5/5反比例函數(shù)k的幾何含義學(xué)習(xí)目標：1.通過探究活動，理解反比例函數(shù)的幾何含義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；2.通過對k的幾何含義的變式練習(xí)，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)習(xí)過程：一、情景引入：你喜歡數(shù)學(xué)嗎？數(shù)學(xué)本身是很有趣的，可以說，數(shù)學(xué)如此有趣，引無數(shù)英雄競折腰！圖片上這位老先生，就非常喜歡數(shù)學(xué)，初中畢業(yè)后，應(yīng)家境困難沒能繼續(xù)學(xué)業(yè)，但他自學(xué)了高中大學(xué)的全部課程，后來成了清華大學(xué)數(shù)學(xué)系的主任，是享譽中外的著名數(shù)學(xué)家.更難能可貴的是，他把自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識推廣應(yīng)用到生產(chǎn)生活的方方面面，為我們國家國計民生的發(fā)展做出了突出貢獻，被稱為人民數(shù)學(xué)家.他就是華羅庚！他不僅數(shù)學(xué)學(xué)的好，語文學(xué)的也很好.（附：數(shù)與形本是相倚依焉能分作兩邊飛數(shù)缺形時少直觀形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好隔離分家萬事休切莫忘幾何代數(shù)統(tǒng)一體永遠聯(lián)系莫分離）寫得多好啊，尤其是這兩句，數(shù)缺形時少直觀形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好隔離分家萬事休.堪稱為經(jīng)典，說明數(shù)形結(jié)合的重大意義.為了發(fā)展同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的意識，教材中很多有關(guān)幾何含義的內(nèi)容，比如相反數(shù)、絕對值、平方差公式等都有幾何含義，這節(jié)課我?guī)е蠹襾硌芯恳幌路幢壤瘮?shù)K的幾何含義.設(shè)計意圖：通過對華羅庚的介紹，一是滲透數(shù)學(xué)文化，二是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，三是讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的價值，引出本節(jié)課的課題.二、知識回顧：1.反比例函數(shù)的表達式是什么？表達式：（x≠0）xy=k（k≠0）（k≠0）.2.反比例函數(shù)的圖像有那些性質(zhì)？（1）當k>0時，圖像位于一、三象限，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小；（2）當k<0時，圖像位于二、四象限，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大；設(shè)計意圖：為接下來對k的幾何含義的探究奠定知識基礎(chǔ).三、探究引領(lǐng)探究問題1已知點P（m，n）是反比例函數(shù)圖像上任意一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，設(shè)其與坐標軸圍成的矩形面積為S，請?zhí)骄縎與k有何數(shù)量關(guān)系？從數(shù)學(xué)思想方法的角度思考，應(yīng)如何研究這個問題？（數(shù)形結(jié)合、分類討論）可以分幾種情況研究？（共四種情況）（1）如圖所示，當K>0，點P（m，n）在第一象限時，請問S與k有何數(shù)量關(guān)系呢？為什么？S=PA·PB=mn=k（2）類比（1），請說出當點P在其它象限時S與k的數(shù)量關(guān)系并說明理由.當點P在第一象限時，S=PA·PB=-m·n=k當點P在第二象限時，S=PA·PB=m·n=m=-k當點P在第三象限時，S=PA·PB=-m·（-n）=mn=k當點P在第四象限時，S=PA·PB=m·（-n）=-mn=-k（3）在每一象限中，S與k的數(shù)量關(guān)系與點P所處的具體位置有關(guān)嗎？為什么？能否用一個統(tǒng)一的式子表示S與k的關(guān)系？怎么表示？反比例函數(shù)K的幾何含義：過雙曲線y=（k≠0）上任意一點作x軸、y軸的垂線，與坐標軸圍成的矩形面積S為定值，且.過雙曲線上任意一點作x軸（或y軸）的垂線，所得直角三角形的面積S為定值，且.設(shè)計意圖：通過較為開放的問題設(shè)計，學(xué)生思維有發(fā)散的空間，使學(xué)生意識到研究幾何問題應(yīng)注意畫圖，因圖形不唯一，必然引出分類討論；然后通過層層遞進的三個問題串，使學(xué)生準確理解K的幾何含義.（之所以要對k加絕對值符號，其實質(zhì)是由絕對值的定義決定的）探究反思：幾何含義的探究其本質(zhì)是把雙曲線上點的坐標轉(zhuǎn)化成矩形的長或?qū)挘捎诓煌笙薜狞c其坐標有正有負，而邊長一定是非負數(shù)，所以由K表示矩形（或直角三角形）面積時應(yīng)加絕對值符號，但反過來，由基本圖形面積求k時，應(yīng)依據(jù)點所在的象限，確定k的符號.探究問題2：（1）結(jié)合k的幾何含義，想一想，下述三角形PAB或四邊形AMPQ的面積與k有沒有關(guān)系？（2）結(jié)合k的幾何含義，想一想，下述三角形ABC或四邊形ABCD的面積與k有沒有關(guān)系？設(shè)計意圖：通過學(xué)習(xí)小組內(nèi)的探討交流，使學(xué)生意識到如上一些圖形都可通過添加輔助線轉(zhuǎn)化成有關(guān)幾何含義的基本圖形，一方面使學(xué)生體會到k的幾何含義的運用，另一方面，也使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思考的靈活性，以及轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法的價值所在.探究反思：通過老師的總結(jié)引導(dǎo)，使學(xué)生進一步理解幾何含義的靈活運用，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法四、訓(xùn)練達成1.如圖，P是反比例函數(shù)圖像上一點，若圖中陰影部分的矩形面積是2，則這個反比例函數(shù)的解析式為.2.點P是反比例函數(shù)圖像上的一點，且PD⊥x軸于D.如果△POD面積為3，則這個反比例函數(shù)的解析式為.3.點A、B是雙曲線上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若S3=1，則S1+S2=.4.如圖，點C在雙曲線上，點B在雙曲線上，且AB∥x軸，BC∥y軸，A、D在y軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積是.5.如圖，A是反比例函數(shù)圖像上一點，過點A作ABx軸于點B，點P在y軸上，△ABP的面積為1，則k的值為.6.如圖，直線x=2與反比例函數(shù)和的圖像分別交于A、B兩點，若點P是y軸上任意一點，則△PAB的面積是.7.如圖，已知雙曲線（x>0）經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2，求反比例函數(shù)的關(guān)系式.8.如圖，已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)y=kx+4的圖像相交于P、Q兩點，且P點的縱坐標是6.（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求三角形POQ的面積.設(shè)計意圖：通過小組合作討論、展示，達到學(xué)生對反比例函數(shù)k的幾何含義理解并靈活運用的目的.具體說，第1、2題，由基本圖形面積求k時應(yīng)注意點所在的象限或分類討論；第3、4題要具有直接用基本圖形解題的意識，第5、6題通過添加輔助線轉(zhuǎn)化成基本圖形，有轉(zhuǎn)化的意識，第7題使學(xué)生意識到幾