2025年高考數學立體幾何綜合訓練模擬試題卷：突破技巧解析一、選擇題1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F是棱BB1的中點，則異面直線EF與A1B1所成的角是（）A.45°B.60°C.90°D.30°2.在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=30°，則∠SAB的度數是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題3.在正四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F是棱CD的中點，則異面直線EF與BC所成的角是______。4.在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=45°，則圓錐的高與底面半徑的比是______。三、解答題5.（1）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求證：異面直線A1B與CD所成的角是60°。（2）已知圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=30°，求圓錐的高。6.（1）已知正四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，求證：異面直線AB與CD所成的角是60°。（2）已知圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=45°，求圓錐的高。四、解答題7.（1）已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AB=BC=2，求證：異面直線A1D與EF所成的角是90°。（2）已知正三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，點D是BC的中點，求證：平面SAD⊥平面SBC。五、解答題8.（1）已知正四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，點E是棱AB的中點，求證：異面直線AE與CD所成的角是60°。（2）已知圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=60°，求圓錐的母線長。六、解答題9.（1）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，點E是棱AB的中點，F是棱AA1的中點，求證：異面直線EF與BC所成的角是45°。（2）已知圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=75°，求圓錐的側面積。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：在正方體中，異面直線所成的角可以通過找到它們在各自平面上的投影來確定。由于E和F分別是AA1和BB1的中點，因此EF平行于A1D1。由于A1D1與A1B1垂直，且A1B1與BC平行，因此EF與BC所成的角等于A1D1與BC所成的角，即90°。因此，正確答案是D。2.C解析：在圓錐中，SP垂直于底面，因此SP與底面圓上的任意直線都垂直。由于∠SAP=30°，且SP是圓錐的高，那么底面半徑與高構成一個30°-60°-90°的直角三角形。在30°-60°-90°的直角三角形中，斜邊是短邊的兩倍，因此圓錐的高是底面半徑的兩倍，所以∠SAB的度數是60°。正確答案是C。二、填空題3.60°解析：在正四面體中，由于所有棱長相等，任何兩條棱之間的角都是等邊三角形的內角，即60°。因此，異面直線EF與BC所成的角是60°。4.2:1解析：在圓錐中，由于∠SAP=45°，SP是圓錐的高，且SP垂直于底面。在這種情況下，圓錐的高與底面半徑構成一個45°-45°-90°的直角三角形。在45°-45°-90°的直角三角形中，兩條直角邊相等，因此圓錐的高與底面半徑的比是2:1。三、解答題5.（1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，由于ABCD是正方形，A1B1C1D1也是正方形，因此AA1=BB1=CC1=DD1=2。由于E是AA1的中點，F是BB1的中點，因此EF平行于A1D1。由于A1D1與CD垂直，且A1B1與CD平行，因此EF與CD所成的角等于A1D1與CD所成的角，即90°。因此，異面直線A1B與CD所成的角是60°。（2）解：在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=30°，設圓錐的高為h，底面半徑為r。由于∠SAP=30°，SP是圓錐的高，那么SP=2r。在直角三角形SAP中，根據勾股定理，有SA^2+AP^2=SP^2，即r^2+r^2=(2r)^2，解得r=2。因此，圓錐的高h=2r=4。6.（1）證明：在正四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，由于所有棱長相等，任何兩條棱之間的角都是等邊三角形的內角，即60°。因此，異面直線AB與CD所成的角是60°。（2）解：在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=45°，設圓錐的高為h，底面半徑為r。由于∠SAP=45°，SP是圓錐的高，那么SP=r。在直角三角形SAP中，根據勾股定理，有SA^2+AP^2=SP^2，即r^2+r^2=r^2，解得r=√2。因此，圓錐的高h=SP=√2。四、解答題7.（1）證明：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AB=BC=2，由于ABCD和A1B1C1D1都是正方形，因此AA1=BB1=CC1=DD1=2。由于E是AB的中點，F是BB1的中點，因此EF平行于A1D1。由于A1D1與EF垂直，且A1B1與EF平行，因此EF與A1B1所成的角等于A1D1與A1B1所成的角，即90°。因此，異面直線A1D與EF所成的角是90°。（2）解：在正三棱錐S-ABC中，AB=AC=BC=2，點D是BC的中點，由于ABC是等邊三角形，因此AD是高，且AD垂直于BC。由于S-ABC是正三棱錐，因此SD垂直于平面ABC。由于平面SAD包含SD，且SD垂直于平面ABC，因此平面SAD⊥平面SBC。五、解答題8.（1）證明：在正四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，由于所有棱長相等，任何兩條棱之間的角都是等邊三角形的內角，即60°。因此，異面直線AE與CD所成的角是60°。（2）解：在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=60°，設圓錐的高為h，底面半徑為r。由于∠SAP=60°，SP是圓錐的高，那么SP=√3r。在直角三角形SAP中，根據勾股定理，有SA^2+AP^2=SP^2，即r^2+r^2=(√3r)^2，解得r=√3/2。因此，圓錐的母線長為l=√(r^2+h^2)=√(3/4+h^2)。六、解答題9.（1）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，由于ABCD是正方形，A1B1C1D1也是正方形，因此AA1=BB1=CC1=DD1=2。由于E是AB的中點，F是AA1的中點，因此EF平行于A1D1。由于A1D1與CD垂直，且A1B1與CD平行，因此EF與CD所成的角等于A1D1與CD所成的角，即90°。因此，異面直線EF與BC所成的角是45°。（2）解：在圓錐S-AB中，AB是底面直徑，點P在底面圓上，且SP垂直于底面，若∠SAP=75°，設圓錐的高為h，底面半徑為r。由于∠SAP=75