第三章直線的方程知識梳理1、求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關系1．由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．2．由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．5、求直線的點斜式方程的方法步驟(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．6、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單，而且特點明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數的圖象問題時，常通過把一次函數解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進行判斷．7、求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數字的順序錯位而導致錯誤．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應關系．8、截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數法確定其系數即可．(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．9、求直線一般式方程的策略(1)當A≠0時，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉化為一般式．10、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗根．11、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時兩直線與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注：若已知含參數的兩條直線平行或垂直，求參數的值時，要注意討論斜率是否存在，若是平行關系注意考慮b1≠b2這個條件．12、利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.13、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.14、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟15、兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．16、過兩條直線交點的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點，則過l1與l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數，不包括直線l2)，設出方程后再利用其他條件求解．17、計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．18、解決過定點問題常用的三種方法(1)特殊值法，給方程中的參數取兩個特殊值，可得關于x，y的兩個方程，從中解出的x，y的值即為所求定點的坐標．(2)點斜式法，將含參數的直線方程寫成點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)．(3)分離參數法，將含參數的直線方程整理為過交點的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，則該方程表示的直線必過直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點，而此交點就是定點．比較這三種方法可知，方法一計算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡便因而也最常用．19、應用點到直線的距離公式應注意的三個問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式．(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數形結合求解．20、求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉化法：將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距為點線距來求．(2)公式法：設直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).21、中心對稱問題的兩種類型及求解方法(1)點關于點對稱：若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進而求解．(2)直線關于點的對稱，主要求解方法是：①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．22、軸對稱問題的兩種類型及求解方法(1)點關于直線的對稱：①若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．（關鍵詞：垂直、平分）設點P(x0，y0)關于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.②若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則，故可設的方程為，代入，即可求出m，聯(lián)立直線和的方程，求出兩條直線的交點，即為中點，進一步利用中點坐標公式求的坐標(2)直線關于直線的對稱：①若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關于軸的對稱點，然后用點斜式求解．②若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關于軸的對稱點，最后由兩點式求解．考點一直線的傾斜角與斜率1．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）經過兩點，的直線的傾斜角是鈍角，則實數m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于0，列不等式解實數m的范圍【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．故選：D．2．（2022秋·上海普陀·高二曹楊二中校考期末）已知直線，，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得直線的斜率，設直線的傾斜角為，則有，，再根據正切函數的性質即可求得答案.【詳解】解：因為直線，，所以直線的斜率，所以，設直線的傾斜角為，則有，又因為，所以.故答案為：3．（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）設直線的傾斜角分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據直線方程分別求解每條直線斜率，然后根據斜率判斷傾斜角的范圍，根據范圍比較大小即可.【詳解】，，即，；，，即，；為垂直于軸的直線，.綜上所述可得：.故選：D4．（2022秋·黑龍江綏化·高二校考期末）直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于，試求和的值．【答案】或．【分析】利用斜率和傾斜角的關系得到，再利用三角形的面積公式求出，求解即可．【詳解】解：設直線的傾斜角為，則，直線的傾斜角是，，即，令，則，令，則，直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于，，即

，由解得或．5．（2022春·上海松江·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線的夾角為，則實數的值為_________.【答案】或【分析】結合傾斜角與斜率、兩角和與差的正切公式求得正確答案.【詳解】設直線的傾斜角為、直線的傾斜角為，由于的斜率為，即，所以，由于直線與直線的夾角為，所以直線的傾斜角不是，斜率存在，且斜率為.所以，解得，或，解得.所以實數的值為或.故答案為：或6．（2022秋·廣西桂林·高二校考期中）圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據直線斜率的概念，結合圖象，可直接得出結果.【詳解】由圖象可得，，故選：C7．（2022秋·遼寧鞍山·高二鞍山一中校考期中）直線的傾斜角為，斜率為．若的取值范圍是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據斜率與傾斜角的范圍，結合已知確定的范圍.【詳解】由題設且，故.故選：D8．（2022秋·江蘇連云港·高二校考期末）設，為實數，已知直線的斜率，且，，是這條直線上的三個點，則（

）A．4 B．3 C． D．1【答案】D【分析】由已知，，是斜率直線上的三個點，進而結合斜率公式，由，得到關于，的方程，解方程即可得答案.【詳解】因為，，是斜率直線上的三個點，則，所以，解得，．則1．故選：D.9．（2022秋·江蘇常州·高二常州市第三中學校考期末）已知點.若直線與線段相交，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出直線恒過定點，然后畫圖觀察直線的變化時斜率的變化，再求的斜率，所以得答案.【詳解】即，又因為，所以直線恒過定點，畫圖得直線要想與線段有交點，就需要繞著點，從直線開始逆時針旋轉到直線，則，所以直線斜率故選：A考點二兩條直線的平行和垂直10．【多選】（2022秋·吉林·高二統(tǒng)考期中）已知兩條不重合的直線，，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據直線的位置關系與斜率關系即可判斷.【詳解】對A，若，則，故A正確；對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；對C，若，則與不垂直，故C錯誤；對D，若，則，故D正確.故選：ABD.11．（2022秋·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考期中）已知直線，的斜率是方程的兩個根，則（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．與的位置關系不確定【答案】C【分析】設直線的斜率為，直線的斜率為，根據判別式以及韋達定理可得到結果.【詳解】設直線的斜率分別為，因為，所以方程有兩個不相等的實數根，所以與相交．又，所以與不垂直．故選：C12．（2022秋·福建福州·高二校考期中）設，直線：，直線，若，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據直線平行或重合的條件列方程求，檢驗排除重合的情形，可得的值.【詳解】若直線：與直線平行或重合則，解方程可得或，當時，的方程為，的方程為，直線重合，所以不滿足條件，當時，的方程為，的方程為，直線平行，所以滿足條件，故選：B．13．（2022·全國·高二期末）已知直線，．請從以下三個條件中選出兩個求實數，的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)選(1)和(2)，；(2)選(1)和(3)，或；(3)選(2)和(3)，a、b無解.【分析】根據兩直線的位置關系可知，若兩直線垂直則兩直線的斜率之積為-1；若兩直線平行則兩直線的斜率相等且不重合.（1）若選條件(1)和(2)，和，由，得，即，當時，，，與不垂直，當時，，，與不垂直；故且，得，又，，所以，解得，則；（2）若選條件(1)和(3)，和，由，得，當時，，，與不平行；當時，，，與不平行；故且，則，解得或，故或，即或；（3）若選條件(2)和(3)，和，根據兩條直線的位置關系，可得和不可能同時成立，此時無解.14．（2022秋·新疆伊犁·高二校考期中）已知兩條直線：，：，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據已知條件，結合直線平行的性質，即可求解．（2）根據已知條件，結合直線垂直的性質，即可求解．【詳解】（1）因為兩條直線：，：平行，則，解得或，當時，直線重合，不符合題意，舍去，當時，直線不重合，符合題意，故．（2）∵∴，解得15．（2022秋·湖北十堰·高二校聯(lián)考期中）已知四邊形的頂點，則四邊形的形狀為___________.【答案】矩形【分析】分別求出直線的斜率，根據斜率判斷對應直線得位置關系，即可得出結論.【詳解】解：，且不在直線上，.又，且不在直線上，，四邊形為平行四邊形.又.平行四邊形為矩形.故答案為：矩形.考點三直線的方程16．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）已知直線，下列說法中正確的是（

）A．直線的傾斜角為 B．是直線的一個方向向量C．直線的斜率為 D．是直線的一個法向量【答案】A【分析】先根據方程得斜率，進而得到直線的傾斜角，以及方向向量和方法向量，從而判斷各選項.【詳解】因為直線，所以斜率，傾斜角為，故A正確，C不正確；因為直線經過點，，所以直線的一個方向向量為，因向量與不共線，故不是直線的一個方向向量，故B不正確；又因為，所以不是直線的一個法向量，故D不正確.故選：A.17．（2022秋·上海普陀·高二曹楊二中校考期末）若直線的一個法向量為，則過原點的直線的方程為______.【答案】【分析】根據直線法向量，可設出直線方程，由直線過原點，求出未知系數.【詳解】若直線的一個法向量為，可設直線方程為，由直線過原點，∴，故所求直線方程為，即.故答案為：18．（2022秋·河北衡水·高二河北武強中學校考期中）如果，，那么直線不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直線變換為，確定，，得到直線不經過的象限.【詳解】由可得，，因為，，故，.故直線不經過第四象限.故選：D19．（2022秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）已知直線：，點.(1)求過點且與平行的直線方程；(2)求過點且與垂直的直線方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）（2）根據直線平行垂直的性質，求出相應的斜率，運用點斜式直線方程求解.【詳解】（1）易知直線的斜率為，設過點且與平行的直線的斜率為，則，直線的方程為，即；（2）易知直線的斜率為，設過點且與垂直的直線的斜率為，則，，直線的方程為，即；20．（2022秋·福建南平·高二校考期中）已知，，，在中：(1)求BC邊所在直線的方程；(2)求BC邊上的中線?高線所在直線的方程.【答案】(1)(2)BC邊上的中線方程為，高線方程為【分析】（1）根據兩點式求解即可；（2）根據中點坐標公式可得的中點，再根據兩點式可得邊上的中線方程；根據直線垂直斜率的關系，結合點斜式可得BC邊上的高線方程.【詳解】（1）邊過兩點，，由兩點式，得直線方程為，即，故邊所在的直線方程為（2）設的中點為，則，，故，又邊的中線過點，所以，即，所以邊上的中線所在直線的方程為.又斜率為，故邊上高線的斜率為，又高線過，故邊上高線方程為，即.故邊上的高線方程為21．（2022秋·廣東江門·高二臺山市第一中學校考期中）已知的三個頂點分別為，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算，的中點為，邊的垂直平分線的斜率，得到直線方程.（2）計算，到直線的距離為，得到面積.【詳解】（1），故邊的垂直平分線的斜率，的中點為，故垂直平分線為，即.（2），所在的方程為，即，到直線的距離為，.考點四截距式及截距應用22．（2022秋·廣東廣州·高二校考期中）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則______，______．【答案】

【分析】根據已知條件及截距的定義即可求解.【詳解】令，得，解得，所以直線在軸上的截距為，即；令，得，解得，所以直線在軸上的截距為，即；故答案為：；.23．（2022秋·四川成都·高二成都外國語學校校考期中）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（

）A．2或1 B．或 C． D．【答案】A【分析】由題意，分截距為零和不為零兩種情況，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，當截距為零時，則，解得；當截距不為零時，整理截距式方程為，則，由，則解得.故選：A.24．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）過點且橫、縱截距的絕對值相等的直線其條數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別討論直線過坐標原點、橫縱截距相等且不為零、橫縱截距互為相反數且不為零的情況，結合直線截距式和所過點坐標求得直線方程，由此可得結果.【詳解】當過點的直線過坐標原點時，直線方程為，滿足題意；當過點的直線的橫、縱截距相等且不為零時，設其方程為：，則，直線方程為；當過點的直線的橫、縱截距互為相反數且不為零時，設其方程為：，則，直線方程為.綜上所述：滿足題意的直線條數為.故選：C.25．（2022秋·四川遂寧·高二遂寧中學校考期中）已知直線兩坐標軸上的截距互為相反數，則實數a＝（

）A．1 B．－1C．2或1 D．2或-1【答案】D【分析】直接利用直線的截距互為相反數求出參數的值．【詳解】解：當時，直線為，故直線無橫截距，不符合題意；當時，直線的橫截距為，縱截距為由于直線兩坐標軸上的截距互為相反數，故，解得或．故選：D．26．【多選】（2022秋·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知直線l過點，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】分兩種情況，當截距為時，設直線的方程為：，將點代入求得的值，當截距不等于時，設直線的方程為：，將點代入求得的值即可求解.【詳解】當截距為時，設直線的方程為：，將點代入可得，可得，所以，即，當截距不等于時，設直線的方程為：，將點代入可得：，解得：，所以直線的方程為：，即，所以直線的方程為：或，故選：AD.27．（2022秋·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）過點作直線l分別交x，y軸于A，B兩點，當（O為坐標原點）的面積等于12時，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】設直線的截距式方程，結合三角形面積列方程組，方程組解的個數即為直線的條數.【詳解】設直線，則，即①或②方程①有兩解，方程②有唯一解.故這樣的直線有3條.故選：C.考點五動直線恒過定點問題及其應用動直線恒過定點28．（2022秋·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）不論為何實數，直線恒過定點_________.【答案】【分析】直線方程轉化為，再根據直線系方程求解即可.【詳解】解：將直線方程轉化為，所以直線過直線與的交點，所以，聯(lián)立方程，解得所以，直線恒過定點故答案為：29．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知直線．(1)求證：直線l恒過定點；(2)已知兩點，，過點A的直線l與線段有公共點，求直線l的傾斜角的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）直線方程整理為關于的方程，由恒等式知識可得定點坐標；（2）求出直線的傾斜角，直線介于直線之間，由此可得結論．【詳解】（1）證明：由，得．由直線方程的點斜式可知，直線恒過定點．（2）由題意可知，，由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，又的傾斜角是，的傾斜角是，點橫坐標在兩點橫坐標之間，因此直線可能與軸垂直，傾斜角可以是，∴的取值范圍是．30．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知直線恒過定點Q，Q點在直線l上，則l的方程可以是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據直線過定點的求法求得，利用代入驗證法確定正確答案.【詳解】由題意知可化為，則直線l恒過定點，驗證選項得直線l的方程可以為．故選：B31．（2022秋·浙江杭州·高二學軍中學校考期中）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點；（2）令令，表達出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點.（2）設直線的方程為．令令．．當且僅當，即時，三角形面積最小．則的方程為．32．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直線：經過定點P，直線經過點P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直線方程變?yōu)椋傻枚c.根據的方向向量，可得斜率為，代入點斜式方程，化簡為一般式即可.【詳解】可變形為，解得，即點坐標為.因為，所以直線的斜率為，又過點，代入點斜式方程可得，整理可得.故選：A.動直線與距離最值問題33．（2022·高二單元測試）當實數k變化時，直線到直線的距離的最大值是______.【答案】【分析】先求出兩直線分別所過定點，再由平行關系可知，當兩直線垂直于兩定點連線時，距離最大.【詳解】由可得過定點，由可得過定點.又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時，距離最大，最大值即為兩點間的距離.故答案為：.34．（2022秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期中）若直線與直線交于點，則到坐標原點距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】兩直線均過定點且垂直，則交點P在以兩定點為直徑的圓上，由數形結合可求最值.【詳解】兩直線滿足，所以兩直線垂直，由得，過定點，由得，過定點，故交點P在以AB為直徑的圓C上，其中，如圖所示，則線段OP的最大值為.故選：B.35．（2022秋·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知直線與、軸的交點分別為、，且直線與直線相交于點，則面積的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出點、的坐標，可得出的值，求出直線、所過定點的坐標，根據可求得點的軌跡方程，根據圓的幾何性質可求得點在直線距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】在直線的方程中，令可得，令可得，即點、，故，將直線的方程變形可得，由可得，所以，直線過定點，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點，，則，設點.①若點不與或重合，則，且，，，整理可得；②當點與或重合，則點、的坐標滿足方程.所以，點的軌跡方程為.圓圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，因此，面積的最大值是.故選：A.36．（2022秋·山東菏澤·高二校考期中）直線過定點___________，原點到直線l的距離的最大值為___________.【答案】

【分析】將化為可得直線所過定點；由第一空答案結合圖形，可得原點到直線l的距離的最大值.【詳解】由可得，則，得，故l過定點；如圖，設定點為A，當時，原點到直線l的距離的最大.理由如下：設為過A點的除l外的一條直線，其到原點距離如圖為，因為直角三角形，則.故當且僅當時，原點到直線l的距離的最大.此時最大距離為.故答案為：；.37．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由題意，求得直線所過定點，由兩點之間距離公式，可得答案.【詳解】由直線，整理可得，令，解得，點到直線距離的最大值為點到定點的距離，則，故選：D.考點六直線的交點坐標和距離問題求兩直線的交點問題38．（2022秋·廣西·高二廣西師范大學附屬中學校考期中）已知直線，點(1)求線段的中垂線與直線的交點坐標；(2)若點在直線上運動求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先由點斜式求線段的中垂線方程，聯(lián)立方程組求其與直線的交點坐標；(2)求點關于直線的對稱點的坐標，再求的長度即可.【詳解】（1）因為，所以的中點坐標為，直線的方程為，所以線段的中垂線的斜率為2，則線段的中垂線方程為，化簡得，聯(lián)立，解得，所以線段的中垂線與直線的交點坐標為；（2）設A點關于直線對稱的點為，則的中點坐標為，因為點在直線上，故：①，又直線的斜率為2，故：②，聯(lián)立①②解得：，因為，所以的最小值為．39．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知光線經過已知直線和的交點M，且射到x軸上一點后被x軸反射．(1)求反射光線所在的直線的方程．(2)求與距離為的直線方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由題可得，進而可得，然后結合條件及直線的點斜式即得；（2）根據平行線間距離公式即得.【詳解】（1）由，可得，即，又，所以，所以反射光線所在的直線的斜率為，故反射光線所在的直線的方程，即；（2）由題可設所求直線方程為，則，解得或，所以與距離為的直線方程為或.40．（2022秋·廣東江門·高二臺山市第一中學校考期中）已知正方形的中心為直線，的交點，正方形一邊所在的直線方程為，則它鄰邊所在的直線方程為___________．【答案】【分析】先求出中心坐標為，再根據鄰邊所在直線與垂直設方程為，進而結合點到這兩條直線距離相等且為即可求解.【詳解】解：，解得，∴中心坐標為，點M到直線的距離設與垂直兩線分別為，則點到這兩條直線距離相等且為，設方程為∴，解得或，∴它鄰邊所在的直線方程為．故答案為：41．（2022秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期中）平行四邊形的四邊所在的直線分別是：，，(1)求直線交點的坐標；(2)求平行四邊形的面積．【答案】(1)；(2)9.【分析】（1）聯(lián)立直線方程求出交點的坐標;（2）由頂點坐標求出一條邊的長度，再根據兩平行直線之間的距離公式可求平行四邊形的高，從而求得平行四邊形的面積．【詳解】（1）設和的交點為A，由，解得；（2）如圖，易知∥，∥，設和的交點為B，由，解得，由（1）知，∴．與的距離，∴平行四邊形的面積為．42．【多選】（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得出不能構成三角形的條件，分個討論即可得到.【詳解】因為直線，，不能構成三角形，所以存在，，過與的交點三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當時，有，即，解得；當時，有，即，解得；當過與的交點時.先聯(lián)立，解得，則與的交點為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．兩點間的距離問題43．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知點A、B是直線與坐標軸的交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得兩點的坐標，進而求得.【詳解】由，令，得，設；令，得，設.所以.故選：A44．（2022秋·吉林長春·高二校考期中）已知直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩個點，點是直線上的動點，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線l的方程根據兩點的距離公式可得表示原點與點兩點間的距離，再根據點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：直線l的方程為，即，表示原點與點兩點間的距離，則的最小值即為原點到直線的距離，為.故選：D.45．（2022秋·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期末）在平行四邊形ABCD中，，，，點E是線段BC的中點．(1)求直線CD的方程；(2)求四邊形ABED的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出，由，由點斜式即可寫出直線CD的方程；（2）四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，求出E坐標、直線AD的方程，即可求出E到直線AD的距離，再求出，即可求梯形面積.【詳解】（1）由，，∴直線CD的方程為，即；（2）四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，則，即，直線AD的方程為，即，則E到直線AD的距離為，.故四邊形ABED的面積為.點到直線的距離問題46．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）求點（2,）到直線的距離為______【答案】【分析】由點到直線的距離公式即可求得.【詳解】由點到直線的距離公式可得.故答案為：47．【多選】（2022秋·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）已知三邊所在直線分別為，則（

）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先聯(lián)立方程求出頂點坐標，求出AB邊上的高所在直線斜率即可得出方程，利用點到直線距離公式可求出高，利用兩點間距離公式求出，即可求出三角形面積，根據斜率關系可判斷D.【詳解】由得；由得；由得；因為，所以AB邊上的高所在直線斜率為，則方程為，即，故A正確；AB邊上的高為點到直線的距離，故B正確；因為，所以的面積為，故C正確：由斜率關系可知，是的任意兩邊均不垂直，D錯誤.故選：ABC.48．（2022秋·福建南平·高二校考期中）點到直線的距離是，那么m的值是（

）A．4 B． C．4或 D．或4【答案】D【分析】根據點到線的距離公式求解即可.【詳解】由題意，，故，即，解得.故選：D49．（2022秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同側和異側分類討論求解.【詳解】（1）若在的同側，則，所以，，（2）若在的異側，則的中點在直線上，所以解得,故選:D.50．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）過點的直線被兩平行直線與所截線段的中點恰在直線上，則直線的方程是________．【答案】【分析】首先根據線段的中點在直線上，可設，利用到與的距離相等求得的值，進而求出點的坐標，然后根據兩點式求解直線方程即可.【詳解】設線段的中點為,因為點到與的距離相等,故，解得,則點．直線的方程為,即．故答案為：兩平行線間的距離問題51．（2022秋·天津南開·高二崇化中學校考期末）兩條平行直線與間的距離為_______．【答案】【分析】根據兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，兩直線的距離為.故答案為：52．（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】先根據線線平行公式可得，再根據平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡得，∴它們之間的距離為．故選：B．53．【多選】（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯(lián)考期中）若直線m被兩平行直線與所截得的線段長為，則直線m的傾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】設直線m與兩平行直線所夾的銳角或直角為，再結合兩平行直線的距離公式，以及直線斜率和傾斜角之間的關系，即可求解.【詳解】設直線m與兩平行直線所夾的銳角或直角為，兩平行直線與的距離為：，因為直線m被兩平行直線與所截得的線段長為所以所以因為直線的斜率為：，傾斜角為所以直線m的傾斜角可以是或如圖所示：故選：BD.54．（2022·高二單元測試）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點到直線l的距離即得解.【詳解】依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據點到直線的距離公式得M到原點的距離的最小值為.故選：A.55．【多選】（2022秋·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知直線：，：，則下列選項正確的為（

）A．直線過定點 B．當時，或C．當時，和相交 D．當時，兩直線，之間的距離為1【答案】AB【分析】直線方程整理為關于的方程，由恒等式知識可求得定點坐標，判斷A，由垂直的條件求得參數范圍，判斷B，由兩直線平行的條件求得的值可得相交的條件，判斷C，由兩直線平行，然后求得值，代入后得兩平行線的方程，由距離公式計算．【詳解】直線方程整理為，由，解得，因此直線過定點，A正確；，則，解得或，B正確；由得或，所以且時，和相交，C錯；時，兩直線方程分別為，，兩直線平行，它們的距離為，時，兩直線方程分別為和，即和，兩直線平行，距離為，D錯．故選：AB．考點七直線的對稱問題56．（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）點關于直線的對稱點Q的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中點和斜率來求得點坐標.【詳解】設點關于直線的對稱點的坐標為，則，解得．所以點Q的坐標為.故選：A57．（2022秋·福建福州·高二校考期中）已知點，直線：，則點到直線的距離為______，直線關于點對稱的直線方程為______．【答案】

【分析】利用點到直線距離公式求點到直線的距離，設直線上任一點關于點的對稱點，確定的坐標關系，利用代點法求對稱直線方程．【詳解】點，直線：，則點到直線的距離為，設直線關于點的對稱直線為，則直線上任一點關于點的對稱點一定在直線上，，解得，將代入直線的方程可得，．所以直線關于點對稱的直線方程為.故答案為：；.58．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校校考期中）直線關于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【分析】首先設對稱直線上任意一點，得到關于對稱點為，再代入直線即可得到答案。【詳解】設直線關于點對稱的直線上任意一點，則關于對稱點為，又因為在上，所以，即。故選：B59．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考期中）已知直線的方程為，點的坐標為?.(1)若直線與關于點對稱，求的方程;(2)若點與關于直線對稱，求的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線與直線互相平行，且點到兩直線距離相等，列方程即可求解；（2）由直線垂直平分線段，列方程組即可求解.【詳解】（1）易知直線與直線互相平行，設的方程為，點到兩直線距離相等，有?，即?，或?(舍去)，故的方程為?.（2）設點的坐標為?，直線，且的中點在直線上，而直線的斜率為，，故有?，解得，?故的坐標為.60．（2022·高二單元測試）已知直線，，．（1）求直線關于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關于直線的對稱直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由于，所以，可設的方程為，在直線上取點，求出點關于直線的對稱點，代入方程，即得解；（2）與的交點坐標為也在上，另取上不同于的一點，求出關于的對稱點為，利用兩個點坐標求出直線方程，即得解【詳解】（1）因為，所以．設直線的方程為（，且）．在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即點的坐標為．把點的坐標代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點坐標為．另取上不同于A的一點，設關于的對稱點為，則，得，即點的坐標為．所以過與的直線的方程為，即．61．（2022秋·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知兩點A（2，3），B（3，2），點C在x軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．2 D．【答案】B【分析】點關于軸的對稱點為，則求出最小值即可得出答案.【詳解】點關于軸的對稱點為，則，所以，的最小值為.故選：B.62．（2022秋·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考期中）直線和兩點，若直線上存在點M使得最小，求點M的坐標_____.【答案】【分析】如圖，作出點關于直