數學參考答案第1頁(共9頁)2025年2月高三第一次模擬考試數學參考答案題號123456789101112答案DCABBDDABCACACDBCD一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.D【命題意圖】本題考查集合的交集和補集的運算,考查數學運算的核心素養.【解析】由題意可得?RA=[2,+∞),因為所以∩B=[2,3).故選D.2.C【命題意圖】本題考查復數的運算、共軛復數的定義以及復數的幾何意義,考查數學運算的核心素養.因為所以所以所以所以在復平面內對應的點的坐標為位于第三象限.故選C.3.A【命題意圖】本題考查平面向量的坐標運算以及反向共線滿足的條件,考查數學運算的核心素養.【解析】因為a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x).因為2a+b,a-c共線,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7.又2a+b,a-c反向共線,代入驗證可知x=3時為同向,舍去.x=-7滿足條件.所以x=-7.故選A.4.B【命題意圖】本題考查利用基本不等式求最值,考查數學運算、邏輯推理的核心素養.由x>0,y>0,且可得xy=x+y.所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.又因為x+4y=當且僅當即時取等號,所以4xy-3x≥9.故選B.5.B【命題意圖】本題主要考查等差數列、等比數列的求和,考查數學運算的核心素養.【解析】因為a1=b1+2=2,所以b1=0.根據題意,cn={EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(an),bn)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up9(n為奇數),n為偶數)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(2n),2n)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up9(奇數),n為偶)T20=故選B.6.D【命題意圖】本題考查排列組合的基本運算以及古典概型的概率,考查學生數學抽象、數學運算、數學建模的核心素養.【解析】5名志愿者分配到4個場館,共有CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),5)AEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(4),4)種不同的方法,A,B兩名志愿者在同一個場館共有AEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(4),4)種不同的方法,所以A,B兩名志愿者不在同一個場館的概率為故選D.7.D【命題意圖】本題主要考查三角函數單調性、周期性和對稱性的綜合,考查數學運算的核心素養.因為f=2sinφ+1=0,所以或又所以所以因為f的圖象關于點對稱,所以所以ω=因為所以又函數在上單調,所數學參考答案第2頁(共9頁)k=0時,ω=6間的距離為半個周期,所以故選D.8.A【命題意圖】本題考查利用三角函數公式進行計算,利用導數求最值等基本知識,考查數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養.tanα,因為α為銳角,所以t>0.令所以f'(t)在t>0時是單調遞增函數.又f'(1)=0,所以當t∈(0,1)時,f'(t)<0,f(t)單調遞減;當t∈(1,+∞)時,f'(t)>0,f(t)單調遞增,所以f(t)≥f(1)=2.所以當t>0時,f(t)的最小值為2.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.BC【命題意圖】本題考查概率統計的基本知識,考查數學運算、數學建模、邏輯推理、數據分析的核心素養.【解析】若有一個經驗回歸方程=1-2x,隨著x的增大,會減小,A錯誤;曲線關于x=0對稱,因為P(ξ> 2)=0.2,所以P(ξ<-2)=0.2,所以P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.6,B正確;因為xi+yi= ,故sEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),1)=sEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up2(2),2),C正確;經驗回歸方程為=3x+,且樣本點(m,3)與(2,n)的殘差相等,則3-(3m+)=n-(6+)?3m+n=9,D錯誤.故選BC.10.AC【命題意圖】本題根據正弦型函數的性質、圖象的變換性質,結合已知圖象逐一判斷即可,考查三角函數的基本運算以及其圖象的應用,考查數學運算、直觀想象、邏輯推理的核心素養.【解析】由題圖知所以周期所以f在[0,π]上有兩個極值點,A正確.又所以所以因為所以令k=0,即所以所以 3,B錯誤.因為函數f(x)的周期為π,將y=f(x)圖象上的所有點沿x軸向右平移個單位長度后得到 的圖象,為偶函數,所以函數的圖象關于y軸對稱,C正確.若|f(x1)-f(x2)|=4,則|x1-x2|的最小值為錯誤.故選AC.數學參考答案第3頁(共9頁)11.ACD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質和基本不等式,考查數學運算、邏輯推理的核心素養.【解析】雙曲線的漸近線方程為.設點A(x,y)到兩條漸近線的距離分別為d1,d2,則利用點到直線的距離公式可得因為所以 2=a2b2,所以所以正確;因為所以ab≥3,B錯誤;因為,當且僅當a=b時等號成立,C正確;因為所以,當且僅當a=b時等號成立,D正確.故選ACD.12.BCD【命題意圖】本題主要考查空間中線面位置關系,考查直觀想象、數學運算的核心素養.【解析】如圖,連接CE,EM.因為平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,AE?平面AEFD,又AE⊥EF,所以AE⊥平面EBCF.所以CE為CA在平面EBCF內的射影.易得△BCF為等邊三角形,顯然CE不垂直于BF,所以AC不可能垂直于BF,A錯誤.易知BE⊥EF,所以BE⊥平面AEFD,所以∠BME為直線MB與平面AEFD所成的角.同理∠CMF為直線MC與平面AEFD所成的角.所以∠BME=∠CMF,所以tan∠BME=tan∠CMF,所因為所以FM=2EM.在平面AEFD內,以E為坐標原點,以EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(→),EF)為x軸正方向,EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up3(→),EA)為y軸正方向建立平面直角坐標系,則F(3,0),設M(x,y),則有化簡得(x+1)2+y2=4,即點M在平面AEFD內的軌跡方程為(x+1)2+y2=4(0≤x≤1,y>0),所以點M在平面AEFD內的軌跡為以(-1,0)為圓心,2為半徑的圓.易得點M在四邊形AEFD內的軌跡為該圓的一段弧,弧所對的圓心角為所以弧長為正確.要使三棱錐MBCF的體積最大,只要點M的縱坐標的絕對值最大即可.令x=又yM>0,所以,此時M到平面EBCF的最大距離為3,C正確.三棱錐MBCF外接球的球心在過△BCF的外接圓圓心且垂直于平面BCF的直線上.在三棱錐MBCF中,設點Q為等邊△BCF外接圓的圓心,設三棱錐MBCF外接球的球心為O,半徑為R,設OQ=a,則有R2=a2+4=解得,所以R2=7,所以三棱錐MBCF外接球的表面積S=4πR2=28π.D正確.故選BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.-240【命題意圖】本題主要考查二項式定理,考查數學運算的核心素養.【解析】由題意,得x3y2的系數為CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),5)23·CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(1),3)(-1)=-240.14.1【命題意圖】本題主要考查直線與圓的位置關系,考查數學運算的核心素養.【解析】由題意,易得圓C的圓心為C(0,4),半徑為2,點P(2,4)在圓C上.因為∠APB=90°,所以PA⊥PB.所以線段AB為圓C的一條不過點P的直徑.直線l:x+(m+1)y-7m-1=0與圓C相交于A,B兩點,圓心C(0,4)在直線l上,所以4(m+1)=7m+1,解得m=1.檢驗知m=1符合題意.15.x-y=0【命題意圖】本題主要考查兩函數圖象的公切線問題,考查邏輯推理、數學運算的核心素養.【解析】設曲線y=f(x)上任一點的坐標為(x,y),則該點關于直線x-y=0的對稱點為(y,x),滿足y=數學參考答案第4頁(共9頁)ex-1,則x=ey-1,化簡可得y=ln(x+1).設曲線y=ex-1上的切點為(x1,ex1-1),曲線y=ln(x+1)上的切點為(x2,ln(x2+1)),又y=ex-1的導函數為y'=ex,y=ln(x+1)的導函數為則兩式整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1),所以(x2+1)-(x2+1)=(x2+1)-1,解得x2=0,所以x1=0.所以曲線y=ex-1與曲線y=ln(x+1)的公切線的公切點為(0,0),則切線的斜率為1,故與兩曲線均相切的直線的方程為x-y=0.【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關系及最值問題,考查數學運算的核心素養.x0以直線AP的斜率k的取值范圍是(-1,1).因為以AB為直徑的圓與直線AP交于異于點A的另一點Q,所以當k=0時,直線AP為直線BQ為此時所以|AP|=1,|PQ|=1,所以當k≠0時,所以直線BQ的斜率為易得直線AP的方程為直線BQ的方程為聯立解得點Q的橫坐標是xQ= ,所以|AP|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,則f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以當且k≠0時,f'>0;當時,f'<0,所以f在區間(-1,0),上單調遞增,在區間上單調遞減,因此當時,|AP|·|PQ|取得最大值且f0,所以四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【命題意圖】本題考查正、余弦定理,二倍角公式等,考查數學運算、邏輯推理的核心素養.【解析】(1)因為cos2B+cos2C=2-2sin2A-2sinBsinC,所以1-2sin2B+1-2sin2C=2-2sin2A-2sinBsinC,即sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC.………………………2分由正弦定理得a2=b2+c2-bc,又由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得分因為A∈(0,π),所以………………5分(2)在△ABC中,由等面積法得S△ABC=S△ABD+S△ACD,數學參考答案第5頁(共9頁)即AC·AB·sinAAB·AD·sin+AC·AD·sin,即分所以……………10分18.【命題意圖】本題考查等比數列的通項和數列的求和,考查數學運算、邏輯推理的核心素養.【解析】(1)因為an+1=2an+1,所以an+1+1=2an+1+1=2(an+1).……2分又因為a1+1=2,所以{an+1}是首項為2,公比為2的等比數列.………4分(2)由(1)易知an+1=2×2n-1=2n,an=2n-1,……………5分所以分所以9分欲使不等式loga(1-a)>Sn對任意正整數n恒成立,只要loga(1-a)≥1.……………10分由題意可得a>0,a≠1且1-a>0,解得0<a<1.只需1-a≤a,解得.綜上所述,實數a的取值范圍是.…………………12分19.【命題意圖】本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望,考查數學運算、邏輯推理的核心素養.【解析】(1)(i)比賽結束時恰好進行了3局,甲奪冠的概率為乙奪冠的概率為,…………2分所以比賽結束時恰好進行了3局的概率為分(ii)X的可能取值為2,3.……………………4分分所以X的分布列如下:X23P13251225故……………8分(2)因為比賽成績Y近似地服從正態分布N(μ,σ2),所以比賽選手可獲得“參賽紀念證書”的概率:≈×0.6827+×0.9545=0.8186.200×0.8186=163.72≈164,數學參考答案第6頁(共9頁)所以估計獲得“參賽紀念證書”的選手人數為164.………12分20.【命題意圖】本題主要考查線面位置關系以及利用空間向量求二面角,考查直觀想象、數學運算的核心素養.【解析】(1)如圖,連接DC1.因為四邊形D1DCC1為菱形,∠D1DC=120°,所以∠DCC1=60°,所以DC1=2. 因為,所以AD2+DCEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1)=ACEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1),所以AD⊥DC1.…………………1分又AD⊥DC,DC∩DC1=D,所以AD⊥平面CDD1C1,所以AD⊥DE,AD⊥DC.………2分因為四邊形D1DCC1為菱形,且∠D1DC=120°,所以DD1=DC1=D1C1.因為E為棱C1D1的中點,所以DE⊥C1D1.又C1D1∥CD,所以DE⊥CD.因為DE⊥AD,AD∩,DE⊥平面ABCD.……………………4分(2)以D為坐標原點,DA,DC,DE分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.易知,所以A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,3),B1(2,1,3),所以(2,0,0).設則分因為AE∥平面BDF,所以存在唯一的λ,μ∈R,使得EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),AE)=λEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),DB)+μEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up4(→),DF)=λ(2,2,0)+μ(0,2-t,3t)=(2λ,2λ+2μ-tμ,3μt).所以2λ=-2,2λ+2μ-tμ=0解得.……………………7分所以分設平面BDF的法向量為n=(x1,y1,z1),取y1=-3,則所以平面BDF的一個法向量為………9分設平面AB1D的法向量為m=(x2,y2,z2),取y2=3,則所以平面AB1D的一個法向量為………10分設平面AB1D與平面BDF的夾角為θ,故平面AB1D與平面BDF夾角的余弦值為.………12分21.【命題意圖】本題主要考查直線與橢圓的位置關系,考查數學抽象、數學運算的核心素養.數學參考答案第7頁(共9頁)【解析】(1)根據題意,蒙日圓的半徑為13,所以a2+b2=13.因為|P1P2|=2,所以b=1,所以,所以橢圓E的標準方程為分因為直線l1過點且易知直線l1的斜率存在,所以可設直線聯立方程消去y并整理可得(12k2+1)x2+12kx-9=0.由根與系數的關系可得分因為P1(0,1),P2(0,-1),所以直線直線所以4分所以y=2,即直線AP1,BP2的交點P在直線y=2上.…………………6分(2)設直線l2與直線AP1,BP1的交點分別為C(x3,y3),D(x4,y4),則由直線直線聯立及可得分又點P1到直線l2的距離分所以只需求|CD|的最小值.由弦長公式可得數學參考答案第8頁(共9頁)xx-xx-x令3k+1=t,則僅當即時等號成立.所以|CD|的最小值為.…………………11分所以△P1CD面積的最小值為故直線AP1,BP1,l2圍成的三角形面積的最小值為.…………………12分素養.設f=lnx-x+1,則當x>1時,f'(x)<0;當0<x<1時,f'(x)>0,所以f(x)的最大值為f(1)=0.所以lnx≤x-1.…………2分所以ln(ax+bx-1)≤ax