2021-2022學年冀教版八年級數學上冊《17.2直角三角形》解答題專題練習（附答案）1．如圖，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．（1）求證∠1＝∠2；（2）求證：OE是線段CD的垂直平分線．2．已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．（1）如圖，E、F分別是AB，AC上的動點，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）在（1）的條件下，四邊形AEDF的面積是否變化，證明你的結論；（3）若E、F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AF是角平分線，交CD于點E．求證：∠1＝∠2．4．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始以每秒2cm的速度運動到B點，動點E也同時從點C開始沿射線CM方向以每秒1cm的速度運動．（1）問動點D運動多少秒時，△ABD≌△ACE，并說明理由；（2）設動點D運動時間為x秒，請用含x的代數式來表示△ABD的面積S；（3）動點D運動多少秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的一條高線，若∠B＝28°．求∠ACD的度數．6．如圖，在等腰直角△ABC中∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AC＝10cm，求△DEB的周長．7．如圖，△ABC與△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，AB＝AC＝．現將△DEF與△ABC按如圖所示的方式疊放在一起．現將△ABC保持不動，△DEF運動，且滿足：點E在邊BC上運動（不與B、C重合），且邊DE始終經過點A，EF與AC交于M點．請問：（1）BC＝；（2）在△DEF運動過程中，△AEM能否構成等腰三角形？若能，請求出BE的長；若不能，請說明理由．8．在△ABC中，∠ACB﹣∠B＝90°，∠BAC的角平分線交BC于E，△BAC的外角平分線交BC于F，證明：AE＝AF．9．如圖，已知一塊四邊形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求這塊草地的面積．10．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°．將一塊足夠大的等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①②③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．（1）三角板繞點P旋轉，當PD⊥AC時，如圖①，四邊形PDCE是正方形，則PD＝PE．當PD與AC不垂直時，如圖②、③，PD＝PE還成立嗎？并選擇其中的一個圖形證明你的結論．（2）若D、E兩點分別在線段AC和CB上移動時，設BE的長為x，△APD的面積為y，求y與x之間的函數關系式．（3）三角板繞點P旋轉，△PEB是否能成為等腰三角形？若能，求出此時CE的長；若不能，請說明理由．11．如圖，∠A＝∠C＝∠BED＝90°，求證：∠1＝∠3，∠2＝∠4．12．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA，求∠DAE的度數；（2）如果把第（1）題中“AB＝AC”條件刪去，其余條件不變，那么∠DAE的度數改變嗎？試證明；（3）如果把（1）題中“∠BAC＝90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，試探究∠DAE與∠BAC的數量關系式，試證明．13．如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，E是AD上一點，試說明∠C與∠DEB的大小關系．14．如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD與∠DHE的度數．15．如圖，∠C＝∠D＝90°，AD交BC于點E．∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？16．如圖1，在△ABC，∠A＝45°，延長CB至D，使得BD＝BC．（1）若∠ACB＝90°，求證：BD＝AC；（2）如圖2，分別過點D和點C作AB所在直線的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE＝CF；（3）如圖3，若將（1）中“∠ACB＝90°”改為“∠ACB＝m°，并在AB延長線上取點G，使得∠1＝∠A”．試探究線段AC、DG的數量與位置關系．17．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．（1）求證：∠ACD＝∠B；（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，則求CD的長．18．如圖，AD，BF分別是△ABC的高與角平分線，BF，AD交于E，∠1＝∠2，求證：AB⊥AC．19．如圖，由一副三角尺拼成的圖形，寫出∠C，∠EAD，∠CBE的度數．20．在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC邊上的一點，過C作CF⊥AE，垂足為F，過點B作BD⊥BC，交CF的延長線于點D，若∠D＝65°，求∠EAC的度數．21．已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB為斜邊，AC＝BD，BC，AD相交于點E．（1）求證：AE＝BE；（2）若∠AEC＝45°，AC＝1，求CE的長．22．如圖，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA＝DF，延長BF交AC于E，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G（1）試說明：△FBD≌△ACD；（2）試說明：△ABC是等腰三角形；（3）試說明：CE＝BF；（4）求BG：GE的值（直接寫出答案）．23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交過C點與AB平行的直線CE于點E．求證：BD＝AE．若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由．24．AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點，∠C＝50°，求∠BHD．25．如圖，已知∠CDF＝∠OEF＝90°，CE與OA相交于點F，若∠C＝20°，求∠O的大小．26．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB延長線上一點，AE＝AD，且AE⊥AD，BE與AC的延長線交于點P．（1）求證：BP＝PE；（2）若AC＝3PC，求的值．27．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．（1）圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？（2）∠1和∠A有什么關系？∠2和∠A呢？還有哪些銳角相等．28．已知：如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A＝∠C，求證：AB⊥CD．

參考答案1．證明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴CE＝DE，∴∠1＝∠2；（2）在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（HL），∴OC＝OD，又∵CE＝DE，∴OE是線段CD的垂直平分線．2．（1）證明：連接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D為BC中點∴AD＝＝BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF為等腰直角三角形．（2）解：四邊形AEDF面積不變．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE＝S△ADF，而S四邊形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD∴S四邊形AEDF不會發生變化．（3）解：仍為等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF為等腰直角三角形．3．證明：∵AF是角平分線，∴∠CAF＝∠BAF，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAF+∠2＝90°，∠BAF+∠AED＝90°，∴∠2＝∠AED，∵∠1＝∠AED，∴∠1＝∠2．4．解：（1）如圖1，設動點D運動t秒時，△ABD≌△ACE，由題意得：CD＝2t，CE＝t，則BD＝6﹣2t，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵CM⊥BC，∴∠BCM＝90°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACE＝∠B，∴當BD＝CE時，△ABD≌△ACE，即6﹣2t＝t，t＝2，答：動點D運動2秒時，△ABD≌△ACE；（2）如圖2，過A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AF是斜邊的中線，∴AF＝BC＝×6＝3，由題意得：CD＝2x，則BD＝6﹣2x，∴S＝S△ABD＝BD?AF＝（6﹣2x）×3＝﹣3x+9；（3）設動點D運動x秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1，如圖2，再過A作AG⊥CM于G，∵∠AFC＝∠BCM＝∠AGC＝90°，∴四邊形AFCG是矩形，∴AG＝CF＝BC＝3，∵△ABD與△ACE的面積比為3：1，∴＝＝，∴＝3，∴BD＝3CE，即6﹣2x＝3x，5x＝6，x＝，∴動點D運動秒時，△ABD與△ACE的面積比為3：1．5．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是△ABC的一條高線，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝28°．6．解：∵DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE，CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE，在Rt△ACB中，AB＝AC＝10，∴BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝10，所以，△DEB的周長為10cm．7．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝＝2，故答案為：2；（2）①若AE＝AM則∠AME＝∠AEM＝45°，∵∠C＝45°，∴∠AME＝∠C，又∵∠AME＞∠C，∴這種情況不成立；②若AE＝EM，∵∠B＝∠AEM＝45°，∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°，∴∠BAE＝∠MEC，在△ABE和△ECM中，，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB＝，∵BC＝2，∴BE＝2﹣；③若MA＝ME則∠MAE＝∠AEM＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°，∴AE平分∠BAC，∵AB＝AC，∴BE＝＝1．8．證明：∵AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分線，∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝（∠BAC+∠CAD）＝90°，∴△EAF是直角三角形，∵∠ACB﹣∠B＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣（90°+∠B）﹣∠B＝90°﹣2∠B，∴∠BAE＝∠BAC＝45°﹣∠B，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝45°，∴∠AFE＝45°，∴∠AEC＝∠AFE，∴AE＝AF．9．解：分別延長AD，BC交于點E．如圖所示，∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，∴AB＝BE，CD＝DE，∵AB＝20，CD＝10，∴BE＝20，DE＝10，∵S△ABE＝AB?BE＝200，S△CDE＝CD?DE＝50，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABE﹣S△CDE＝200﹣50＝150m2．即這塊草地的面積為：150m2．10．解：（1）PD＝PE依然成立．證明：如圖②，連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點，∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°，即∠ACP＝∠B＝45°，∵∠DPC+∠CPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠DPC＝∠BPE，∴△PCD≌△PBE，∴PD＝PE．（2）由（1）得CP⊥AB，∠ACP＝∠ACB＝45°，∴△ACP是等腰直角三角形，∴AP＝CP，△PCD≌△PBE，∴CD＝BE＝x，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣x，過點P作PF⊥AC于點F，則PF＝AC＝1，∴△APD的面積y＝AD?PF＝（2﹣x）×1，即y＝1﹣x．（3）分三種情況討論如下：①當PE＝PB時，點C與點E重合，即CE＝0．②當PE＝BE時，CE＝1．③當BE＝PB時，若點E在線段CB上時，CE＝2﹣；若點E在CB延長線上時CE＝2+．11．證明：∵∠BED＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠A＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3；同理可得∠2＝∠4．12．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；（2）不改變．設∠CAE＝x，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝x，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；（3）∠DAE＝∠BAC．理由：設∠CAE＝x，∠BAD＝y，則∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，∴∠DAE＝∠BAC．13．答：∠C＜∠DEB．證明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠C＝∠BAE，∵∠BAE＜∠DEB，∴∠C＜∠DEB．14．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由三角形的外角性質得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．15．解：∠CAE與∠DBE相等．理由如下：∵在△CAE，△DBE中，∠C＝∠D＝90°，∠CEA＝∠DEB，∴∠CAE＝90°﹣∠CEA，∠DBE＝90°﹣∠DEB，即∠CAE＝∠DBE．16．（1）證明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AC；（2）證明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠E＝∠CFB＝90°，在△DBE與△CBF中，∵，∴△DBE≌△CBF（AAS），∴DE＝CF；（3）解：DG＝AC，DG⊥AC．證明：過點C作CE∥DG交AB于點E，∴∠2＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠A，∴∠4＝∠A，∴AC＝CE，在△DBG與△CBE中，∵，∴△DBG≌△CBE（AAS），∴CE＝DG，∴DG＝AC．∵∠A＝45°，∴∠4+∠A＝90°，∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE，∴AC⊥DG．∴DG＝AC，DG⊥AC．17．（1）證明：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝2.4．18．證明：∵BF是角平分線，∴∠ABF＝∠CBF，∵AD是高線，∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠CBF+∠BED＝90°，∴∠ABF+∠2＝90°，∴AB⊥AC．19．解：∠C＝90°，∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∠CBE＝180°﹣45°＝135°．20．解：在RT△DBC中，∠D＝65°，可得：∠DCB＝25°，在RT△ACE中，∠DCB＝25°，可得：∠ACF＝65°，在RT△ACF中，∠ACF＝65°，可得：∠EAC＝25°．21．（1）證明：∵∠AEC與∠BED是對頂角，∴∠AEC＝∠BED，在△ACE和△BDE中，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE；（2）解：∵∠AEC＝45°，∠C＝90°，∴∠CAE＝45°，∴CE＝AC＝1．22．證明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD＝CD，∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∵在△FBD和△ACD中，，∴△FBD≌△ACD（SAS）；（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠DBF＝∠DCA，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠A＝90°，∴∠DBF+∠A＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠DBF+∠A）＝90°，∵BF平分∠DBC，∴∠ABF＝∠CBF，∵在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AB＝CB，∴△ABC是等腰三角形；（3）∵△FBD≌△ACD，∴BF＝AC，∵△ABE≌△CBE，∴AE＝CE＝AC，∴CE＝BF；（4）連接CG，∵在等腰Rt△BCD中，H是BC邊的中點，∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∴∠EGC＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝45°，∴△EGC是等腰直角三角形，∴CG＝GE，即BG＝CE，∴BG：GE＝．23．證明：（1）∵AB∥CE，∴∠BAF＝∠AEC，∠BAC+∠ACE＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，，∵AF⊥BD，∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠EAC+∠BAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAE在△A