廣西欽州市2019-2020學年高二下學期期末教學質量監測試題理（數學掃描版）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(x)$的周期為（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$2.若復數$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復數$z$對應的點在復平面上的軌跡是（）A.線段$[-1,1]$B.線段$[-1,1]$的垂直平分線C.圓心在原點，半徑為2的圓D.圓心在原點，半徑為1的圓二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的表達式為______。4.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)=______$。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的定義域。（2）求函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的導數$f'(x)$。6.（1）已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$a_2=4$，求該數列的通項公式。（2）求證：數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{2^n-1}{2-1}$。四、解答題要求：解答下列各題。7.（1）已知函數$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，求$f(x)$的導數$f'(x)$。（2）求函數$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$在區間$(0,2)$上的極值。五、解答題要求：解答下列各題。8.（1）已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=3$，$d=2$，求該數列的前10項和$S_{10}$。（2）若數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=4$，$a_3=16$，求該數列的公比$q$。六、解答題要求：解答下列各題。9.（1）已知函數$g(x)=x^3-6x^2+9x$，求$g(x)$的極值點。（2）若函數$h(x)=x^3-6x^2+9x$在區間$[0,3]$上的最大值為12，求函數$h(x)$在區間$[0,3]$上的最小值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：函數$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$的形式，因此其周期為$2\pi$。2.答案：B解析：由$|z-1|=|z+1|$，得到$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，化簡得$z\bar{z}=1$，即$|z|^2=1$，所以$z$對應的點在復平面上的軌跡是單位圓。二、填空題3.答案：$a_n=a_1+(n-1)d$解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。4.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：根據導數的基本公式，$f'(x)=(x^3)'-3x^2+(4)'=3x^2-6x+4$。三、解答題5.（1）答案：$f(x)$的定義域為$(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的定義域是使得分母不為0的所有$x$的集合。因此，$x$不能等于0或-1，所以定義域為$(0,1)\cup(1,+\infty)$。（2）答案：$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$解析：使用商的導數法則，$f'(x)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{0\cdot(x+1)-1\cdotx}{x^2(x+1)^2}+\frac{1\cdotx-0\cdot(x+1)}{x^2(x+1)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$。6.（1）答案：$a_n=2^n$解析：由$a_1=2$，$a_2=4$，得到公比$q=\frac{a_2}{a_1}=2$，所以通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}=2^n$。（2）答案：$S_n=\frac{2^n-1}{2-1}$解析：等比數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，代入$a_1=2$，$q=2$，得到$S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=\frac{2^n-1}{2-1}$。四、解答題7.（1）答案：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$解析：使用鏈式法則和商的導數法則，$f'(x)=\left(\ln(x+1)\right)'-\left(\ln(x-1)\right)'=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$。（2）答案：$f(x)$在區間$(0,2)$上的極值點為$x=1$解析：由$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。檢查$f''(x)$在$x=1$的符號，可得$x=1$是極值點。五、解答題8.（1）答案：$S_{10}=155$解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$，得到$S_{10}=\frac{10}{2}(3+3+2\cdot9)=155$。（2）答案：$q=4$解析：由$a_1=4$，$a_3=16$，得到公比$q=\frac{a_3}{a_1}=\frac{16}{4}=4$。六、解答題9.（1）答案：$g(x)$的極值點為$x=0$和$x=3$解析：使用導數找極值點，$g'(x)=3x^2-12x+9$，令$g'(x)=0$，解得$x=0$和$x=3$。（2）答案：$h(x)$在區間$[0,3]