第十章概率10.2事件的相互獨立性復(fù)習(xí)回顧事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含相等并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立

互為對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定互為對立.

A與B至少一個發(fā)生A與B同時發(fā)生A?B或A+BA?BA=BA?B=ABA與B不能同時發(fā)生A與B有且僅有一個發(fā)生A?B=?A?B=?，A?B=ΩA?B且B?A復(fù)習(xí)回顧性

質(zhì)1性質(zhì)2

性質(zhì)3

性質(zhì)4

性質(zhì)5性質(zhì)6

對任意的事件A，都有P(A)≥0.必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(

)=0.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B).若事件A與事件B互為對立事件，則P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).(概率的單調(diào)性)若A?B，則P(A)≤P(B).設(shè)A、B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).概率的性質(zhì)1.理解相互獨立事件的概念及意義2.能記住相互獨立事件概率的乘法公式；3.能綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題

4.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念.5.能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題．學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率性質(zhì)，還研究過和事件的概率計算方法。對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎？我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生．因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關(guān)．那么，這種關(guān)系會是怎樣的呢？下面我們來討論一類與積事件有關(guān)的特殊問題．性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).互斥事件概率加法公式性質(zhì)6

設(shè)A、B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.新知講解

新知講解

新知講解

新知講解

通俗地說，對于兩個事件A，B，如果其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．獨立事件概率乘法公式

新知講解探究2：必然事件Ω、不可能事件

與任意事件相互獨立嗎？必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響不可能事件一定不會發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響它們也都不影響其他事件的發(fā)生一方面：另一方面：由兩個事件相互獨立的定義，易知：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)P(A

)=P(

)=P(A)P(

)成立

結(jié)論新知講解探究3：互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?即需驗證①A與B、②A與B、③A與B是否也相互獨立？例如證①若事件A,B相互獨立，則A與B、A與B、A與B也相互獨立.結(jié)論新知講解探究4：我們知道，如果三個事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當(dāng)三個事件A,B,C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

課本P252-2.設(shè)樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請驗證A,B,C三個事件兩兩獨立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,

P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.P(A)P(B)P(C)=1/8,

P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三個事件兩兩獨立,一般不成立新知講解探究5：互斥事件與相互獨立的事件有什么區(qū)別？互斥事件相互獨立事件

概念

符號

計算

公式不可能同時發(fā)生的兩個事件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A·B)=P(A)·P(B)互斥事件A、B中至少有一個發(fā)生,記作:A∪B相互獨立事件A、B同時發(fā)生記作:AB典例分析例1：一個袋子中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異．采用不放回方式從中任意摸球兩次．設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個樣本點.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨立.歸納總結(jié)

鞏固練習(xí)P252T11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？鞏固練習(xí)【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列正確的是()A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立B

典例分析例2：甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶．解：由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB與AB互斥，典例分析例2：甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶．解：由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，典例分析例2：甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶．解：由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，（4）典例分析例2：甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶．解：由于兩個人射擊的結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨立，（4）方法二：歸納總結(jié)

1.對事件進(jìn)行分解：一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率；

另一方面分解為獨立的事件，利用事件同時發(fā)生(乘法)求出概率.已知兩個事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A∪B2.對事件分解時，要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”

“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.(2)A,B中至多有一個發(fā)生為事件(3)A,B恰好有一個發(fā)生為事件

(5)A,B都不發(fā)生為事件(4)A,B都發(fā)生為事件AB

求較為復(fù)雜事件的概率的方法

(6)A,B不都發(fā)生為事件鞏固練習(xí)P253T33、天氣預(yù)報報道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內(nèi)：(1)甲、乙兩地都降雨的概率；(2)甲、乙兩地都不降雨的概率；(3)至少一個地方降雨的概率

典例分析例3：

即兩輪活動中“甲對1個,乙對2個”或“甲對2個,乙對1個”解：典例分析例12：為了推廣一種新飲料,某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料。若從一箱中隨機(jī)抽出2罐,能夠中獎的概率為多少？

設(shè)不中獎的4罐記為1,2,3,4,中獎的2罐記為a,b，隨機(jī)抽2罐中有一罐中獎，就表示能中獎，其樣本空間為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，

(3,4)，(3,a)，(3,b)，

(4,a)，(4,b)，

(a,b).

共15個樣本點.而中獎的樣本點有9個，所以追問

還有另外方法求解此題嗎？能中獎的概率為

上述解法沒有考慮順序，其結(jié)果是一樣的.鞏固練習(xí)

解析：把一枚