第28講避免漏解的奧秘-初中數學競賽輔導講義及習題解答一、選擇題（每題5分，共30分）1.在下列各數中，有理數是（）A.√2B.πC.√-1D.√02.若x是實數，且x^2+2x+1=0，則x的值為（）A.1B.-1C.0D.無法確定3.已知a、b、c是等差數列，且a+b+c=12，則a^2+b^2+c^2的值為（）A.36B.72C.108D.2164.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數為（）A.75°B.90°C.105°D.120°5.若m、n、p是等比數列，且m+n+p=18，則m^2+n^2+p^2的值為（）A.54B.108C.216D.324二、填空題（每題5分，共25分）6.若a、b、c是等差數列，且a+b+c=12，則a^2+b^2+c^2的值為______。7.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數為______。8.若m、n、p是等比數列，且m+n+p=18，則m^2+n^2+p^2的值為______。9.已知x是實數，且x^2+2x+1=0，則x的值為______。10.在下列各數中，有理數是______。三、解答題（每題15分，共45分）11.已知a、b、c是等差數列，且a+b+c=12，求a^2+b^2+c^2的值。12.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求∠C的度數。13.若m、n、p是等比數列，且m+n+p=18，求m^2+n^2+p^2的值。14.已知x是實數，且x^2+2x+1=0，求x的值。15.在下列各數中，有理數是______。四、計算題（每題10分，共30分）16.計算下列各式的值：（1）(2√3-√2)/(2√3+√2)（2）(1-√5)/(1+√5)（3）(3√2+2√3)/(3√2-2√3)五、應用題（每題15分，共30分）17.某班級共有60名學生，已知男生人數是女生的1.5倍，求男生和女生的人數。18.一個長方形的長是寬的2倍，若長方形的周長是40cm，求長方形的面積。六、證明題（每題15分，共30分）19.證明：若m、n、p是等差數列，且m+n+p=12，則m^2+n^2+p^2=36。20.證明：在任意三角形中，最大的角是銳角。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：√0=0，是有理數。2.B解析：x^2+2x+1=(x+1)^2=0，所以x=-1。3.C解析：等差數列的性質是a+c=2b，所以(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=12得12^2=3(a^2+b^2+c^2)+6ab+6ac+6bc，化簡得a^2+b^2+c^2=108。4.C解析：三角形內角和為180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。5.B解析：等比數列的性質是mnp=m^2np^2，所以(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np，代入m+n+p=18得18^2=3(m^2+n^2+p^2)+6mn+6mp+6np，化簡得m^2+n^2+p^2=108。二、填空題6.108解析：與選擇題3的解析相同。7.75°解析：與選擇題4的解析相同。8.108解析：與選擇題5的解析相同。9.-1解析：與選擇題2的解析相同。10.√0解析：與選擇題1的解析相同。三、解答題11.108解析：與選擇題3的解析相同。12.75°解析：與選擇題4的解析相同。13.108解析：與選擇題5的解析相同。14.-1解析：與選擇題2的解析相同。15.√0解析：與選擇題1的解析相同。四、計算題16.（1）(2√3-√2)/(2√3+√2)=[(2√3-√2)(2√3-√2)]/[(2√3+√2)(2√3-√2)]=(12-4√6+2)/(12-2)=14-4√6/10=7/5-2√6/5（2）(1-√5)/(1+√5)=[(1-√5)(1-√5)]/[(1+√5)(1-√5)]=(1-2√5+5)/(1-5)=6-2√5/-4=-3/2+√5/2（3）(3√2+2√3)/(3√2-2√3)=[(3√2+2√3)(3√2+2√3)]/[(3√2-2√3)(3√2+2√3)]=(18+12√6+12+12√6)/(18-12)=30+24√6/6=5+4√6五、應用題17.男生人數為45人，女生人數為15人。解析：設女生人數為x，則男生人數為1.5x，根據人數總和為60得x+1.5x=60，解得x=24，所以男生人數為1.5*24=45人。18.長方形的長為20cm，寬為10cm，面積為200cm2。解析：設長方形的寬為x，則長為2x，根據周長公式2(2x+x)=40得6x=40，解得x=20/3，所以長為2*20/3=40/3cm，寬為20/3cm，面積為(40/3cm)*(20/3cm)=400/9cm2。六、證明題19.證明：若m、n、p是等差數列，且m+n+p=12，則m^2+n^2+p^2=36。解析：設等差數列的公差為d，則m=n-d，p=n+d，代入m+n+p=12得3n=12，解得n=4，所以m=4-d，p=4+d，代入m^2+n^2+p^2得(4-d)^2+4^2+(4+d)^2=36，化簡得36-8d+d^2+16+16+8d+d^2=36，化簡得2d^2=0，所以d=0，代入m^2+n^2+p^2得(4-0)^2+4^2+(4+0)^2=36，化簡得36=36，等式成立。20.證明：在任意三角形中，最大的角是銳角。解析：設三角形的三邊長分別為a、b、c，且a≤b≤c，根據余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c