2025年考研數學（三）微積分綜合訓練卷：微積分高級應用題解析一、函數極限與連續性要求：判斷下列函數在給定點處是否存在極限，若存在，求出極限值；若不存在，說明理由。1.判斷函數\(f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x-8}\)在\(x=2\)處的極限是否存在，若存在，求出極限值。2.判斷函數\(f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\neq0\\1&\text{if}x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處的極限是否存在，若存在，求出極限值。3.設函數\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)，判斷函數在\(x=2\)處的極限是否存在，若存在，求出極限值。4.已知函數\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)，判斷函數在\(x=0\)處的極限是否存在，若存在，求出極限值。5.判斷函數\(f(x)=\begin{cases}x&\text{if}x<0\\x^2&\text{if}x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)處的極限是否存在，若存在，求出極限值。二、一元函數微分學要求：求出下列函數的導數，并化簡。1.求函數\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^2-1}\)的導數。2.求函數\(f(x)=\sqrt[3]{x^2-4}\)的導數。3.求函數\(f(x)=e^{x^2-2x}\)的導數。4.求函數\(f(x)=\ln(x^3-1)\)的導數。5.求函數\(f(x)=\arcsin(2x-1)\)的導數。三、一元函數積分學要求：求出下列函數的原函數。1.求函數\(f(x)=x^2-3x+2\)的原函數。2.求函數\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)的原函數。3.求函數\(f(x)=e^x\sinx\)的原函數。4.求函數\(f(x)=\ln(2x-1)\)的原函數。5.求函數\(f(x)=\arctanx\)的原函數。四、多元函數微分學要求：求出下列多元函數在指定點的偏導數。1.求函數\(f(x,y)=x^2e^{y^2}\)在點\((1,0)\)處的偏導數\(f_x'\)和\(f_y'\)。2.求函數\(g(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)在點\((0,1)\)處的偏導數\(g_x'\)和\(g_y'\)。3.求函數\(h(x,y)=\frac{x^3y^2}{x^2+y^3}\)在點\((2,-1)\)處的偏導數\(h_x'\)和\(h_y'\)。4.求函數\(k(x,y)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)在點\((1,1)\)處的偏導數\(k_x'\)和\(k_y'\)。5.求函數\(l(x,y)=e^{x+y}\)在點\((0,0)\)處的偏導數\(l_x'\)和\(l_y'\)。五、多元函數積分學要求：計算下列二重積分。1.計算積分\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA\)，其中積分區域\(D\)是由曲線\(x^2+y^2=1\)所圍成的圓盤。2.計算積分\(\iint_D(x+y)\,dA\)，其中積分區域\(D\)是由直線\(y=x\)和\(y=2x\)以及\(x=0\)和\(x=2\)所圍成的矩形區域。3.計算積分\(\iint_D(e^x+e^y)\,dA\)，其中積分區域\(D\)是由直線\(y=x\)和\(y=2x\)以及\(x=0\)和\(x=1\)所圍成的三角形區域。4.計算積分\(\iint_D(\sinx\cosy)\,dA\)，其中積分區域\(D\)是由曲線\(y=x^2\)和\(y=x\)以及\(x=0\)和\(x=\frac{\pi}{2}\)所圍成的區域。5.計算積分\(\iint_D(xy)\,dA\)，其中積分區域\(D\)是由曲線\(x^2+y^2=4\)和\(x^2+y^2=1\)所圍成的環形區域。六、無窮級數要求：判斷下列級數的收斂性，若收斂，求出其和。1.判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的收斂性，若收斂，求出其和。2.判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{n^2+1}\)的收斂性，若收斂，求出其和。3.判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n}\)的收斂性，若收斂，求出其和。4.判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)的收斂性，若收斂，求出其和。5.判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)的收斂性，若收斂，求出其和。本次試卷答案如下：一、函數極限與連續性1.極限存在，\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x-8}=\lim_{x\to2}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-4)(x+2)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)。2.極限存在，\(\lim_{x\to0}x^2=0\)。3.極限不存在，因為當\(x\to2\)時，函數值趨向于正無窮。4.極限存在，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。5.極限存在，\(\lim_{x\to0}x=0\)。二、一元函數微分學1.\(f'(x)=\frac{(3x^2-6x+2)(x^2-1)-(x^3-3x^2+2x-1)(2x)}{(x^2-1)^2}\)。2.\(f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}\cdot2x\)。3.\(f'(x)=e^{x^2-2x}\cdot(2x-2)\)。4.\(f'(x)=\frac{1}{x^3-1}\cdot3x^2\)。5.\(f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}\)。三、一元函數積分學1.\(F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x-\ln|x^2-1|+C\)。2.\(F(x)=2\sqrt{x^2+1}+C\)。3.\(F(x)=e^{x^2-2x}\cdot(x-1)+C\)。4.\(F(x)=\frac{1}{2}x^2\ln(2x-1)-\frac{1}{2}(2x-1)^2+C\)。5.\(F(x)=x\arctanx-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\)。四、多元函數微分學1.\(f_x'(1,0)=2e^0=2\)，\(f_y'(1,0)=2\cdot1^2e^0=2\)。2.\(g_x'(0,1)=0\)，\(g_y'(0,1)=\frac{1}{1^2+1^2}=\frac{1}{2}\)。3.\(h_x'(2,-1)=2\cdot(-1)^2\cdot\frac{1}{2^2+(-1)^3}=\frac{1}{3}\)，\(h_y'(2,-1)=3\cdot2^2\cdot\frac{1}{2^2+(-1)^3}=\frac{12}{3}=4\)。4.\(k_x'(1,1)=-\frac{1}{1+1^2}=-\frac{1}{2}\)，\(k_y'(1,1)=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}\)。5.\(l_x'(0,0)=e^{0+0}=1\)，\(l_y'(0,0)=e^{0+0}=1\)。五、多元函數積分學1.\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\pi\)。2.\(\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^2\int_x^{2x}(x+y)\,dy\,dx=\int_0^2\left(x\cdot(2x-x)+\frac{1}{2}\cdot(2x-x)^2\right)\,dx=2\pi\)。3.\(\iint_D(e^x+e^y)\,dA=\int_0^1\int_x^{2x}(e^x+e^y)\,dy\,dx=\frac{3}{2}e\)。4.\(\iint_D(\sinx\cosy)\,dA=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^x\sinx\cosy\,dy\,dx