廣東省湛江二中2012屆高三上學期第三次月考試題（數學理）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的對稱中心是：A.(0,-1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,-1)2.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z位于：A.實軸上B.虛軸上C.第一象限D.第二象限3.已知等差數列{a_n}的公差為d，若a_1+a_3+a_5=18，則a_2+a_4+a_6的值為：A.24B.18C.12D.64.設函數f(x)=(x-1)/(x+1)，則f(x)的值域為：A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪(-1,+∞)5.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值是：A.1/5B.2/5C.3/5D.4/56.若等比數列{a_n}的公比為q，且a_1+a_2+a_3=9，a_2+a_3+a_4=27，則q的值為：A.2B.3C.4D.67.已知函數f(x)=x^2-4x+4，則f(x)在定義域內的極值點為：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=48.設復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z的實部為：A.0B.1C.-1D.29.若等差數列{a_n}的公差為d，若a_1+a_3+a_5=18，則a_2+a_4+a_6的值為：A.24B.18C.12D.610.設函數f(x)=(x-1)/(x+1)，則f(x)的值域為：A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪(-1,+∞)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.設函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的對稱中心是______。12.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z位于______。13.已知等差數列{a_n}的公差為d，若a_1+a_3+a_5=18，則a_2+a_4+a_6的值為______。14.設函數f(x)=(x-1)/(x+1)，則f(x)的值域為______。15.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值是______。三、解答題（本大題共5小題，共75分）16.（本小題滿分15分）已知函數f(x)=2x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的導數f'(x)。17.（本小題滿分15分）已知等差數列{a_n}的公差為d，若a_1+a_3+a_5=18，求a_2+a_4+a_6的值。18.（本小題滿分15分）已知函數f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在定義域內的極值點。19.（本小題滿分15分）設復數z滿足|z-1|=|z+1|，求z的實部。20.（本小題滿分15分）設函數f(x)=(x-1)/(x+1)，求f(x)的值域。四、計算題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）21.計算定積分：∫(2x^3-3x^2+2x)dx，并求其值。22.計算不定積分：∫(e^x)dx，并寫出其通解。五、證明題（本大題共1小題，滿分15分）23.證明：對于任意實數x，都有x^2-4x+4≥0。六、應用題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）24.（本小題滿分15分）某公司計劃投資100萬元用于購買設備。已知購買設備的成本與設備的使用年限呈線性關系，即成本C（萬元）與年限t（年）滿足C=at+b，其中a和b是常數。若已知購買設備后第5年的成本為80萬元，第10年的成本為120萬元，求設備的使用年限t與成本C之間的關系式，并計算購買設備后第15年的成本。25.（本小題滿分15分）一個長方體的長、寬、高分別為x米、y米、z米。若該長方體的表面積S為28平方米，體積V為24立方米，求長方體的長、寬、高的具體值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.(1,0)解析：函數f(x)=x^3-3x+1是一個奇函數，其圖像關于原點對稱，對稱中心為(0,0)，但由于常數項的存在，對稱中心實際為(1,0)。2.A.實軸上解析：復數z的模長|z|等于z的實部與虛部的平方和的平方根。由于|z-1|=|z+1|，z的實部必須為0，即z位于實軸上。3.C.12解析：等差數列{a_n}中，a_2=a_1+d，a_4=a_1+3d，a_6=a_1+5d。因此，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=3(a_1+3d)=3a_4=3a_1+9d=3(a_1+3d)=3a_4=3*6=18。4.C.(-∞,-1)∪[1,+∞)解析：函數f(x)=(x-1)/(x+1)在x=-1時無定義，因此值域不包括-1。函數的極限在x趨向于正無窮時為+∞，在x趨向于負無窮時為-∞，故值域為(-∞,-1)∪[1,+∞)。5.B.2/5解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值可以通過點積公式計算，即cosθ=(a·b)/(|a||b|)。計算得cosθ=(2*(-1)+3*2)/(√(2^2+3^2)*√((-1)^2+2^2))=4/(5*√5)=2/5。6.B.3解析：等比數列{a_n}中，a_2=a_1q，a_3=a_1q^2，a_4=a_1q^3。因此，a_1+a_1q+a_1q^2=9，a_1q+a_1q^2+a_1q^3=27。兩式相除得q^2=3，所以q=3。7.A.x=1解析：函數f(x)=x^2-4x+4可以寫成(f(x)=(x-2)^2)，這是一個開口向上的拋物線，其頂點為(x=2,y=0)，因此極值點為x=1。8.C.-1解析：復數z的模長|z-1|等于|z+1|意味著z在復平面上與-1和1等距離，唯一滿足這個條件的點是在實軸上，即z的實部為-1。9.C.12解析：與第3題解析相同，等差數列中，a_2+a_4+a_6=3a_4=3a_1+9d=3(a_1+3d)=3a_4=3*6=18。10.A.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：與第4題解析相同，函數f(x)=(x-1)/(x+1)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞)。二、填空題11.(1,0)12.實軸上13.1814.(-∞,-1)∪[1,+∞)15.2/5三、解答題16.f'(x)=6x^2-6x+2解析：對函數f(x)=2x^3-3x^2+2x+1求導，得到f'(x)=6x^2-6x+2。17.a_2+a_4+a_6=24解析：等差數列的通項公式為a_n=a_1+(n-1)d。已知a_1+a_3+a_5=18，即3a_1+6d=18，解得a_1+2d=6。因此，a_2+a_4+a_6=3a_4=3(a_1+3d)=3(a_1+2d+d)=3*6=18。18.極值點為x=2解析：函數f(x)=x^2-4x+4可以寫成(f(x)=(x-2)^2)，其頂點為(x=2,y=0)，因此極值點為x=2。19.實部為-1解析：與第8題解析相同，復數z的實部為-1。20.值域為(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：與第4題解析相同，函數f(x)=(x-1)/(x+1)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞)。四、計算題21.∫(2x^3-3x^2+2x)dx=(1/2)x^4-x^3+x^2+C解析：對函數2x^3-3x^2+2x進行積分，得到(1/2)x^4-x^3+x^2+C。22.∫(e^x)dx=e^x+C解析：對函數e^x進行積分，得到e^x+C。五、證明題23.證明：對于任意實數x，都有x^2-4x+4≥0解析：將x^2-4x+4寫成完全平方形式，即(x-2)^2。由于平方數總是非負的，所以(x-2)^2≥0，即x^2-4x+4≥0。六、應用題24.成本C=2t+80，第15年的成本為C=2*15+80=110萬元解析：由題意得C=at+b，將t=5,C=80和t