郴州市北湖區2024-2025學年九年級下學期數學模擬考試試卷（中考數學壓軸題難點解析與策略運用）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4$的圖像與直線$y=x$有三個交點，則實數$a$的取值范圍是（）A.$(-1,2)$B.$[1,2]$C.$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$D.$[-1,2]$2.若$y=a^x$（$a>0$，$a\neq1$）的圖像與直線$y=kx$（$k>0$）有兩個交點，則實數$k$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(0,+\infty)$C.$(0,1)\cup(1,+\infty)$D.$(0,+\infty)\cup(1,+\infty)$二、填空題要求：將正確答案填入空格內。3.函數$f(x)=x^2-2x+1$的圖像的對稱軸是______。4.若函數$f(x)=2^x+3$的圖像上存在點$(a,b)$，使得$ab=3$，則實數$a$的取值范圍是______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4$的圖像與直線$y=x$有三個交點，求實數$a$的取值范圍。（2）若函數$g(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像與$x$軸有兩個交點，且$g(1)=0$，$g(3)=4$，求函數$g(x)$的解析式。6.（1）已知函數$f(x)=2^x-3$的圖像與直線$y=kx+b$（$k\neq0$）有兩個交點，求實數$k$的取值范圍。（2）若函數$g(x)=a^x+b$（$a>0$，$a\neq1$）的圖像與$y$軸有兩個交點，且$g(1)=0$，$g(3)=4$，求函數$g(x)$的解析式。四、解答題要求：解答下列各題。7.（1）已知函數$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$（$x\geq0$）的圖像與直線$y=kx$（$k>0$）有兩個交點，求實數$k$的取值范圍。（2）若函數$g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的圖像與直線$y=mx+n$（$m,n\neq0$）有兩個交點，求實數$m$和$n$的取值范圍。五、解答題要求：解答下列各題。8.（1）已知函數$f(x)=x^3-9x$的圖像在$[0,3]$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。（2）若函數$g(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$的圖像與$y$軸有兩個交點，求實數$a$的取值范圍。六、解答題要求：解答下列各題。9.（1）已知函數$f(x)=\sinx+\cosx$的圖像與直線$y=kx$（$k\neq0$）有兩個交點，求實數$k$的取值范圍。（2）若函數$g(x)=e^x+e^{-x}$的圖像與$y$軸有兩個交點，求實數$a$的取值范圍。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：由題意知，函數$f(x)=x^3-3x^2+4$與直線$y=x$有三個交點，即方程$x^3-3x^2+4=x$有三個實數根。化簡得$x^3-3x^2-x+4=0$。設$g(x)=x^3-3x^2-x+4$，求導得$g'(x)=3x^2-6x-1$。令$g'(x)=0$，解得$x=1$或$x=-\frac{1}{3}$。將$x=1$和$x=-\frac{1}{3}$代入$g(x)$，得$g(1)=1$，$g(-\frac{1}{3})=\frac{22}{27}$。由于$g(x)$在$x=1$處取得極大值，在$x=-\frac{1}{3}$處取得極小值，且$g(1)>0$，$g(-\frac{1}{3})>0$，因此$g(x)$的圖像與$x$軸有三個交點，即實數$a$的取值范圍是$[-1,2]$。2.C解析：由題意知，函數$y=a^x$與直線$y=kx$有兩個交點，即方程$a^x=kx$有兩個實數解。取對數得$x\lna=\lnk$，即$x=\frac{\lnk}{\lna}$。由于$a>0$，$a\neq1$，$\lna\neq0$，因此$\lnk\neq0$。所以$x$的取值范圍是$(0,+\infty)$。又因為$k>0$，所以實數$k$的取值范圍是$(0,1)\cup(1,+\infty)$。二、填空題3.$x=1$解析：函數$f(x)=x^2-2x+1$可以寫成$f(x)=(x-1)^2$，因此對稱軸是$x=1$。4.$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$解析：由題意知，$ab=3$，且$a$和$b$同號。因此，當$a>0$時，$b>0$；當$a<0$時，$b<0$。所以$a$的取值范圍是$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$。三、解答題5.（1）$a$的取值范圍是$[-1,2]$解析：同第一題解析。（2）$g(x)=x^2-4x+4$解析：由$g(1)=0$得$a+b+c=0$；由$g(3)=4$得$9a+3b+c=4$。解這個方程組得$a=1$，$b=-4$，$c=3$。因此$g(x)=x^2-4x+4$。6.（1）$k$的取值范圍是$(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：同第二題解析。（2）$g(x)=e^x+e^{-x}$解析：由$g(1)=0$得$a+b=0$；由$g(3)=4$得$a^3+a^{-3}=4$。解這個方程組得$a=1$，$b=-1$。因此$g(x)=e^x+e^{-x}$。四、解答題7.（1）$k$的取值范圍是$(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：同第二題解析。（2）$m$和$n$的取值范圍是$(0,+\infty)$解析：由$g(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$知，$x-1>0$，即$x>1$。因此，$g(x)$的定義域是$(1,+\infty)$。由于$g(x)$是單調遞減函數，當$x\to1^+$時，$g(x)\to+\infty$；當$x\to+\infty$時，$g(x)\to-\infty$。因此，直線$y=mx+n$與$g(x)$有兩個交點，當且僅當$m>0$且$n\neq0$。五、解答題8.（1）$a$的取值范圍是$[0,3]$解析：由$f(x)=x^3-9x$，求導得$f'(x)=3x^2-9$。令$f'(x)=0$，解得$x=-\sqrt{3}$或$x=\sqrt{3}$。由于$f(x)$在$[0,3]$上單調遞增，$f'(x)\geq0$，所以$a$的取值范圍是$[0,3]$。（2）$a$的取值范圍是$(0,+\infty)$解析：由$g(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$，求導得$g'(x)=-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^2}$。令$g'(x)=0$，解得$x=-2$或$x=-\frac{1}{2}$。由于$g(x)$在$x=-2$和$x=-\frac{1}{2}$處取得極值，且$g(x)$在$(-\infty,-2)$和$(-\frac{1}{2},0)$上單調遞減，在$(-2,-\frac{1}{2})$上單調遞增。因此，$g(x)$的圖像與$y$軸有兩個交點，當且僅當$a>0$。六、解答題9.（1）$k$的取值范圍是$(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：同第二題解析。（2）$a$的取值范圍是$(0,+\infty)