2025年考研數學（一）模擬沖刺試卷：線性代數解題技巧與應用一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式值為：A.1B.2C.4D.82.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則矩陣A的秩為：A.1B.2C.3D.43.設向量a，b，c線性相關，且向量a，b線性無關，則向量a，b，c中必有一個向量與向量a，b線性無關的是：A.向量bB.向量cC.向量a和bD.向量a或b4.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的逆矩陣A^{-1}為：A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&1\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)5.設向量a，b，c滿足\(a+b+c=0\)，且向量a，b，c線性無關，則向量a，b，c構成的向量組的基礎解系中向量的個數為：A.1B.2C.3D.46.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則矩陣A的行列式值為：A.1B.2C.3D.47.設向量a，b，c線性相關，且向量a，b，c構成的向量組的基礎解系中向量的個數為2，則向量a，b，c中必有一個向量與向量a，b線性無關的是：A.向量bB.向量cC.向量a和bD.向量a或b8.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的逆矩陣A^{-1}為：A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)B.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&1\end{bmatrix}\)C.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)D.\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)9.設向量a，b，c滿足\(a+b+c=0\)，且向量a，b，c線性無關，則向量a，b，c構成的向量組的基礎解系中向量的個數為：A.1B.2C.3D.410.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則矩陣A的行列式值為：A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的逆矩陣A^{-1}為______。2.設向量a，b，c線性相關，且向量a，b，c構成的向量組的基礎解系中向量的個數為2，則向量a，b，c中必有一個向量與向量a，b線性無關的是______。3.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣A的秩為______。4.設向量a，b，c滿足\(a+b+c=0\)，且向量a，b，c線性無關，則向量a，b，c構成的向量組的基礎解系中向量的個數為______。5.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則矩陣A的行列式值為______。三、計算題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）1.設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩陣A的逆矩陣A^{-1}。2.設向量a，b，c滿足\(a+b+c=0\)，且向量a，b，c線性無關，求向量a，b，c構成的向量組的基礎解系。四、證明題（本大題共1小題，共20分）證明：設矩陣A是一個n階方陣，若矩陣A的行列式值為0，則矩陣A不可逆。五、應用題（本大題共1小題，共20分）設矩陣A為\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求矩陣A的特征值和特征向量。六、綜合題（本大題共1小題，共20分）已知向量組\(\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}\)，求向量組\(\boldsymbol{\alpha}_1\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2\)，\(\boldsymbol{\alpha}_3\)的秩，并判斷該向量組是否線性相關。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.8解析：矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式值為A的行列式的n階代數余子式，即\(|A|=1\times4-2\times3=4-6=-2\)，因此\(|A^*|=(-1)^{2\times2}\times|A|=4\times(-2)=-8\)。2.C.3解析：矩陣A是一個3階單位矩陣，其秩為3，因為單位矩陣的秩等于其階數。3.B.向量c解析：由于向量a，b，c線性相關，且向量a，b線性無關，那么向量c必須是向量a和b的線性組合，因此向量c與向量a，b線性無關。4.A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：計算矩陣A的逆矩陣，需要先計算A的行列式，然后求出A的伴隨矩陣，最后將伴隨矩陣的每個元素除以A的行列式。5.A.1解析：向量a，b，c線性無關，且滿足\(a+b+c=0\)，說明向量c可以由向量a和b線性表示，因此基礎解系中只有一個向量。6.A.1解析：單位矩陣的行列式等于其階數的階乘，即\(|A|=1!=1\)。7.B.向量c解析：與第3題類似，向量c是向量a和b的線性組合，因此與向量a，b線性無關。8.A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：同第4題，計算矩陣A的逆矩陣。9.A.1解析：同第5題，向量a，b，c線性無關，且滿足\(a+b+c=0\)，說明基礎解系中只有一個向量。10.A.1解析：單位矩陣的行列式等于其階數的階乘，即\(|A|=1!=1\)。二、填空題1.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：同選擇題第4題。2.向量c解析：同選擇題第3題。3.3解析：同選擇題第2題。4.1解析：同選擇題第5題。5.1解析：同選擇題第10題。三、計算題1.\(A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：計算矩陣A的逆矩陣，需要先計算A的行列式，然后求出A的伴隨矩陣，最后將伴隨矩陣的每個元素除以A的行列式。2.基礎解系為\(\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}\)解析：通過將方程\(a+b+c=0\)轉換為向量形式，并求出向量組的秩，得到基礎解系。四、證明題解析：假設矩陣A的行列式值為0，即\(|A|=0\)。如果A可逆，則存在矩陣B使得\(AB=BA=I\)，其中I是單位矩陣。由于\(|AB|=|A|\cdot|B|\)，且\(|I|=1\)，我們得到\(|A|\cdot|B|=1\)。但這與\(|A|=0\)矛盾，因