2/2三角形全等幾何模型-X模型（專項練習）一、單選題1．數學課上老師布置了“測量錐形瓶內部底面的內徑”的探究任務，善思小組想到了以下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒，的中點固定，只要測得，之間的距離，就可知道內徑的長度．此方案依據的數學定理或基本事實是（

）A．邊角邊 B．三角形中位線定理 C．邊邊邊D．全等三角形的對應角相等二、填空題2．如圖，已知是的中線，是上的一點，交于，，，，則__________．三、解答題3．P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．4．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：5．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到≌的理由是______．（2）求得的取值范圍是______．【感悟】解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，在中，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若，求證：．6．問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發現：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點，連接AM，DE．當AM＝3時，求DE的長．7．△ABC、△DPC都是等邊三角形．(1)如圖1，求證：AP＝BD；(2)如圖2，點P在△ABC內，M為AC的中點，連PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求證：BP⊥BD；②判斷PC與PA的數量關系并證明．8．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數及線段AD與DF的數量關系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉，①如圖2，（1）中∠ADF的度數及線段AD與DF的數量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．

參考答案1．A【分析】根據O是AD與BC的中點，得到OA=OD，OB=OC，根據∠AOB=∠DOC，推出△AOB≌△DOC，是SAS．解：∵O是AD與BC的中點，∴OA=OD，OB=OC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC(SAS)．故選A．【點撥】本題考查了測量原理，解決此類問題的關鍵是根據測量方法和工具推導測量原理．2．100°【分析】延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，證△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再證△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度數，即可解決問題．解：如圖，延長AD到M，使得DM=AD，連接BM，如圖所示：在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=24°，∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，∵∠EBC=32°，∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，∴∠C=∠DBM=100°，故答案為：100°．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．3．（1）證明見分析；（2）DE＝3．【分析】（1）過點P作PF∥BC交AC于點F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對應邊相等即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對應邊相等FD=CD，證出AE+CD=DEAC，即可得出結果．解：（1）如圖1所示，點P作PF∥BC交AC于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=6，∴DE=3．

【點撥】本題考查等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定（AAS）與性質、平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，解題的關鍵是掌握等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定（AAS）與性質、平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質．4．見詳解【分析】過點D作DE∥AC，交BC于點E，根據等邊三角形和平行線的性質得∠MDE=∠MEC，DE=CE，從而證明?EMD??CME，進而即可得到結論．解：過點D作DE∥AC，交BC于點E，∵是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等邊三角形，∴BD=DE，∵，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質和判定定理以及全等三角形的判定和性質定理，添加輔助線，構造等邊三角形和全等三角形，是解題的關鍵．5．（1）；（2）；（3）見分析【分析】（1）根據AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長至點，使，連接、，證明≌，得到，根據三角形三邊關系解答即可．（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：SAS；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7．（3）證明：延長至點，使，連接、，如圖所示：∵點是的中點，∴．在和中，，∴≌，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴．【點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．6．問題背景：SAS；問題解決：完整過程見分析；拓展應用：DE＝6．【分析】問題背景：先判斷出BD=CD，由對頂角相等∠BDE=∠CDA，進而得出△ADC≌△EDB（SAS）；問題解決：先證明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關系即可得出結論；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），則BN=AC，進而判斷出∠ABN=∠EAD，進而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．解：問題背景：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA（SAS），∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE，∵MN＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【點撥】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定與性質，補角的性質，掌握倍長中線法，構造全等三角形是解本題的關鍵．7．(1)證明過程見分析；(2)①證明過程見分析；②PC=2PA，理由見分析．【分析】（1）證明△BCD≌△ACP（SAS），可得結論；（2）①如圖2中，延長PM到K，使得MK=PM，連接CK．證明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再證明△PDB≌△PCK（SSS），可得結論；②結論：PC=2PA．想辦法證明∠DPB=30°，可得結論．(1)證明：如圖1中，∵△ABC，△CDP都是等邊三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；(2)證明：如圖2中，延長PM到K，使得MK=PM，連接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可證△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：結論：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，設∠DPB=∠CPK=x，則∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．【點撥】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，直角三角形30°角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，關注全等三角形解決問題．8．(1)∠ADF=45°，AD=DF；(2)①成立，理由見分析；②1≤S△ADF≤4.【分析】（1）延長DF交AB于H，連接AF，先證明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再證明△ADH為等腰直角三角形，利用三線合一及等腰直角三角形邊的關系即可得到結論；（2）①過B作DE的平行線交DF延長線于H，連接AH、AF，先證明△DEF≌△HBF，延長ED交BC于M，再證明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代換可得∠DAH=90°，即△ADH為等腰直角三角形，利用三線合一及等腰直角三角形邊的關系即可得到結論；②先確定D點的軌跡，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．(1)解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延長DF交AB于H，連接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中點，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH為等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF;(2)解：①結論仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：過B作DE的平行線交DF延長線于H，連接AH、AF，如圖所示，則∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，∵F是BE中點，∴BF=EF，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，∴BH=CD，延長ED交BC于M，∵BH∥EM，∠EDC=90°，∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠HBA+∠DCB=45°，∵∠ACD+∠DCB=45°，∴∠HBA=∠ACD，∴△ACD≌△ABH，∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，∴∠CAD