鏈接高考6三角形中的“爪型”模型1.(2025屆湖南邵陽二中開學考,7)如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,則∠MPN的余弦值是()A.691C.5答案B(2025屆山東菏澤一中開學考,6)在△ABC中,D為邊BC上一點,∠DAC=2π3,AD=4,AB=2BD,且△ADC的面積為43,則sin∠ABD=()A.15?C.5答案A3.(2025屆江蘇蘇州大學附中月考,13)△ABC中,∠BAC=120°,AD為∠BAC的平分線,D點在線段BC上,則AB+4ACAD答案9(2025屆江蘇徐州三中開學考,14)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,BD⊥BC交AC于點D,且BD=1,則2a+c的最小值為.

答案85.(2024安徽池州一中一模,14)在△ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的平分線,且△ABC的面積為1,當BC最短時,ADAC=答案26.(2024安徽滁州三模,15)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2bcosC-c=2a.(1)求B的大小;(2)若a=3,且AC邊上的中線長為192,求△ABC的面積解析(1)∵2bcosC-c=2a,∴由余弦定理的推論得2b·a2+b2?化簡得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=a2∵B∈(0,π),∴B=2π3(2)令AC的中點為D,則BD=192,BD=1平方得,BD2=194=14(BA+BC)2=14(a2+c2+2accos∠ABC)整理得c2-3c-10=0,解得c=5(負值舍去).∴S△ABC=127.(2025屆湖北宜昌協作體期中,18)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a=2,sinB+sinC=2sinA.(1)若cosA=45,求△ABC的面積(2)若△ABC是銳角三角形,D為BC邊的中點,求AD長的取值范圍.解析(1)∵sinB+sinC=2sinA,∴由正弦定理得b+c=2a=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA),即4=16-185bc,∴bc=10∵cosA=45,A∈(0,π),∴sinA=1?co∴S△ABC=12bc(2)由(1)知b+c=4,則c=4-b.∵△ABC是銳角三角形,∴cosA>0,cosB>0,cosC>0,∴b2∵D為BC的中點,∴AD=12∴|AD=1=122[b2即AD長的取值范圍是3,(2025屆廣東惠州期中,18)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB,tanC均為整數.(1)求tanA,tanB,tanC的值;(2)設AC的中點為D,求∠CDB的余弦值.解析(1)由a<b<c,得A<B<C.由A+B+C=π,得A+B+C>3A,故0<A<π3,所以0<tanA<3因為tanA為整數,所以tanA=1,所以A=π4,B+C=3π因為B<C,所以3π4=B+C>2B,則π所以1<tanB<tan3π8.由tan3π4=2tan3π81?tan2故1<tanB<1+2,又2<1+2<3,tanB為正整數,則tanB=2,(緊緊抓住tanA,tanB,tanC均為整數的條件,依次分析A,B,C的正切值,從而得解)所以tanC=-tan(A+B)=-tanA+tan綜上,tanA=1,tanB=2,tanC=3.(2)解法一:由(1)知,tan∠ABC=2,tanC=3,則sin∠ABC=255,cosC=在△ABC中,由正弦定理得asin則b=asin∠因為AC的中點為D,所以CD=12b=10a5由余弦定理得BD2=CD2+CB2-2CD·CB·cosC=105a2+a2?2×105所以cos∠CDB=cosC=1010解法二:向量法由(1)可知cos∠ABC=55,cosC=1010,sinC=310因為D是AC的中點,所以BD=12則|BD|2=14(|BA|2+|BC在△ABC中,由正弦定理得asinπ4=csinC將①代入(※)式整理得|BD|=a,所以cos∠CDB=cosC=10109.(2024河北張家口三模,16)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,點D為邊BC上一點,且滿足(AD+AC)·BC=0(1)證明:AD=b;(2)若AD為∠BAC的平分線,且AD=13解析(1)證明:記CD的中點為E,則AD+AC因為(AD+AC)·BC=2AE·BC=0所以AD=AC=b.(2)因為AD=13AB+23AC所以BD=2DC,即BD=23a,DC又因為AD為∠BAC的平分線,所以ABAC=BDDC,由(1)知AD=AC=b,AD=13AB+23AC兩邊平方且把c=2b整理得b2=8b2cos∠BAC,解得cos∠BAC=18所以sinA=1?110.(2025屆江蘇蘇州震澤中學開學考,17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2acosAcosB-bcos2A(A≤B).(1)求A;(2)若D是BC上的一點,且BD∶DC=1∶2,AD=2,求a的最小值.解析(1)∵c=2acosAcosB-bcos2A,∴sinC=2sinAcosAcosB-sinBcos2A,∴sinC=sin2AcosB-sinBcos2A=sin(2A-B)>0.則C=2A-B或C+2A-B=π,若C=2A-B,則A=π3若C+2A-B=π,則A=2B,又A≤B,∴不符合題意,舍去.綜上所述,A=π3(2)∵BD∶DC=1∶2,∴AD=AB+13BC整理得b2+4c2+2bc=36①,又a2=b2+c2-bc②,∴①÷②得:36a令cb=x,∵A≤B,∴a≤b,∴a2≤b2,∴b2+c2-bc≤b2(因為a2=b2+c2-bc,a2≤b2,所以b2+c2-bc≤b2)∴c≤b,∴0<cb=x≤1令f(x)=4x2+2x+1令6x-3=t,則x=t+3令g(t)=4+36t