形ACBD______（填“是”或“不是”）等鄰邊四邊形；②求線段DB的長度．(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，將Rt△ABC沿∠B的平分線方向平移得到，連接，．若平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，則平移的距離（即線段的長）為_