試題試題2024北京四中高三（上）開學考數學（試卷滿分為100分，考試時間為90分鐘）一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）1.已知集合，．若，則實數a的取值范圍是（）A. B.C.且 D.且2.若復數是純虛數，則實數（）A.1 B. C.2 D.3.已知，，，那么（）A. B. C. D.4.函數的圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.5.已知冪函數滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.-26.已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，，，則的值為（）A.30 B.10 C.9 D.67.在下列函數中，導函數值不可能取到1的是（）A. B. C. D.8.已知．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形10.已知是函數的極小值點，那么實數的取值范圍是（）A. B. C. D.11.已知函數fx=tsinωx+cosωxt>0,ω>0的最小正周期為，最大值為A.關于直線對稱 B.關于點對稱C.關于直線對稱 D.關于點對稱12.已知等比數列的前n項和為，若存在實數，使得，則以下結論不正確的是（）A. B.數列的公比為C. D.數列可能為常數列13.某教學軟件在剛發布時有100名教師用戶，發布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數與天數之間滿足關系式：，其中為常數，是剛發布時的教師用戶人數，則教師用戶超過20000名至少經過的天數為（）（參考數據：）A.9 B.10 C.11 D.1214.已知函數，有如下3個結論：①當時，在區間上單調遞減；②當時，有兩個極值點；③當時，有最大值.其中，正確結論的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15.已知，則關于的不等式的解集是________．16.在平面直角坐標系中，角以為始邊，且終邊經過點，則________.17.若，則________.18.寫出一個同時具有下列性質的函數________.①函數是偶函數；②當時，單調遞減.19.已知為偶函數，當時，（1）_________；（2）不等式的解集為________.20.設數列的前項和為，若對任意的正整數，總存在正整數，使得.給出如下4個結論：①可能為等差數列；②可能為等比數列；③均能寫成的兩項之差；④對任意，總存在，使得.其中正確命題的序號是_________.三、解答題（本大題共2小題，共28分）21.已知是等差數列，其前項和為，，.（1）求數列的通項公式及；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數列的前項和.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若的極大值為，求的值；（3）當時，若，，使得，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）1.【答案】D【分析】根據并集結果可知，進而可構造不等式，解不等式求得結果.【詳解】解：，，且，，，解得：且的取值范圍為且故選：D2.【答案】B【分析】根據復數的除法和復數的分類即可得到方程，解出即可.【詳解】，因為其為純虛數，則且，解得.故選：B.3.【答案】D【分析】根據指數函數及對數函數的單調性得出指數式及對數式與的大小關系即可.【詳解】因為，所以0<a<1，又因為b=e2>1所以.故選：D.4.【答案】B【分析】依題意可得，再根據冪函數的性質及函數平移規則得解；【詳解】因為，由向上平移一個單位得到，又關于對稱，所以關于對稱；故選：B5.【答案】B【分析】設，代入條件，推出，利用冪的運算性質計算所求式即得.【詳解】依題意設，由可得：，則.故選：B.6.【答案】B【分析】根據等比中項可得，對根據等比數列的定義和通項公式可得，運算求解即可得答案.【詳解】為正數的等比數列，則，可得，∵，∴，又∵，則，可得，∴，解得，故.故選：B.7.【答案】D【分析】分別對各選項中函數求導，由導函數值等于時，判斷能否求出對應的的值，即可確定.【詳解】對于A，，令，得，即A選項導函數值可以取到1；對于B，，令，得，，即B選項導函數值可以取到1；對于C，，令，得，由于1ln2>1，所以，即C選項導函數值可以取到

對于D，，令，則，不存在使其成立，即D選項導函數值不可能取到1，故選：D.8.【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】當時，則，當且僅當時取等，所以充分性成立，取，滿足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9.【答案】D【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡得，當時，即，則為直角三角形；當時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.10.【答案】A【分析】求得，令，得到或，結合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數，可得，令，即，解得或，要使得是函數的極小值點，則滿足，解得，所以實數的取值范圍是.故選：A.11.【答案】C【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據周期性求出，根據最值求出，再根據正弦函數的對稱性逐一判斷即可.【詳解】，其中，因為函數的最小正周期為，所以，解得，因為函數的最大值為，所以，解得（舍去），所以，因為，所以函數圖象不關于直線對稱，也不關于點對稱，故AB錯誤；因為，所以函數圖象關于直線對稱，不關于點對稱，故C正確，D錯誤.故選：C.12.【答案】D【分析】設出等比數列的公比為，分和兩種情形，分別表示出，并與比較對照，分別用和表示出，然后逐一分析判斷各選項即可.【詳解】設等比數列的公比為，若，則，此時是關于的一次函數，數列為常數列，而不是關于的一次函數，故不可能為常數列，故D錯誤；對于B，因，則，又，故得：，故B正確；對于A，，故A正確；對于C，因，故C正確.故選：D.13.【答案】D【分析】根據已知條件求得，結合及指對數關系、對數運算性質求解集，即可得結果.【詳解】由題設，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過20000名至少經過12天.故選：D14.【答案】C【分析】①求出函數的導數，根據已知求得，即可求得說法正確；②根據已知將問題轉化為兩個函數與的圖象交點問題，作出圖象，求得兩個圖象有兩個交點，從而求得有兩個極值點，則說法正確；③結合圖象，時，可求得，則單增無最大值，故說法錯誤.【詳解】，，對于①，因為，所以，當時，，則在區間上單調遞減，所以①正確.對于②，令，得，令，，當g'x=1?xex>0所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當，，又當趨近于時，趨近于，，當趨近于時，趨近于0，所以可作出函數的大致圖象如圖所示，

由圖可知，當時，直線與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根，當或時，，

當時，，則在和上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，是函數的極小值點，故有兩個極值點，所以②正確.對于③，當時，，即恒成立，則函數在上單調遞增，所以函數無最大值，所以③錯誤.則說法正確的個數為，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題②的關鍵在于求導后分離參數，再次構造函數求導分析單調性和最值.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15.【答案】【分析】關于的不等式等價于，結合的范圍，比較根的大小，即可得結果.【詳解】關于的不等式等價于，由，得，所以不等式的解集為.故答案為：..16.【答案】##【詳解】∵角的終邊經過點，則，，故答案為：.17.【答案】1【分析】利用復數的四則運算，結合復數相等的性質得到關于的方程組，解之即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，解得.故答案為：1.18.【答案】【分析】據性質①可得知函數的對稱軸為直線，結合性質②可得一個以直線為對稱軸且開口向下的二次函數.【詳解】①函數是偶函數，則圖像關于軸對稱，故函數對稱軸為直線，②當時，單調遞減，結合這兩點性質可得到函數滿足對稱軸為，以及在區間上單調遞減即可，是開口向下的二次函數，滿足以上條件.故答案為：.19.【答案】①.##0.75②.【分析】根據題中所給的分段函數解析式，先求出值，結合其單調性得到其范圍，結合偶函數的性質得到結果.【詳解】由題意可知.當時，，解或，則，當，，解，則，故當，則，由是偶函數，當時，，則由，則或解得或故答案為：；20.【答案】①③【分析】對于①，取判定；對于②，當的公比時，不存在正整數，當時，即無有理數根判定；對于③，根據判定；對于④取數列，顯然不存在，使得，判定即可.【詳解】對于①，取等差數列，易驗證其滿足要求，①正確.對于②，若為等比數列，設公比為，顯然不滿足要求，考慮的情況，依題意，應有，即，兩式相除，得.若，則取為奇數，那么，所以，所以.當足夠大時，顯然不成立；若，則，因為，所以當足夠大時，可以使，故也不成立.從而知②錯誤；對于選項③，取，則，所以，當時，，故③正確.對于選項④，取數列，顯然不存在，使得，故④錯誤.故答案為：①③三、解答題（本大題共2小題，共28分）21.【答案】（1），（2）若選①：；若選②：；若選③：【分析】（1）根據等差數列的通項公式和求和公式即可求解；（2）根據等比數列求和公式、分組求和方法、乘公比錯位相減法即可分別求解.【小問1詳解】設數列{an}的公差為.，，，所以，所以.【小問2詳解】若選①：，；若選②：，.若選③：，.22.【答案】（1）（2）2（3）【分析】（1）利用導數的幾何意義即可求解切線方程；（2）對函數求導后，由，得或，然后分，和三種情況討論導數的正負，得到函數的單調區間和極值，使極大值為可求出；（3）將問題轉化為在上的值域是在的值域的子集，由（2）知函數在和上單調遞增，在上單調遞減，然后分，和三種情況討論即可.【小問1詳解】由，可得，則切線的斜率，又，則切點為，故切線方程為；【小問2詳解】由，因，令，可得或.①當，即時，由f'x>0，可得或；由f'x<0，可得故函數在和上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值為，不合題意；②當，即時，f'x≥0，即函數在上單調遞增，無極大值；③當，即時，由f'x>0，可得或；由f'x<0，可得故函數在和上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值為，解得，符合題意.綜上所述，；【小問3詳解】由題意可知，當時，在上的值域是在上的值域的子集.由（2）已知，函數在和上單調遞增，在上單調遞減，且當時，