四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題1．設(shè)全集U={?2，?1，0，1，2，3}，集合A={?1，2}，B={x∣x2?4x+3=0}A．{1，3} B．{0，3} C．{?2，1} D．{?2，0}2．已知a是第二象限角，sinA．?1213 B．?513 C．3．在平行四邊形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，記AC=a，DB=A．12a?C．a(chǎn)+124．如果函數(shù)y=2sin(x+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是π3，那么φA．?π6 B．π6 C．π5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若△ABC的面積是3(b2A．π3 B．2π3 C．π6 D．6．已知a=sinα,1?4cos2α，b=1,3A．211 B．411 C．6117．如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，則此四面體的外接球表面積為（）A．3π B．9π C．36π D．48π8．已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則A．1+22 B．1+222 C．9．已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（）A．若z?z=0，則z為實(shí)數(shù) B．若zC．若z?i=1，則|z|的最大值為2 D．若|z?i|=|z|+110．已知a，b，c滿足a<b<c，且ac<0，則下列選項(xiàng)中恒成立的是()A．a(chǎn)c<bc B．b?ca>011．如圖，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，過AC中點(diǎn)M的直線l與線段AB交于點(diǎn)N．將△AMN沿直線l翻折至△A'MN，且點(diǎn)A'在平面BCMN內(nèi)的射影H在線段BC上，連接AH交l于點(diǎn)OA．∠B．∠C．點(diǎn)O的軌跡的長(zhǎng)度為πD．直線A'O與平面BCMN12．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形，則原平面圖形的面積為13．已知sin(α+π)=?314．已知將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?12的圖象向左平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到15．已知a=4，b=8，a與b的夾角為（1）求a?（2）當(dāng)k為何值時(shí)，a+216．已知f(α)=sin（1）化簡(jiǎn)f(α)；（2）已知f(α)=?2，求sinα+17．已知函數(shù)fx=Asin（1）求函數(shù)fx（2）將函數(shù)y=fx的圖象向右平移π4個(gè)單位，得函數(shù)y=gx的圖象，求y=g（3）若fα=218．如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積.19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)fx=asinx+bcosx，稱向量OM=a,b為函數(shù)fx（1）設(shè)函數(shù)g(x)=sinx+5π（2）記向量ON=(1,3)的伴隨函數(shù)為f(x)，當(dāng)f(x)=85（3）設(shè)向量OP=2λ,?2λ，λ∈R的伴隨函數(shù)為u(x)，OQ=1,1的伴隨函數(shù)為v(x)，記函數(shù)?x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，B={x∣x2?4x+3=0}=1，3，所以A∪B={-1，1，2，3}，

所以?U2．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閏osα＝±1?sin2α＝±1213，

又∵α是第二象限角，

∴cosα＝－1213.

3．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示，

AE?故選：D．【分析】結(jié)合圖形和向量的線性運(yùn)算法則即可求得AE?4．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(x+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是π3，所以π3+φ=kπ,k∈Z，

解得φ=kπ?故答案為：D.【分析】由題意，可得π35．【答案】A【解析】【解答】解：△ABC的面積為S=1解得tanA=3，則故答案為：A.【分析】由題意，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合正余弦定理化簡(jiǎn)求值即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：a=sinα,1?4cos2α，b=1,3sinα?2，

若a∥b則sin2α故答案為：B.【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)合倍角公式求出sinα，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求cos7．【答案】B【解析】【解答】解：將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，則四面體P?ABC的外接球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，

設(shè)外接球的半徑為R，所以2R=22+12故答案為：B.【分析】將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，則長(zhǎng)方體的外接球?yàn)樗拿骟w的外接球，再利用長(zhǎng)方體外接球的直徑為其體對(duì)角線，再結(jié)合勾股定理求出此四面體的外接球的直徑，從而得出此四面體的外接球的半徑長(zhǎng)，再結(jié)合球的表面積公式得出此四面體的外接球表面積.8．【答案】A【解析】【解答】解：如圖所示，OA=1,OP=2，

由勾股定理可得PA=當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，

設(shè)∠OPC=α,0≤α<=1×====1因?yàn)?≤α<π4，

所以∴當(dāng)2α?π4=?π4時(shí)，PA?PD有最大值1，

當(dāng)點(diǎn)A,D則PA=1×====1因?yàn)?≤α<π4，

所以∴當(dāng)2α+π4=π2綜上可得，PA?PD的最大值為故答案為：A.

【分析】由題意作出示意圖，再進(jìn)行分類討論，再利用數(shù)量積的定義和三角恒等變換可得PA?PD=12?29．【答案】A,C【解析】【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)z=a+bia,b∈R，則z因?yàn)閦?z=0，即a+bi?對(duì)于選項(xiàng)B，若z2+z化簡(jiǎn)可得a2?b2+2abi+當(dāng)a=b時(shí)，z=a+ai，z=a?ai，此時(shí)不一定滿足z=當(dāng)a=?b時(shí)，z=a?ai，z=a+ai，此時(shí)不一定滿足z=對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閦?i=1，所以z?i所以a2+b?12=1，即z且z表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以|z|的最大值為2，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閨z?i|=|z|+1，所以z?i=z+1=a2化簡(jiǎn)可得b=?a2+b2此時(shí)z可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因?yàn)閍<b<c，且ac<0，所以a<0<c，而b與0的大小關(guān)系不確定，所以ac<bc，b?ca>0，故答案為：ABC.【分析】根據(jù)已知條件可得a<0<c，b與0的大小關(guān)系不確定判斷即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：將△AMN沿直線l翻折至△A'MN，連接A故AA'⊥MN，又A'在平面BCMN內(nèi)的射影所以A'H⊥平面BCMN，MN?平面BCMN，所以AA'∩A'H=A'所以MN⊥平面A'AO?平面A'AH，A'O?平面A'AO⊥MN,A∴∠AOM=90°，且∠AA、由題意可知，∠A'DH為A'D與平面BCMNB、∵∠A'OH即為二面角A'?MN?BC、∵M(jìn)N⊥AO恒成立，故O的軌跡為以AM為直徑的圓弧夾在△ABC內(nèi)的部分，

易知其長(zhǎng)度為12D、設(shè)∠AMN=θ∈π3,在△AOM中，∵∠AOM=90°，在△ABH中，∠B=π2，所以O(shè)H=AH?AO=3cosθ?π3?sin則cos≥2當(dāng)且僅當(dāng)2θ?π故答案為：BCD．

【分析】先利用二面角的定義可得∠A'OH即為二面角A'?MN?B的平面角，即可判斷A、B；先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出MN⊥AO，可得軌跡為圓弧，即可判斷C；利用線面角的定義可得求OHA'12．【答案】2【解析】【解答】在直觀圖等腰梯形A'B'C'分別過點(diǎn)A'、B'作A'E⊥C'D由題意可知∠A所以，D'E=A因?yàn)锳'B'//EF，A'所以，EF=A'B將直觀圖還原為原圖形如下圖所示：由題意可知，梯形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB=2，AD=2CD=2+2，AD⊥CD因此，梯形ABCD的面積為S=(AB+CD)?AD故答案為：22

【分析】計(jì)算出梯形的下底的長(zhǎng)，作出原圖形，確定原圖中梯形的上、下底的長(zhǎng)以及梯形的高，利用梯形的面積公式可求得結(jié)果.13．【答案】-7或?【解析】【解答】因?yàn)閟in(α+π)=?35，所以sin當(dāng)cosα=?45時(shí)，tan當(dāng)cosα=45時(shí)，tan故答案為：-7或?1

【分析】利用sin(α+π)=?35結(jié)合誘導(dǎo)公式得出sinα的值，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出14．【答案】[?1，【解析】【解答】f(x)=3sinxcosx+cos2x?12=32sin2x+12+12cos2x?12=sin(2x+π6)【分析】先利用三角變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換求得g（x）的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的定義域和值域，即可求得g（x）在給定區(qū)間上的值域．15．【答案】（1）解：a=4，b=8，a與b的夾角為則a?（2）解：若a+2b⊥k=16k?162k?1?2×64=?16k?112=0，解得【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求a?（2）由題意可得a+2b?（1）解：因?yàn)閍=4，b=8，a與b的夾角為則a?所以，a?（2）解：因?yàn)閍+2b=16k?162k?1?2×64=?16k?112=0，解得16．【答案】（1）解：f(α)==（2）解：因?yàn)閒(α)=?2，所以tanα=2∴sin【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而化簡(jiǎn)f(α)。

（2）因?yàn)閒(α)=?2，結(jié)合（1）得出tanα的值，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而求出sin17．【答案】（1）解：由圖可知：T=11π12??π12又因?yàn)閳D象經(jīng)過?π12,0所以?π6+φ=2kπ,k∈Z，解得φ=π6又因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過0,1，所以f0=Asin則函數(shù)fx的表達(dá)式為f（2）解：由題意得，gx因?yàn)閤∈0,π2所以sin2x?π3則y=gx在區(qū)間0,π2（3）解：由題意可得：fα=2sin又因?yàn)棣痢?,π2因?yàn)閟in2α+π6=1則fα?【解析】【分析】（1）由圖求函數(shù)fx的周期，根據(jù)最小正周期公式求ω的值，將特殊點(diǎn)代入解析式中，求出φ，A（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換特點(diǎn)可以求出y=gx的解析式，由x∈0，π2（3）根據(jù)fα=23可求出sin2α+（1）由圖知，T=π，則ω=2π由圖可得，fx在x=又因?yàn)閳D象經(jīng)過?π12,0所以?π6+φ=2kπ,k∈Z又因?yàn)棣?lt;π2函數(shù)又經(jīng)過0,1，故f0=Asin所以函數(shù)fx的表達(dá)式為f（2）由題意得，gx因?yàn)閤∈0,π2則sin2x?π3所以y=gx在區(qū)間0,π2（3）因?yàn)閒x所以fα=2sin又因?yàn)棣痢?,π2由sin2α+π6所以cos2α+所以fα?18．【答案】(1)證明：因?yàn)锳B=AD，O是BD中點(diǎn)，

所以O(shè)A⊥BD，因?yàn)镺A?平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD=BD，

所以O(shè)A⊥平面BCD，因?yàn)镃D?平面BCD，

所以O(shè)A⊥CD.(2)解：[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為z軸，OD為y軸，

垂直O(jiān)D且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則C(32,12所以EB=(0,?設(shè)n=x,y,z為平面由EB?n=0BC?n=0又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為OA=所以cosn,OA=?2又因?yàn)辄c(diǎn)C到平面ABD的距離為32，

所以V所以三棱錐A?BCD的體積為36[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作EG⊥BD，垂足為點(diǎn)G，作GF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)EF，則OA∥EG，

因?yàn)镺A⊥平面BCD，

所以EG⊥平面BCD，則∠EFG為二面角E?BC?D的平面角，因?yàn)椤螮FG=45°，

所以EG=FG，由已知可得OB=OD=1，

故OB=OC=1，又因?yàn)椤螼BC=∠OCB=30°，

所以BC=3又因?yàn)镚D=2所以V[方法三]：三面角公式考慮三面角B?EDC，記∠EBD為α，∠EBC為β，∠DBC=30°，記二面角E?BC?D為θ，

由題意，得θ=45°，對(duì)β使用三面角的余弦公式，可得cosβ=化簡(jiǎn)可得cosβ=3使用三面角的正弦公式，可得sinβ=sinαsinθ，將①②兩式平方后相加，可得34則sin2α=14cos2α如圖可知α∈(0,π2)，

根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為OD的三等分點(diǎn)，

可得BG=4結(jié)合α的正切值，可得EG=23,OA=1，

則可得三棱錐A?BCD【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三線合一得出線線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)定理證出線線垂直，即證出OA⊥CD.(2)利用三種方法求解.

方法一：通性通法—坐標(biāo)法

利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面EBC的法向量和平面BCD的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式和已知條件得出m的值，再利用點(diǎn)C到平面ABD的距離和三棱錐的體積公式以及等體積法，從而得出三棱錐A?BCD的體積.

方法二：作出二面角的平面角

利用中位線定理得出線線平行，再利用OA⊥平面BCD得出EG⊥平面BCD，從而得出∠EFG為二面角E?BC?D的平面角，再利用∠EFG=45°得出EG=FG，再結(jié)合已知條件和三棱錐的體積公式，從而得出三棱錐A?BCD的體積.

方法三