PAGE1思維導圖專題02整式乘法思維導圖核心考點聚焦單項式乘單項式單項式乘多項式多項式乘多項式乘法公式單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，即首平方、尾平方，倍首尾放中央。難點強化一、陰影部分面積1．如圖，有兩個正方形A、B，邊長分別為a和b，將A、B并列放置后構造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙．若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為與，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，完全平方公式，圖甲種陰影部分是一個長為，寬為的長方形，圖2種陰影部分面積等于邊長為的正方形面積減去正方形A和正方形B的面積，據此分別表示出與，再根據建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得，，∵，∴，∴或（舍去），∴，故選；D．2．如圖所示，在周長為44的長方形中放入一個邊長為8的大正方形和兩個邊長為6的小正方形和，其中點E、G分別在、上，點H、K分別在邊、上，點P、Q在邊上，點N在邊上．記如圖的三個陰影部分的面積分別為，，，若，則長方形的面積為．【答案】120【分析】本題考查了整式的混合運算，根據所給圖形，數形結合，正確表示出相關圖形的長度和面積，是解題的關鍵．設長方形的長，寬，表示出，則由已知及圖形可得、、代的長、寬及面積如何表示，根據，及可整體求得的值，即長方形的面積．【詳解】設長方形的長，寬，∵周長為44，∴．的長為，寬為，．的長為，寬為，．：長為，寬為，所以．將、、代入得：

將代入中得：．∴長方形的面積為120．故答案為：120．3．如圖，長方形被分割成四個小長方形，已知長方形的面積比長方形的面積大3，，那么陰影部分的面積是多少？【答案】陰影部分面積為1．【分析】本題考查了整式的混合運算，根據題意得出，設則，根據題意得出，最后根據，即可解答．【詳解】解：連接∵，∴，設則，∵長方形的面積比長方形的面積大3，∴，∵，∴陰影部分的面積．難點強化二、楊輝三角1．我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律，例如：利用上述規律計算：（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多項式的系數規律問題，解題的關鍵是根據題意正確分析出各項系數的有關規律．根據楊輝三角的規律可知，令，則，計算即可．【詳解】解：，∴，令，∴，故選：D．2．南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律如下，后人也將右表稱為“楊輝三角”…寫出展開式中所有項的系數和．【答案】【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數和的求法，掌握展開式中所有項的系數和，得到規律即可求解是關鍵．由“楊輝三角”得到：應該是為非負整數展開式的項系數和為．【詳解】解：當時，展開式中所有項的系數和為，當時，展開式中所有項的系數和為，當時，展開式中所有項的系數和為，當時，展開式中所有項的系數和為，當時，展開式中所有項的系數和為，．故答案為：．3．我國宋代數學家楊輝（13世紀）寫了一本書《詳解九章算法》，書中記載了一個用數字排成的三角形，這個三角形數陣圖是北宋賈憲（約11世紀上半葉）首創的“開方作法本源圖”，后人稱之為賈憲三角或楊輝三角．（圖1）楊輝三角實際是二項式乘方展開式的系數表（圖2），觀察圖2右側的系數表，你發現了什么規律？用你發現的規律回答下列問題：(1)多項式展開式的第三項系數是_____________．(2)請寫出的展開式：______________．(3)已知多項式，當時，求該多項式的值．【答案】(1)10；(2)(3)【分析】本題考查對題干“楊輝三角”規律的理解，以及規律的運用，解題的關鍵是找出展開式的各項系數規律并靈活運用．（1）根據“楊輝三角”規律寫出多項式的展開式，即可得到展開式中的第三項；（2）根據“楊輝三角”規律得到多項式展開式；（3）根據“楊輝三角”規律得到為的展開式，即可解題．【詳解】（1）解：由題可得：多項式的展開式各系數依次為1，5，10，5，1，多項式的展開式中第三項系數是10．故答案為：；（2）解：由題意可得：．故答案為：；（3）解：，當時，原式．難點強化三、操作問題1．我們把個單項式的和得到的多項式記為，即，將多項式中的任意個單項式，其系數變為相反數得到新多項式，稱為相反數操作．例如：對于，當時，可將變為，得到新多項式：，下列說法中：①當時，若均為自然數，則與新多項式的積可能為②當時，若等于新多項式的絕對值，則的個單項式中一定存在兩個單項式的和為；③當時，得到的新多項式的所有可能結果之和記為，將再進行“相反數操作”，得到的新多項式的所有可能結果之和記為．．．以此類推，則與的差為定值．正確的個數是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查了整式的混合運算，平方差公式，解絕對值方程，根據新定義，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：①∵．當時，有兩種可能的新多項式：改變的系數：新多項式為．改變的系數：新多項式為．計算與新多項式的積：若改變，積為．若改變，積為．設，，則，且，和同奇偶（確保為整數）．積的絕對值為，需等于12．符合條件的解：，（例如或）．當時，改變得新多項式，，積為．因此，說法①正確．．當時，選擇任意兩個單項式（設其和為），新多項式為．條件：，且．解絕對值方程：情況一：∴，則選中的兩個單項式之和為0．情況二：∴，則未選中的兩個單項式之和為因此，無論如何，都存在兩個單項式之和為0．說法②正確．．定義迭代過程：：所有可能一次操作（）后新多項式的和．新多項式：，，．∴．：將（即）進行所有可能一次操作后新多項式的和．操作得：，，．同樣得．對任意多項式，其所有可能一次操作后新多項式的和仍等于．因此，對所有成立．，差為（定值）．說法③正確．三個說法均正確，正確個數為3．故選：A．2．有依次排列的2個整式：x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：x，3，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過下列實際操作：①第二次操作后整式串為：x，，3，x，；②第二次操作后，當時，所有整式的積為正數；③第四次操作后整式串中共有19個整式；④第2021次操作后，所有的整式的和為；上面四個結論中正確的是（填序號）【答案】①④/④①【分析】根據整式的加減運算法則和整式的乘法運算法則進行計算，從而作出判斷．【詳解】解：∵第一次操作后的整式串為：x，3，，∴第二次操作后的整式串為x，，3，，，即x，，3，，，故①的結論正確，符合題意；第二次操作后整式的積為，∵，∴，即，∴，即第二次操作后，當時，所有整式的積為非負數，故②的說法錯誤，不符合題意；第三次操作后整式串為，第四次操作后整式串為，共17個，故③的說法錯誤，不符合題意；第一次操作后所有整式的和為，第二次操作后所有整式的和為，第三次操作后所有整式的和為，...，第n次操作后所有整式的積為，∴第次操作后，所有的整式的和為，故④的說法正確，符合題意；正確的說法有①④，故答案為：①④．【點睛】本題考查整式的加減，整式的乘法，掌握合并同類項（系數相加，字母及其指數不變）和去括號的運算法則（括號前面是“＋”號，去掉“＋”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“?”號，去掉“?”號和括號，括號里的各項都變號）和平方差公式是解題關鍵．3．對任意一個三位數，如果滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，則稱這個數為“幸福數”，將的百位數字調到個位可以得到一個新的三位數，不斷重復此操作共可得到兩個不同的新三位數，把這兩個新數與原數的和與111的商記為．例如，456是“幸福數”，不斷將456的百位數字調到個位可得564，645，．(1)求，．(2)已知，（，，為整數），若、均為“幸福數”，且可被6整除，求的值．【答案】(1)，(2)18【分析】(1)根據定義計算，即可分別求得；(2)首先可求得且，，再分兩種情況可求得或(且，，)，再根據可被6整除，即可分別求得x、y的值，即可求得s、t的值，據此即可解答【詳解】（1）解：，；（2）解：、均為“幸福數”，且，且且，，且，，當時，，當時，，且，，，當，，且，時，可被6整除，或或，由得，(舍去)，由得，或或或，都不符合題意，故舍去，同理，也沒有符合要求的x、y的值；當，，且，，且，，時，可被6整除，或或，同理，可得或，當時，，，此時，，不合題意舍去，當時，，，此時，，合題意，，綜上，的值為18．【點睛】本題考查因式分解的應用；理解題意，從題目中獲取信息，列出正確的代數式，再由數的特點求解是解題的關鍵．難點強化四、整除問題1．若k為任意整數，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】C【分析】本題考查了整式的混合運算，掌握乘法公式的運用是解題的關鍵．運用乘法公式展開，再根據整式的加減運算得到，結合為任意整數，得到是整數，由此即可求解．【詳解】解：，∵為任意整數，∴是整數，∴的值總能被5整除，故選：C．2．一個正兩位數M，它的個位數字是，十位數字是a，把M十位上的數字與個位上的數字交換位置得到新兩位數N，若的值能被13整除，則a的值是．【答案】6【分析】本題考查整式的加減運算，因式分解的應用，求出的值，因式分解后，根據的值能被13整除可得出，進而可求出a的值．【詳解】解：正兩位數，新兩位數，，因為的值能被13整除，且a為整數，，，所以，解得．故答案為：6．3．數學興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個奇數的平方差是否能被8整除）”的問題．(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下：能否被8整除能能能能能……按上表規律，完成下列問題：（ⅰ）____；（ⅱ）若是正整數，請用含的式子描述你能得出的一般性結論，并證明你的結論；(2)興趣小組還猜測：相鄰兩個偶數的平方差不能被8整除．師生一起研討，分析過程如下：假設相鄰兩個偶數的平方差能被8整除．令一個偶數為（為正整數），則相鄰的一個偶數可表示為，則（為正整數）．因為_____，所以_____，這與為正整數相矛盾，故相鄰兩個偶數的平方差不能被8整除．閱讀以上內容，請在橫線上填寫所缺內容．【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，證明見解析(2)（或），【分析】本題考查了數字類規律探索，因式分解的應用，掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）（ⅰ）根據表中規律作答即可；（ⅱ）根據表中規律即可得出能被8整除；根據平方差公式化簡，即可得解；（2）根據題中方法利用平方差公式化簡即可求解．【詳解】（1）解：（ⅰ）；（ⅱ）能被8整除；證明：，又是正整數，能被8整除，結論成立；（2）解：，．故答案為：（或），．難點強化五、單(多)項式與多項式的應用1．如圖，小明制作了A類，B類，C類卡片各15張，其中A，B兩類卡片都是正方形，C類卡片是長方形，若小明要拼出一個寬為，長為的大長方形，則他準備的C類卡片（

）A．夠用，剩余0張 B．夠用，剩余2張C．不夠用，還缺1張 D．不夠用，還缺2張【答案】B【分析】本題主要考查多項式與多項式的乘法與圖形的面積，根據大長方形的面積公式求出拼成大長方形的面積，再對比卡片的面積，即可求解．【詳解】解：大長方形的面積為，C類卡片的面積為，∴需要C類卡片的張數是13，∴夠用，剩余2張，故選：B．2．如圖，長方形的面積是96，為上一點，，為上一點，則的面積是．【答案】45【分析】此題考查了整式的乘法以及代數求值的實際應用，解題的關鍵是正確表示出，，．設長方形的長為x，寬為y，然后表示出，，，然后根據的面積列式代數求解即可．【詳解】設長方形的長為x，寬為y，∵，，∴，，∴的面積．故答案為：45．3．如圖，在一個足夠長且寬為的紙帶上剪出一些矩形紙片A，B，C…，其面積分別為．圖中的虛線為裁剪紙，試用含x的式子解決下列問題．(1)求；若，求矩形C落在邊l上的長；(2)在（1）的前提下，若矩形D在邊l上的長為，比較與的大小，并通過計算說明理由．【答案】(1)；x(2)，見解析【分析】本題考查了多項式乘多項式的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據面積等于長乘寬，先表示，因為，故，即可作答．（2）依題意，，，結合，即一定大于0，所以，即可作答．【詳解】（1）解：結合圖形，；∵∴，∴矩形C落在邊l上的長為x；（2）解：，理由如下：依題意，，∴∵，∴一定大于0，∴，即．難點強化六、平方差公式的應用1．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查利用平方差公式求圖形的面積，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．設大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，得到，，再根據陰影部分的面積等于進行求解即可．【詳解】解：如圖，設大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，∴，，，，∴，故選：．2．已知邊長為a的大正方形A和邊長為b的小正方形B，現將B放在A內部得到圖甲，將A，B并列放置后，構造新的正方形得到圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別是1和12．（1）根據圖甲、圖乙的面積關系，可以得到；（2）若3個正方形A和2個正方形B按圖丙的方式擺放，則圖丙中陰影部分的面積為．【答案】129【分析】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的變式應用，熟練掌握完全平方公式和平方差公式的結構特點是解題的關鍵．（1）圖甲中陰影面積等于所在大正方形面積減去正方形的面積，再減去兩個長方形面積；（2）圖丙中陰影部分面積等于所在大正方形面積減去3個正方形A的面積，再減去2個正方形B的面積，據此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式計算即可；．【詳解】解：（1）圖甲陰影面積可以表示為：，為正方形邊長，，，，故答案為：；（2）圖乙中陰影部分面積可以表示為：，，圖丙中陰影部分面積為：，，，，，，（舍去），．故答案為：．3．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是；(2)應用你從（1）中選出的等式，完成下列各題．①已知，，求的值．②計算：．【答案】(1)(2)①3；②【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵；（1）根據圖1和圖2的面積相等即可得到答案；（2）①運用平方差公式求解即可；②將原式變形為，然后連續運用平方差公式求解即可．【詳解】（1）解：圖1的陰影部分的面積是，圖2的陰影部分的面積是，這兩個陰影部分的面積相等，所以上述操作能驗證的等式是；故答案為：；（2）解：①∵，，且，∴，∴；②．難點強化七、完全平方公式的應用1．已知兩塊邊長都為的大正方形，兩塊邊長都為的小正方形和五塊長、寬分別是，的小長方形，按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個大長方形．已知拼成的大長方形周長為，圖中陰影部分四個正方形的面積之和為，則圖中每個小長方形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式的變形求值，掌握是解題的關鍵．根據拼成的大長方形周長為，四個正方形的面積之和為，得到，，根據完全平方公式求出的值即可．【詳解】解：大長方形周長為，，，四個正方形的面積之和為，，，，，，故選：B．2.有一張邊長為的大正方形卡片和三張邊長為的小正方形卡片如圖①所示，取出兩張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內拼成的圖案如圖②，再重新用三張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內拼成的圖案如圖③．已知圖②中的陰影部分面積是圖③中的陰影部分面積的2倍，則小正方形與大正方形的面積之比為．【答案】【分析】本題考查了完全平方公式的應用，由圖可得，圖②陰影部分面積，圖③陰影部分面積，即得，得到，據此即可求解，根據圖形表示出圖①②陰影部分的面積是解題的關鍵．【詳解】解：由圖②可得，陰影部分面積，由圖③可得，陰影部分面積，∵圖②中的陰影部分面積是圖③中的陰影部分面積的倍，∴，整理得，，∴，∴，∴；故答案為：．3．【材料閱讀】利用兩數和（差）的完全平方公式可以解決很多數學問題．例：若滿足，求的值．解：設，則，．請仿照上面的方法求解下面問題：【初步應用】（1）已知，，則___________；【問題解決】（2），求；【拓展延伸】（3）已知正方形的邊長為x，E、F分別是、上的點，且，，長方形的面積是15，分別以，為邊長作正方形，求陰影部分的面積．【答案】（1）22；（2）；（3）陰影部分的面積為16．【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應用：（1）先利用完全平方公式求得，再根據，代入計算即可；（2）設，，根據題意可求出，，再求出的值，即可求出答案；（3）長方形的長，寬，則有，因此有，求出x的值，再代入陰影部分的面積中計算即可求出結果．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）設，，則，，∵，∴，∴；（3）由題意得，長方形的長，寬，則有，由題意得，即，∴，∴或（舍去）．∴陰影部分的面積為：，答：陰影部分的面積為16．難點強化八、整式乘法的規律1．數學興趣小組開展探究活動，研究了均為自然數，且）的問題．研究過程如下：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；…………(1)按照以上規律，填空．①請你寫出當時，（

）（

）；②猜想（

）(2)興趣…………按照以上規律，請你猜想__________________，并證明．【答案】(1)①，43；②(2)，，，證明見解析【分析】本題主要考查了數字變化的規律及整式的混合運算，能根據所給等式發現各部分的變化規律是解題的關鍵．（1）根據所給等式，觀察各部分的變化，發現規律即可解決①②．（2）根據所給等式，觀察各部分的變化，發現規律，并進行證明即可．【詳解】（1）解：①當時，；②猜想：．故答案為：①，43；②；（2）解：猜想：，證明：，所以左邊右邊，猜想成立．2．某校的七年級數學興趣小組開展探究活動，他們一起研究兩位整數的平方數問題，先從個位數是1的兩位整數的平方數開始．如：；．．．按照以上規律，完成下列問題：(1)___________；(2)十位數字是，個位數字是1的兩位整數的平方數可以寫成：（___________）___________；（用含的代數式表示）(3)請你猜想出十位數字是，個位數字是的兩位整數的平方數，寫成：（___________）___________（用含的代數式表示），并證明．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】本題考查了數字的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察數據的變化規律，找到規律后即可求解．（1）根據已知等式得出規律，寫出即可；（2）根據已知等式得出規律，寫出即可；（3）根據已知等式得出規律，寫出即可．【詳解】（1）解：∵；；；；∴；故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：；證明：,，左邊右邊，故答案為：；．3．閱讀下面各式，尋找其中的計算規律．①②

③(1)按這個規律，第10個式子是：______________(2)觀測上式，并猜測：________________(3)根據你的猜測，計算（其中n是正整數）的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了數字類變化規律，平方差公式，多項式乘以多項式，正確理解題意是解題的關鍵．（1）仿照題干即可求解；（2）仿照題干，即可歸納總結得到一般性規律，（2）原式變形后，利用得出的規律計算即可得到結果．【詳解】（1）解：∵①②

③∴第10個式子是：，故答案為：；（2）解：由題干規律可得：，故答案為：；（3）解：．難點強化九、整式乘法的新定義1．定義：對于依次排列的多項式（，，，是常數），當它們滿足，且為常數時，則稱，，，是一組平衡數，是該組平衡數的平衡因子．如對于多項式，因為，所以，，，是一組平衡數，是該組平衡數的平衡因子．(1)已知，，，是一組平衡數，求該組平衡數的平衡因子．(2)若a，b，c，d是一組平衡數，，請寫出一組b，c的值，(3)當a，b，c，d之間滿足什么數量關系時，它們是一組平衡數？請說明理由．【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3)當時，a，b，c，d是一組平衡數【分析】本題考查多項式乘多項式，解題的關鍵在于觀察兩個展開式中各項之間的關系，通過觀察，我們會發現，．（1）直接根據定義計算的值；（2）根據定義表示平衡數的平衡因子，令一次項的系數為，代入可得結論；（3）根據（2）可得，，，之間滿足的數量關系式．【詳解】（1）解：（2）由題意，得，因為，，是常數，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，滿足即可）（3），，，，都是常數，所以當時，是常數，即當時，，，，是一組平衡數2．配方法是數學中重要的一種思想方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數能表示成（，是整數）的形式．則稱這個數為“完美數”．例如，10是“完美數”．理由：因為，所以10是“完美數”；代數式可配方成（，為常數）．也可以求代數式的最大值或最小值，即：，因為，所以，所以最小值為4．(1)解決問題：下列各數中，“完美數”有______（填序號）．①29；

②48；

③13；

④28．(2)探究問題：①已知（，是整數，是常數），猜想當為何值時，為“完美數”，并說明理由．②已知實數，滿足，求的最小值．【答案】(1)①③(2)①當時，為“完美數”，理由見解析；②【分析】本題考查了新定義的運算法則，因式分解的應用，完全平方公式的運算：（1）根據“完美數”的定義分別進行判斷即可；（2）利用配方法進行轉化，然后求得對應字母的值；（3）利用配方法和非負數的性質求得最小值；仔細閱讀材料，理解新定義含義，把算式靈活配方是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴29是“完美數”，∵，∴13是“完美數”，故答案為：①③；（2）①當時，為“完美數”，理由如下：，當時完全平方數時，即，即時，是“完美數”；②∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為．3．定義：多項式A，B，C，如果滿足，m為常數時，則稱多項式A，B，C為一組和諧多項式．其中m是該組和諧多項式的和諧果．例如：對于多項式，，，因為，所以多項式，，是一組和諧多項式，4是該組和諧多項式的和諧果．(1)判斷多項式，，是否為一組和諧多項式？若是，請求出該組和諧多項式的和諧果；若不是，請說明理由；(2)多項式，，（a，b，c是常數）是一組和諧多項式，求a，b，c之間的數量關系；(3)多項式，，（d，e是常數）是一組和諧多項式，請直接寫出該組和諧多項式的和諧果m的值．【答案】(1)多項式，，是一組和諧多項式，和諧果為；(2)；(3)9【分析】本題考查了新定義，整式的混合運算的應用，理解題意，熟練計算是解題的關鍵．（1）根據和諧多項式的概念，計算即可驗證；（2）根據和諧多項式的概念，列式，可得結果中和的系數都為０，即可解答；（3）根據和諧多項式的概念，列式，可得結果中和的系數都為０，即可解答；【詳解】（1）解：，，，故多項式，，是一組和諧多項式，和諧果為（2）解：，，多項式，，（a，b，c是常數）是一組和諧多項式，；（3）解：多項式，，（d，e是常數）是一組和諧多項式，，解得，．難點強化十、配方法求最值1．教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式；例如求代數式的最小值．．可知當時，有最小值，最小值是，根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)當x為何值時，多項式有最小值，并求出這個最小值．(3)當，時，多項式有最小值，最小值是．【答案】(1)(2)當時，有最小值，最小值是(3)，5【分析】本題考查了因式分解的應用，非負數的性質，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．（1）根據材料用配方法分解因式即可；（2）根據材料用配方法求出最小值即可；（3）對多項式利用配方法求出最小值即可．【詳解】（1）解：，（2）解：，當時，有最小值，最小值是．（3）解：當時，有最小值，最小值是5．2．在學習用乘法公式時，我們知道把多項式及叫做“完全平方式”．周老師布置了一道思維拓展題：代數式有最大值還是最小值？并求出這個最值．小宸的解題步驟如下：∴當時，數式的最小值是4，此時小宸的解法及結果得到了周老師的肯定，請根據上述內容完成以下問題：(1)若是一個完全平方式，則k的值等于；(2)求代數式的最小值，并求此時x的值；(3)對于任意實數x、y，若多項式的最小值為2，求m的值．【答案】(1)4(2)最小值為2，此時(3)【分析】本題考查的是利用完全平方式的特點及其非負性求解代數式的最值，掌握利用完全平方式的特點把代數式變形是解本題的關鍵．（1）根據完全平方公式的特點解答即可；（2）根據題目提供的方法配方成完全平方公式，然后根據偶次方的非負性即可得答案．（3）根據題目提供的方法配方成完全平方公式，根據偶次方的非負性幾何多項式的最小值為2，解方程即可得答案．【詳解】（1）解：，∵是一個完全平方式，∴，故答案為：4；（2）當時，代數式有最小值是2，此時；（3）依題意得，．3．閱讀與思考：我們把多項式及叫做完全平方公式．如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值．例如：求代數式的最小值．，可知當時，有最小值，最小值是．再例如：求代數式的最大值．．可知當時，有最大值．最大值是．【直接應用】（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：；（2）代數式的最小值為；【類比應用】（3）試判斷代數式與的大小，并說明理由；【知識遷移】（4）如圖，學校打算用長16米的籬笆圍一個長方形的生物園飼養小兔，生物園的