n維向量及向量間的線性關系第十一章線性方程組基礎教學部n維向量的定義01向量間的線性關系02目錄11.3.1n維向量的定義3定義1

由n個實數組成的有序數組稱為n

維向量.記為或其中ai（或bi）稱為n

維向量α（或β）的第i

個分量.向量一般用小寫希臘字母α,β,γ

等表示.α

稱為n

維列向量，β稱為n

維行向量.要把列（行）向量寫成行（列）向量，可用轉置記號，例如

可寫成11.3.1n維向量的定義4矩陣中的每一行都是n維向量，稱為矩陣A

的行向量.每一列都是m維向量，稱為矩陣A

的列向量.n維向量和n×1矩陣（即列矩陣）是本質相同的兩個概念，所以，我們規定n

維向量的相等、相加、數乘與列矩陣的相等、相加、數乘都是對應相同的.n維向量的定義01向量間的線性關系02目錄11.3.2向量間的線性關系6線性方程組令1．線性組合則（3-1）（3-2）線性方程組的向量形式11.3.2向量間的線性關系7線性方程組（3-1）是否有解，就相當于是否存在一組數：使成立.即常數列向量β

是否可以表示成系數列向量組的線性關系式.如果可以，則方程組有解，否則，方程組無解.β

可以表示成上述關系式時，稱β

是向量組的線性組合，或者稱β

可由向量組線性表示.定義2設n維向量

，如果存在一組數，使則稱β

是向量組的線性組合，或者稱β

可由向量組線性表示.11.3.2向量間的線性關系8例1任何一個n

維向量

都是n維向量組定理1設向量可由向量組線性表示的充分必要條件是以

為系數列向量，以為常數列向量的線性方程組有解.

的線性組合.因為稱為n

維單位向量組.例2零向量是任何一組向量的線性組合.因為11.3.2向量間的線性關系9例3

向量組中的任一向量都能用這個向量組線性表示.因為例4

設判斷向量能否由向量組線性表示.若是,寫出表示式.解設，即11.3.2向量間的線性關系10因為解線性方程組得:所以11.3.2向量間的線性關系112.線性相關與線性無關定義3

設n

維向量,如果存在一組不全為零的數,使得（3-3）成立,則稱向量線性相關,否則,稱向量組線性無關.若(3-3)當且僅當時成立,則向量組線性無關.例5向量組是線性相關的.

因為11.3.2向量間的線性關系12定理2

設n

維向量，若齊次線性方程組有非零解，則向量組線性相關.若齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無關.定理3

對于列（行）向量組，設矩陣若，則向量組線性相關；或若，則向量組線性無關.11.3.2向量間的線性關系13推論1

n

個n

維向量線性相關的充分必要條件是即或者說，n

個n

維向量線性無關的充分必要條件是推論2

任意n+1

個n維向量一定線性相關.即向量組中所含向量的個數大于向量的維數時,此向量組線性相關.11.3.2向量間的線性關系14例6

n

維單位向量組是線性無關的.(1)例7

判斷下列向量組的相關性:(2)(3)解(1)因為

,所以,向量組線性相關.11.3.2向量間的線性關系15(1)例7

判斷下列向量組的相關性:(2)(3)解

(2)因為

,所以,向量組線性無關.(3)由推論1,向量組線性相關.11.3.2向量間的線性關系16定理4如果向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關,則整個向量組線性相關.證設向量組中有r

個向量線性相關,不妨設線性相關,則存在不全為零的數,使成立.因而存在不全為零的數,使成立,即線性相關.定理4也可如下敘述:線性無關的向量組中任何部分組也線性無關.11.3.2向量間的線性關系17定理5向量組線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示.證必要性.因為線性相關,所以存在一組不全為零的數,使得不妨設,于是成立,即可以由其余向量線性表示.11.3.2向量間的線性關系18定理5向量組線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示.證充分性.不妨設因此,存在一組不全為零的數,使成立,即線性相關.11.3.2向量間的線性關系193.向量組的秩定義4

若向量組的部分向量組滿足：（1）線性無關；（2）向量組中的任意一個向量都可以由線性表示，則稱部分向量組為向量組的一個極大無關組.若向量組本身線性無關，則該向量組就是極大無關組.例如，維單位向量組是極大無關組.向量組的極大無關組可能不止一個，但它們的共性是：極大無關組所含向量的個數是相同的.11.3.2向量間的線性關系20例如，二維向量組因為任何3個二維向量的向量組必線性相關，而線性無關，故

是的一個極大無關組，同樣也是一個極大無關組.

定義5向量組的極大無關組所含向量的個數稱為向量組的秩.記作規定：只含零向量的向量組的秩為零.上例中,二維向量組

的秩

11.3.2向量間的線性關系21定理6矩陣的初等行(列)變換不改變其列(行)向量間的線性相關性.綜上所述,求一向量組的秩和極大無關組,先將這些向量作為矩陣的列構成一個矩陣,用初等行變換將其化為階梯形矩陣,則非零行的個數就是向量組的秩,主元所在列對應的原來向量組中的向量就是極大無關組.定理7

矩陣A

的秩=矩陣A列向量組的秩=矩陣A行向量組的秩.11.3.2向量間的線性關系22例8求向量組