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文檔簡(jiǎn)介

28.5弧長(zhǎng)及扇形的面積(知識(shí)講解)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式,探索n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式,并應(yīng)用這些公式解決問題;

2.能準(zhǔn)確計(jì)算組合圖形的面積.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、弧長(zhǎng)公式

半徑為R的圓中

(1):360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式:

(2):n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式:(弧是圓的一部分)

特別說明:

(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式,關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的,即;

(2)公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù),故n和180都不帶單位,R為弧所在圓的半徑;

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量:弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑,知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

要點(diǎn)二、扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式:

特別說明:

(1)對(duì)于扇形面積公式,關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的,;

(2)在扇形面積公式中,涉及三個(gè)量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角,知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用,它與三角形面積公式有點(diǎn)類似,可類比記憶;(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系:.

【典型例題】類型一、求弧長(zhǎng)和扇形面積1.如圖,為了美化校園,學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個(gè)扇形花圃,其圓心角,半徑為6m,求該扇形的弧長(zhǎng)與面積.(結(jié)果保留)【答案】扇形的弧長(zhǎng)為:;扇形的面積為:【分析】直接利用扇形的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積求解即可.解:由題意得,扇形的弧長(zhǎng)為:.扇形的面積為:.【點(diǎn)撥】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積的計(jì)算,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式.舉一反三:【變式】如圖,是以為直徑的半圓上的兩點(diǎn),,連結(jié).(1)求證:.(2)若,,求陰影部分的面積.【答案】(1)答案見分析(2)【分析】(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACD=∠DBA,根據(jù)∠CAB=∠DBA得到∠CAB=∠ACD,進(jìn)而得到結(jié)論;(2)連結(jié)OC,OD,證明所求的陰影部分面積與扇形的面積相等,繼而得到結(jié)論.(1)證明:∵=,∴∠ACD=∠DBA,

又∠CAB=∠DBA,∴∠CAB=∠ACD,

∴;(2)解:如圖,連結(jié)OC,OD.∵∠ACD=30°,∴∠ACD=∠CAB=30°,∴∠AOD=∠COB=60°,∴∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°.∵,∴S△DOC=S△DBC,

∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD,∵AB=4,∴OA=2,∴S扇形COD=.

∴S陰影=.【點(diǎn)撥】本題主要考查扇形的面積,同弧所對(duì)的圓周角相等,平行線的判定,掌握定理以及公式是解題的關(guān)鍵.類型二、求半徑2.如圖,有一段彎道是圓弧形的,道長(zhǎng)是.弧所對(duì)的圓心角是,這段圓弧所在圓的半徑R是多少米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)?【答案】8.5m【分析】由弧長(zhǎng)公式l=得到關(guān)于R的方程,解方程即可解:由l=,可知R==≈8.5(m).∴這段圓弧所在圓的半徑R是8.5米.【點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式:l=,其中l(wèi)表示弧長(zhǎng),n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù).舉一反三:【變式1】已知圓上一段弧長(zhǎng)為,它所對(duì)的圓心角為,求該圓的半徑.【答案】半徑為【分析】設(shè)該圓的半徑為R,根據(jù)弧長(zhǎng)公式列出方程,解方程可得.解:設(shè)該圓的半徑為Rcm,根據(jù)題意,得:,解得:R=7.2,答:該圓的半徑為7.2cm.【點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式:(n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù),R為弧所在圓的半徑).【變式2】如圖,已知.(1)試用尺規(guī)作圖確定所在圓的圓心O(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若的度數(shù)為120°,的長(zhǎng)是8π,求所在圓的半徑的長(zhǎng).【答案】(1)作圖見分析;(2)12【分析】(1)在弧上任取一點(diǎn)C,連接AC,BC,作弦AC、弦BC的垂直平分線即可(2)根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可;解:(1)在弧上任取一點(diǎn)C,連接AC,BC,作弦AC、弦BC的垂直平分線即可,點(diǎn)O即為所求;(2)如圖,連接AO,BO,∵弧AB的度數(shù)為,∴,又∵弧AB的長(zhǎng)是,∴,解得:,∴所在圓的半徑的長(zhǎng)是12.【點(diǎn)撥】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用,結(jié)合垂直平分線作圖求解是解題的關(guān)鍵.類型三、求圓心角3.已知圓弧的半徑為15厘米,圓弧的長(zhǎng)度為,求圓心角的度數(shù).【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式計(jì)算即可.解:圓心角的度數(shù).【點(diǎn)撥】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算,掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式】若一條圓弧所在圓半徑為9,弧長(zhǎng)為,求這條弧所對(duì)的圓心角.【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.解:∵,,∴,∴【點(diǎn)撥】此題考查弧長(zhǎng)公式,熟記公式并掌握各字母的意義即可正確解答.類型四、求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)4.如圖,AB是⊙O的直徑,M是半圓弧的中點(diǎn),點(diǎn)C是上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)M,B重合),點(diǎn)D在弦AC上,.求證:;填空:若,則點(diǎn)D移動(dòng)的路徑長(zhǎng)等于________.【答案】(1)見分析(2)π【分析】(1)連接MA、MB,證明△AMD≌△BMC(SAS),即可解決問題;(2)由∠MDC=45°,推出∠ADM=180°-45°=135°,推出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧ADM,設(shè)圓心為T,連接AT,MT,則∠T=90°,利用弧長(zhǎng)公式求解即可.(1)證明:連接MA,MB∵M(jìn)是半圓弧的中點(diǎn),∴,,∴∠MAB=∠MBA=45°,∴.∵,∴△DCM是等腰直角三角形.∴.∵,,∴.∴△AMD≌△BMC(SAS).∴.(2)∵∠MDC=45°,∴∠ADM=180°-45°=135°,∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧ADM,設(shè)圓心為T,連接AT,MT,則∠T=90°,∵AB=4,∴AM=,∴AT=TM=2,∴的長(zhǎng)=.【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡,弧長(zhǎng)公式,圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.舉一反三:【變式1】在如圖的方格紙中,每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為個(gè)單位的正方形,的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)).畫出先向下平移個(gè)單位,再向右平移個(gè)單位后的圖形,并寫出的坐標(biāo);畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的,并寫出的坐標(biāo);(3)寫出(2)中點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).【答案】(1)見分析,(2)見分析,(3)【分析】(1)利用平移變換的性質(zhì)分別作出,,的對(duì)應(yīng)點(diǎn),,即可;(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出,,的對(duì)應(yīng)點(diǎn),,即可;(3)利用弧長(zhǎng)公式求解.(1)解:如圖,△即為所求,的坐標(biāo);(2)解:畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的△,的坐標(biāo);(3)解:,點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).【點(diǎn)撥】本題考查作圖平移變換,旋轉(zhuǎn)變換,弧長(zhǎng)公式等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握平移變換,旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),屬于中考??碱}型.【變式2】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△;寫出點(diǎn),的坐標(biāo);求出(1)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留π).【答案】(1)見分析(2)(4,2);(3,4)(3)點(diǎn)C走過路線長(zhǎng)=2.5π【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1,即可畫出圖形;(2)由(1)可知,寫出點(diǎn),的坐標(biāo)即可;(3)先計(jì)算出OC的長(zhǎng),然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).(1)解:如圖所示:(2)解:由(1)可知,(4,2);(3,4);(3)解:根據(jù)題意,,∴C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=;【點(diǎn)撥】本題考查了作圖:旋轉(zhuǎn)變換:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對(duì)應(yīng)角都相等,對(duì)應(yīng)線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對(duì)應(yīng)點(diǎn),順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.類型五、求旋轉(zhuǎn)掃過的面積5.如圖,在7×7的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到.(1)畫出;(2)邊在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積為______.【答案】(1)圖見分析(2)【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)和點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可畫出圖形;(2)根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可.(1)解:如圖,∵小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度,∴,,∴∴是等腰直角三角形,∴,∴點(diǎn)和點(diǎn)是一組對(duì)應(yīng)點(diǎn),∵,,∴點(diǎn)和點(diǎn)是一組對(duì)應(yīng)點(diǎn),連接,,,則即為所作.(2)由(1)知:邊在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積就是以的長(zhǎng)為半徑,圓心角為的扇形的面積,∵,∴邊在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的圖形面積為:.故答案為:.【點(diǎn)撥】本題主要考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換,扇形的面積計(jì)算,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理及勾股定理逆定理等知識(shí),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等;對(duì)應(yīng)線段與旋轉(zhuǎn)中心形成的角叫做旋轉(zhuǎn)角,各旋轉(zhuǎn)角都相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等.準(zhǔn)確畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式1】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、.(1)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______;(2)將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后得到的;(3)在(2)中,求邊所掃過區(qū)域的面積是多少?(結(jié)果保留).【答案】(1)(1,-1);(2)見分析;(3)【分析】(1)根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù),可得出答案;(2)分別找到點(diǎn)A、B繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°以后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1,然后順次連接即可得出旋轉(zhuǎn)后的圖形△A1B1C;(3)邊CA旋轉(zhuǎn)到CA1所掃過的圖形為扇形,且圓心角為90度,半徑CA利用勾股定理求得,然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可;(1)解:∵B(-1,1),∴點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1).故答案為(1,-1);(2)如圖所示,△A1B1C即為所求作的圖形;(3)∵,∴.【點(diǎn)撥】此題考查了旋轉(zhuǎn)作圖,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,扇形的面積公式,坐標(biāo)與圖形變化-平移的問題,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn),注意規(guī)范作圖,難度一般.【變式2】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是、,△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到.畫出,直接寫出點(diǎn),的坐標(biāo);求在旋轉(zhuǎn)過程中,線段OB所掃過的面積.【答案】(1)見分析,(-3,3),(-2,1)(2)【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A,B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1,B1的位置,然后順次連接即可,再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);(2)利用勾股定理列式求出OB的長(zhǎng),再利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解.(1)解:如圖:∴A1點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,3),B1點(diǎn)坐標(biāo)(-2,1);(2)解:∵B1點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1),∴,∴線段OB所掃過的面積=.【點(diǎn)撥】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖,扇形的面積,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu),準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.類型六、求不規(guī)則圖形面積6.如圖,在⊙O中,直徑AB=2,ABC中,∠BAC=90°,BC交⊙O于點(diǎn)D,若∠C=45°,求:(1)BD的長(zhǎng)為多少?(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)(2)1【分析】(1)連接AD,可得AD⊥BC.再根據(jù)△ABC是等腰直角三角形,可得BD=CD,,即可求解;(2)根據(jù)AD=BD,可得弧BD=弧AD,從而得到弓形BD的面積=弓形AD的面積

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