答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁人教A版（2019）必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步章節(jié)測(cè)試卷一、單選題1．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（

）A． B． C． D．2．在正方體中，分別為、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（

）A． B． C． D．3．圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是，，側(cè)面積是，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（

）A． B． C． D．4．若m為直線，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．過平行六面體任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面平行的直線共有（

）A．4條 B．6條 C．8條 D．12條6．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．7．坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．8．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．10．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為11．下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體三、填空題12．如圖，在正方體中，，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若平面，則.13．已知圓柱的軸截面是正方形，它的面積是，那么這個(gè)圓柱的體積是．（結(jié)果中保留）14．已知正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為2.下底面邊長(zhǎng)為4，且側(cè)棱與底面所成的角是，那么這個(gè)正三棱臺(tái)的體積等于.四、解答題15．如圖所示的幾何體的上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)正方體，其中正四棱錐的高為是等邊三角形，.(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積.16．如圖，直四棱錐內(nèi)接于圓柱，PA為圓柱的母線，四邊形ABCD是底面的內(nèi)接平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面PCD；(2)若四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，且，求圓柱的表面積．17．如圖，正方體中，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)平面與平面交于直線，求證：．18．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)若，，.①點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，試問三棱錐的體積是否為定值，若是，證明并求出定值，若不是.說明理由；②求二面角的大小.19．在三棱錐中，，三棱錐的各頂點(diǎn)均在表面積為的球的球面上，且四點(diǎn)共面．(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求球心到平面的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值的最大值．《人教A版（2019）必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步章節(jié)測(cè)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案CBDCDCCCBCAC題號(hào)11答案ABD1．C【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，依題意得到，即可得到圓錐的軸截面為等邊三角形，即可得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，依題意可得，即，所以圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的頂角為．故選：C．2．B【分析】連接，異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角，由正方體性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】如圖，連接，由題意，所以異面直線與所成的角是或其補(bǔ)角，由正方體性質(zhì)知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是.故選：B.3．D【分析】求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r，R，母線長(zhǎng)為l，高為h.,由圓臺(tái)的上、下底面的面積分別是，，得所以，，由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積.故選：D.4．C【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，則可平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩條平行線有一條垂直于一個(gè)平面，則另一個(gè)必定垂直這個(gè)平面，現(xiàn)，故，故C正確；對(duì)于D，，則與可平行或相交或，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．D【分析】即：求平面平行的直線，畫出圖形判斷即可.【詳解】如圖，過平行六面體任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面平行的直線有12條.故選：D.6．C【分析】中點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是四面體的外接球的球心.【詳解】如圖，設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑，則．故選：C.7．C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫妫矫妫裕驗(yàn)椋矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)椋欣忾L(zhǎng)之和為.故選：C8．C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．9．BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋剩剩曰蚱溲a(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

11．ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋辞蝮w的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.12．【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得到，即可求的長(zhǎng).【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)槠矫妫矫妫移矫嫫矫嫠?又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).因?yàn)樵谥校?故答案為：13．【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題可得，，然后利用圓柱體積公式即得.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，它的面積是，所以，，所以這個(gè)圓柱的體積是.故答案為：.14．【分析】先由面得到，再分別在與求得與，順便求得兩者面積，從而在中可求得，即三棱臺(tái)的高，由此利用三棱臺(tái)的體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】記分別是的中心，過作，如圖，則由正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知面，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角的平面角，故，在中，由正弦定理得，即，，在中，，即，，所以在中，，即該三棱臺(tái)的高為，所以該三棱臺(tái)的體積為.故答案為：..15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而可證明，從而可得計(jì)算正四棱錐的側(cè)面積與正方體的五個(gè)面積求解；（2）根據(jù)錐體與正方體體積求解即可.【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的正三角形，所以，且，所以該幾何體的表面積.（2）連接，設(shè)交點(diǎn)為，連接，則是四棱錐的高，則，所以.又正方體的體積為，所以該幾何體的體積.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)可知，進(jìn)而可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）由題意可得，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的表面積.【詳解】（1）因?yàn)椋現(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，可知是的中位線，則，又因?yàn)椋瑒t，且平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD.（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形則為底面圓的直徑，且，設(shè)r為圓柱的底面圓半徑，l為圓柱的高，則，所以圓柱的表面積.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到，再證明出四邊形為平行四邊形，得到，從而得到線線平行，得到結(jié)論；（2）由面面平行得到線線平行；【詳解】（1）連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危剩裕仕狞c(diǎn)共面；（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫裕?8．(1)證明見解析(2)①是，證明見解析，；②【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可得證；（2）①先證明平面，可得為定值，并求之；②先證明就是二面角的平面角，再求之即可.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)椋移矫妫矫妫云矫妫唬?）①連結(jié)交于，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫渣c(diǎn)到平面的距離不變，故為定值..②過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連結(jié).在直三棱柱中，平面平面，因?yàn)椋云矫妫裕挥郑悦妫?則就是二面角的平面角.又因?yàn)椋裕裕?在直角中，，所以.19．(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，結(jié)合勾股定理可證平面，進(jìn)而可得面面垂直；（2）分析可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離；（3）過點(diǎn)作，分析可知直線與平面所成角為，結(jié)合基本不等式求其最值即可.【詳解】（1）設(shè)球的半徑為，則，解得，設(shè)的外接圓半徑為，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，可知的外接圓圓