2/2《22.3構造三角形中位線的常用方法》目標練方法一連接兩點構造三角形的中位線1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點.求EF長度的最大值.方法二利用角平分線、垂直構造三角形的中位線2.【2022·常州二十四中模擬】如圖，在△ABC中，AD是中線，AE是∠BAC的平分線，CF⊥AE于點F，AB=10，AC=6.求DF的長.方法三利用倍長構造三角形的中位線3.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD⊥AC于點D，CE平分∠ACB，交AB于點E，交BD于點F.求證：（1）△BEF是等腰三角形；（2）BD=（BC+BF）.方法四利用一邊中線取另一邊中點構造中位線4.【邏輯推理】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F分別是AD，BC的中點，連接FE并延長，與BA的延長線、CD的延長線分別交于點M，N.求證：∠BME=∠CNE.（2）如圖②，在△ABC中，F是BC邊的中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，直線FE交BA的延長線于點G.若AB=DC=2，∠FEC=45°，求EF的長.

參考答案1.解：如圖，連接DN.∵點E，F分別為DM，MN的中點，∴EF是△MND的中位線：∴EF=DN.∵點N為線段AB上的動點，∴當點N與點B重合時，DN最長.∵∠A=90°，∴此時.∴EF長度的最大值為×10=5.2.解：如圖，延長CF交AB于點G.∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF.∵AF⊥CG，∴∠AFG=∠AFC.∵在△AFG和△AFC中，∴△AFG≌△AFC（ASA）.∴AG=AC，GF=CF.又∵點D是BC的中點，∴DF是△CBG的中位線.∴.3.證明：（1）在△ABC中，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ACB=45°.∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE=22.5°.∴易得∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.∴BE=BF，即△BEF是等腰三角形.（2）如圖，延長AB至點M，使得BM=AB，連接CM.∵AB=BC，∴BM=BC.易知D是AC的中點，∴BD//MC，BD=MC.∴∠BFE=∠MCE.由（1）得∠BEF=∠BFE，BE=BF，∴∠BEF=∠MCE.∴ME=MC.∴.4.（1）證明：如圖①，連接BD，取BD的中點H，連接EH，FH.∵E，H分別是AD，BD的中點，∴EH//AB，EH=AB，∴∠BME=∠HEF.∵F，H分別是BC，BD的中點，∴FH//CD，FH=CD.∴∠CNE=∠HFE.∵AB=CD，∴EH=FH.∴∠HEF=∠HFE.∴∠BME=∠CNE.（2）解：如圖②，連接BD，取BD的中點H，連接EH，FH.∵E，H，F分別是AD，BD，BC的中點，∴EH=AB，FH=CD，FH∥AC，∴∠HFE=∠FEC=45°.∵AB=CD=2.∴FH=EH=1.∴∠HEF=∠HFE=45°，∴∠EHF=180°-∠HFE-∠HEF=90°.∴.點撥：（1）中欲證相等的兩個角所在三角形不全等，考