高二數學試卷一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，將集合化簡，然后結合交集的運算即可得到結果.詳解】，而，故，故選：B．2.已知兩個非零向量與的夾角為，我們把數量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（）A. B.10 C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據向量的坐標求以及，再代入叉乘公式，即可求解.【詳解】若向量，，則，，則，.故選：B3.已知函數，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求導，代入求值即可.【詳解】，故.故選：B4.下圖為抗戰勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區，是抗戰勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰爭勝利的紀念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點A處測得其頂點P的仰角為45°、點B處測得其頂點P的仰角為30°，若米，且，則解放碑的高度為（）A.米 B.55米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】設，由直角三角形中三角函數定義可得，再在中利用余弦定理可解.【詳解】設，由已知，，，，則，又，在中：，則解得或（舍去），所以解放碑的高度為米.故選：A.5.已知函數是定義在上的減函數，且為奇函數，對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設，把轉化成，再結合函數奇偶性，把不等式轉化成，再結合的單調性，得到，分離參數，根據二次函數的性質，可求實數的取值范圍.【詳解】令，則，由，可得，即，.因為是定義在上的減函數，所以也是定義在上的減函數，故，即.因為，所以，即實數的取值范圍是.故選：B6.若對任意正實數都有，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】運用分離參數求最值，即將原不等式化為，再構造函數（），求其最大值，進而求得結果.【詳解】化簡不等式可得，即：，令（），則對任意的，，所以，設，，則，令，所以，所以在上單調遞減，又因為，所以，，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，解得：，即：的取值范圍為.故選：A.7.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是上的動點（點不與、及的中點重合），矩形內接于扇形，且．，設矩形的面積與的關系為，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出，并求出函數，再利用三角恒等變換，正弦函數性質求出最大值.【詳解】依題意，在中，，由正弦定理得，即，，而，因此當，即時，.故選：A【點睛】思路點睛：幾何圖形中的面積最值問題，解題關鍵是借助正余弦定理及三角形面積公式求出角的函數，結合三角恒等變換和三角函數性質求出最值.8.已知函數，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設切點為，由導數的幾何意義求出切線方程，可把、用表示，從而可表示為關于的函數，再引入新函數，由導數求得函數的值域即得．【詳解】設切點為，，曲線在切點處的切線方程為，整理得，所以．令，則．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．故，則的取值范圍是．故選：C.二、多選題9.在復平面內，復數對應點滿足.點與關于軸對稱.則復數為（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據復數的模運算公式可求出，進而求出點的坐標，根據與關于軸對稱，可求出點的坐標，再根據復數的幾何意義，即可求出結果.【詳解】由于復數對應點滿足所以，所以，或又點與關于軸對稱，所以點或所以復數為或.故選：CD.10.在棱長為正方體中，點是線段上的動點，則下列判斷正確的是（）A.無論點在線段的什么位置，三棱錐的體積為定值B.無論點在線段的什么位置，都有C.當時，與異面D.若直線與平面所成的角為，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，其中.利用錐體的體積公式可判斷A選項；利用空間向量法可判斷B選項；利用共線向量的坐標表示可判斷C選項；利用線面角的定義結合同角三角函數的基本關系可判斷D選項.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，其中.對于A選項，因為平面平面，平面，平面，，故點到平面的距離等于點到平面的距離，即為，，因此，，A錯；對于B選項，，，則，故，B對；對于C選項，，，若，則，無解，故與不可能平行，若，設點，，，因為，則，則，，，因為，則，解得.所以，當時，即當時，與異面，C對；對于D選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，點到平面的距離為，由已知可得，當取最小值時，取最大值，此時取最大值，且，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，故的最大值為，D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.11.通過等式（，）我們可以得到很多函數模型，例如將a視為自變量x，b視為常數，那么c就是a（即x）的函數，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數模型．若令，（e是自然對數的底數），將a視為自變量x（，），則b為x的函數，記為，下列關于函數的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數m的值為0【答案】ACD【解析】【分析】先根據題意得出的解析式，根據計算易于判斷A，B兩項，對于C項，可根據已知推出，結合基本不等式判斷；對于D項，則需要等價轉化，運用參變分離法，分區間討論得出的范圍進行判斷.【詳解】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結合可知，則，故，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D，當時，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設，由于在上單調遞減，故，則，故；當時，，結合題意可知得恒成立，即恒成立，此時令，同理可得，由于在上單調遞增，在上單調遞減，故，則，故，綜合上述可知m值為0，D正確，故選：ACD三、填空題12.2024年10月21日，第52個梅森素數被發現，這也是迄今為止發現的最大素數.集合以這52個梅森素數為元素，其非空真子集有________個.【答案】【解析】【分析】根據集合中元素的個數為，則該集合的非空真子集個數為求解即可.【詳解】因為集合中有52個元素，所以集合的非空真子集的個數為.故答案為：.13.如圖，四邊形的頂點都在圓上，且經過圓的圓心，若圓的半徑為，，四邊形的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】連接、，即可得到，再由、面積公式及三角恒等變換公式得到，從而求出，即可得解.【詳解】連接、，因為圓的半徑為，，則是等邊三角形，所以，四邊形的面積，解得.因為，所以，則，所以是等邊三角形，所以.故答案為：14.設函數，若恰有個零點，.則下述結論中:①若恒成立，則的值有且僅有個；②在上單調遞增；③存在和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個解”的必要條件.所有正確結論的編號是______________；【答案】①③④【解析】【分析】根據條件畫出的圖像，結合圖像和逐一判斷即可.【詳解】恰有個零點，，，函數的圖像如圖：①如圖，即有兩個交點，正確；②結合右圖，且當時，在遞增，錯誤；③，，，存在為最小值，為最大值，正確；④結合右圖，若方程在內恰有五個解，需滿足，即，同時結合左圖，當，不一定有五個解，正確.故答案為：①③④.【點睛】本題考查了三角函數的圖像和性質，考查了數形結合思想和分類討論思想，屬于難題.四、解答題15.已知函數．（1）求的最小正周期和單調增區間；（2）若函數在存在零點，求實數a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡函數，結合三角函數的圖象與性質，即可求解；（2）根據題意轉化為方程在上有解，以為整體，結合正弦函數圖象運算求解.小問1詳解】對于函數，所以函數的最小正周期為，令，則，∴函數的單調遞增區間為.【小問2詳解】令，即，則，∵在存在零點，則方程在上有解，若時，則，可得，∴，得故實數的取值范圍是．16.已知復數，其中，為虛數單位.（1）若為純虛數，求的值；（2）定義，是否存在，使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）根據為純虛數列式，由此求得值.（2）根據復數能比較大小列不等式組，由此求得的值.【詳解】（1）由于為純虛數，所以.（2）依題意，即，，，，所以，解得.17.某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點，當凹多邊形的面積最大時制冷效果最好．（1）設米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；（2）若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬?【答案】（1）（2）長為米，寬為米時，制冷效果最好【解析】【分析】（1）根據可得，由勾股定理可得的關系，再根據可得x的取值范圍；（2）設的面積為，計算可得，利用導函數判斷單調性可得何時取最大值.【小問1詳解】由題意，，．因，故．設，則．因△ADP≌△CB'P，故．由，得．【小問2詳解】記凹多邊形的面積為S，則求導得，當時，；當時，．故函數S在上遞增，在上遞減．所以當時，S取得最大值．故當薄板長為米，寬為米時，制冷效果最好．18.已知數列為等差數列，，且數列是公比為2的等比數列，.（1）求，的通項公式；（2）若數列滿足，將中的項按原有順序依次插入到數列中，使與之間插入2項，形成新數列，求此新數列前面20項的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據條件先求解出的公差，則的通項公式可求；將的通項公式求出，則的通項公式可知；（2）先分析前項的組成情況，然后采用分組求和求得結果.【小問1詳解】設的公差為，所以，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】將及其后中的兩項看成一組，故需要組再加上第組的前兩項，所以.19.布洛卡點是三角形內部的一特殊的點，由法國數學家亨利·布洛卡于19世紀提出，它通過等角條件聯系三角形邊與頂點，其角度和位置揭示了三角形的對稱性與比例特性，是經典幾何學中兼具美學與實用價值的點．其定義如下：設P是內一點，若，則稱點P為△ABC的布洛卡點，角θ為△ABC的布洛卡角．如圖，在△ABC中，記它的三個內角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，點P為△ABC的布洛卡點，其布洛卡角為θ，請完成以下各題：（1）若，且，求A和；（2）若求的值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）根據題意可得，則，即，又，可得，，再在中