試題試題2024北京延慶高三9月月考數學2024.09本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知全集，集合，則（A）（B）（C）（D）（2）在復平面內，復數對應的點的坐標是，且滿足，則（A）（B）（C）（D）（3）下列函數中，是奇函數且在定義域內是減函數的是（A）（B）（C）（D）（4）若，則一定有（A）（B）（C）（D）（5）若，則（A）（B）（C）（D）（6）已知函數，則（A）圖象關于軸對稱，且在上是增函數（B）圖象關于軸對稱，且在上是減函數（C）圖象關于原點對稱，且在上是增函數（D）圖象關于原點對稱，且在上是減函數（7）已知函數，則不等式的解集是（A）（B）（C）（D）（8）設已知數列中，，，，則下列結論錯誤的是（A）（B）（C）是等比數列（D）（9）設函數的定義域為，則“”是“在區間內有且僅有一個零點”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（10）在中，，當時，的最小值為．若，，其中，則的最大值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數的定義域是_________．（12）把函數的圖象上各點的橫坐標擴大到原來的倍，得到的圖象對應的函數解析式是_________．（13）已知函數在存在最小值，則滿足題意的_________．（14）若函數存在最小值，則的一個取值為_________；的最大值為_________．（15）函數的圖象可以近似表示某音叉的聲音圖象.給出下列四個結論：=1\*GB3①是函數的一個周期；=2\*GB3②的圖象關于直線對稱；=3\*GB3③的圖象關于點對稱；=4\*GB3④在上單調遞增.其中所有正確結論的序號是_________．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（16）（本小題13分）已知是各項均為正數的等比數列，，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和，并求的最大值．（17）（本小題14分）已知函數，再從條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②、條件=3\*GB3③中選擇一個作為已知，（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）當時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.條件=1\*GB3①：函數的圖象經過點；條件=2\*GB3②：函數的圖象可由函數的圖象平移得到；條件=3\*GB3③：函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.注：如果選擇條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②和條件=3\*GB3③分別解答，按第一個解答計分.（18）（本小題14分）已知函數.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區間上的最小值.

（19）（本小題14分）為弘揚中華優秀傳統文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區組織開展了中華優秀傳統文化知識競答活動，該活動有單人賽和賽，每人只能參加其中的一項.據統計，中小學生參與該項知識競答活動的人數共計4.8萬，其中獲獎學生情況統計如下：獎項組別單人賽賽獲獎一等獎二等獎三等獎中學組4040120100小學組3258210100（Ⅰ）從獲獎學生中隨機抽取人，若已知抽到的學生獲得一等獎，求抽到的學生來自中學組的概率；（Ⅱ）從中學組和小學組獲獎者中各隨機抽取人，以表示這人中賽獲獎的人數，求的分布列和數學期望；（Ⅲ）從獲獎學生中隨機抽取人，設這人中來自中學組的人數為，來自小學組的人數為，試判斷與的大小關系.（結論不要求證明）（20）（本小題15分）已知函數．（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若，證明：．（21）（本小題15分）已知數列，為從到互不相同的整數的一個排列，設集合,中元素的最大值記為,最小值記為.（Ⅰ）若數列為:,且，寫出的值；（Ⅱ）若，求的最大值及的最小值；（Ⅲ）若，試求的最小值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D（2）A（3）B（4）C（5）B（6）D（7）A（8）D（9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）且（12）（13）（14）（第一空不唯一，區間上任意值都可以）（注：第一空2分，第二空3分）（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④（注：對一個2分，對2個4分，對3個5分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）(本小題13分)解：（Ⅰ）設的公比為，因為，所以．………2分解得（舍去）或．………4分因此的通項公式為．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，………7分當時，，………8分故是首項為，公差為的單調遞減等差數列.………9分則.………10分又，所以數列的前項為正數，所以當或時，取得最大值，且最大值為．………13分（17）(本小題14分)（Ⅰ）．………2分選條件=1\*GB3①：函數的圖象經過點.………3分則．即．………5分所以．………6分因為，所以.………7分所以.………8分條件=2\*GB3②：函數的圖象可由函數的圖象平移得到.…3分因為函數的圖象可由函數的圖象平移得到，所以函數的周期與函數的周期相同.因為函數的周期，所以函數的周期.………6分則，即．………7分所以.………8分選條件=3\*GB3③：函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為.……3分因為函數的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，所以函數的周期.………6分則，即．………7分所以.………8分（Ⅱ）因為關于的不等式，所以在的最大值不大于即可．因為，所以.所以.………11分所以，即.當且僅當，即時，取得最大值.……13分所以.………14分所以實數的取值范圍為.（18）(本小題14分)（Ⅰ）由題意得，，所以，………2分又，………3分所以曲線在點處的切線方程為，即；………5分（Ⅱ）因為，因為和均在區間因為上單調遞減，所以在區間上單調遞減，因為，………6分，………7分所以在上有且只有一個零點，記為，………8分所以時，；………9分時，，………10分所以在區間上單調遞增，………11分在區間上單調遞減.………12分因為，………13分所以在區間上的最小值為.………14分注：學生如果用其他方法，按步驟給分（19）（本小題14分）（Ⅰ）方法一：從表格中可知：獲獎學生總數為：人，獲得一等獎的人，記事件為“從獲獎學生中隨機抽取人，抽到的學生獲得一等獎”，則,記事件為“從獲獎學生中隨機抽取人，抽到的學生來自中學組”，則為“從獲獎學生中隨機抽取人，抽到的學生獲得一等獎且來自中學組”，，因此.………4分從獲獎學生中隨機抽取人，若獲得一等獎，抽到的學生來自中學組的概率為.注：學生如果用其他方法，按步驟給分（Ⅱ）X的取值范圍是.記事件為“從中學組獲獎者中取人，該人是賽獲獎”，事件為“從小學組獲獎者中取人，該人是賽獲獎”，中學組獲獎者有，其中賽獲獎的人數為，小學組獲獎者有，其中賽獲獎的人數為，,;,.………6分由題意知，事件相互獨立，所以;………7分;………8分.………9分所以的分布列為:012的數學期望.………11分（Ⅲ）.………14分（20）（本小題15分）（Ⅰ）的定義域為．………1分由得．………2分令得．………3分因為，所以當時，；當時，．所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．………5分（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設，則．………6分令，得（舍），．當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減．故．………8分又由得．所以．依題意需，即．設，則易知在為增函數．………10分又，所以對任意的，有；對任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．………11分（Ⅲ）由得，且,．………12分由（Ⅱ）知，當時，，當且僅當時取等號．………13分所以，．………14分兩式相加得，即．………15分故．注：學生如果用其他方法，按步驟給分（21）(本小題15分）（Ⅰ），.………4分（Ⅱ）最小值為6，的最大值6063.證明：對于1，2，…，2021，2022