線性方程組的消元法及解的判定第十一章線性方程組基礎(chǔ)教學(xué)部一般線性方程組解的討論01齊次線性方程組02目錄11.2.1一般線性方程組解的討論31.高斯消元法對(duì)于含有n

個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組，當(dāng)其系數(shù)行列式D≠0時(shí)，可用克萊姆法則和逆矩陣法求解;當(dāng)D≠0

或含有n個(gè)未知量m個(gè)方程(m≠n)的一般線性方程組，克萊姆法則和逆矩陣求解法無效.為了敘述問題的方便，我們采用以下幾種記號(hào)：（1）用

kri

表示用數(shù)用

k乘第i

個(gè)方程；（2）用rj+kri表示用數(shù)k乘第i個(gè)方程加到第j

個(gè)方程上；（3）用ri?rj表示交換第i個(gè)方程與第j個(gè)方程.11.2.1一般線性方程組解的討論4例1

解線性方程組解作變換，，得到作變換，，得到11.2.1一般線性方程組解的討論5作變換，，得到作變換，,

，得到11.2.1一般線性方程組解的討論6從例1可以看到，用消元法解線性方程組的具體做法是：對(duì)方程組反復(fù)施行如下的三種變換：（1）用一個(gè)非零的數(shù)乘某一方程的兩邊；（2）用任意一個(gè)數(shù)乘一個(gè)方程的兩邊加到另一個(gè)方程上；（3）交換兩個(gè)方程的位置.容易證明，線性方程組經(jīng)過上述任意一種變換所得的方程組與原方程組同解.由于線性方程組由其增廣矩陣唯一確定，所以對(duì)方程組進(jìn)行上述變換，相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換.11.2.1一般線性方程組解的討論7上例中的解題步驟相當(dāng)于對(duì)其增廣矩陣作如下初等變換：11.2.1一般線性方程組解的討論8一般地，對(duì)一個(gè)

n元線性方程組，當(dāng)它的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，對(duì)方程組的增廣矩陣施以適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q，使系數(shù)矩陣變?yōu)閱挝痪仃?則矩陣的最后一列元素為方程組的解，即這種消元法叫做高斯消元法.11.2.1一般線性方程組解的討論9例2

用高斯消元法解線性方程組解對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換，得11.2.1一般線性方程組解的討論1011.2.1一般線性方程組解的討論11因此方程組的解為11.2.1一般線性方程組解的討論122.一般線性方程組解的討論例3

討論方程組的解.解對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換，即11.2.1一般線性方程組解的討論13矩陣B1對(duì)應(yīng)的方程組為顯然，第三個(gè)方程0=5是不成立的，因而方程組無解.例4

討論方程組的解.11.2.1一般線性方程組解的討論14解11.2.1一般線性方程組解的討論15矩陣B2

對(duì)應(yīng)于方程組把x4

移項(xiàng)，得左式叫做方程組的一般解.其中x4為自由未知量.11.2.1一般線性方程組解的討論16若令x4=c

就得到方程組的一組解用矩陣表示為當(dāng)c

取定任意一個(gè)值時(shí)，就得到方程組的一組解，因此方程組有無窮多組解.其中c

為任意常數(shù)，上式叫做方程組的全部解.11.2.1一般線性方程組解的討論17例5

解線性方程組解

11.2.1一般線性方程組解的討論18矩陣B3

對(duì)應(yīng)于方程組11.2.1一般線性方程組解的討論19矩陣B3

對(duì)應(yīng)于方程組此即為線性方程組的解，且解唯一.11.2.1一般線性方程組解的討論20綜上所述，一個(gè)含有m

個(gè)方程n

個(gè)未知量的線性方程組AX=B，即可能有唯一解、無解或無窮多解.11.2.1一般線性方程組解的討論21一般線性方程組的求解過程，實(shí)際上就是對(duì)方程組AX=B的增廣矩陣施行初等行變換，化成階梯形矩陣，即其中

crj≠0，顯然當(dāng)dr+1=0時(shí)，方程組AX=B有解，當(dāng)dr+1≠0時(shí)方程組AX=B無解.11.2.1一般線性方程組解的討論22方程組AX=B是否有解，關(guān)鍵在于其增廣矩陣化為階梯形矩陣后，dr+1是否為零，即系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等.定理1

線性方程組AX=B有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即定理2若線性方程組AX=B有解，則R(A)=r=n

時(shí)有唯一解；當(dāng)R(A)=r<n時(shí)有無窮多組解.一般線性方程組解的討論01齊次線性方程組02目錄11.2.2齊次線性方程組24齊次線性方程組的矩陣形式為AX=O.由于齊次線性方程組AX=O的增廣矩陣的最后一列元素全都是零，所以一定有即方程組AX=O必有解.11.2.2齊次線性方程組25齊次線性方程組AX=O作為線性方程組AX=B的特殊情況，可得定理2的推論.推論對(duì)于齊次線性方程組AX=O（1）若R(A)=r=n

，則方程組有唯一的零解；（2）若R(A)=r<n

，則方程組有非零解.當(dāng)m=n時(shí)，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A

為n

階方陣，若R(A)<n

，則|A|=0

.由此可知當(dāng)m=n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式|A|=0

.11.2.2齊次線性方程組26例6

求解齊次線性方程組解

將系數(shù)矩陣化成行簡化階梯形矩陣如下：11.2.2齊次線性方程組27于是方程組的一般解為其中x3，x4

是自由未知量.11.2.2齊次線性方程組28例7

當(dāng)λ

為何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？并求出它的一般解.解因?yàn)閙=n=3，所以，若方程組有非零解，則必有|A|