第九章

統計9.2用樣本估計總體9.2.4總體離散程度的估計復習回顧總體取值規律的估計總體百分位數的估計總體集中趨勢的估計頻率分布直方圖條形圖、扇形圖、折線圖等由樣本數據求第p百分位數由頻率分布直方圖估計第p百分位數平均數、中位數、眾數四圖四數概念公式總體均值(總體平均數)樣本均值(樣本平均數)

復習回顧問題3

有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：

甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練，你應當如何對這次射擊作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？追問1

甲、乙兩人本次射擊成績的平均數、中位數、眾數分別為多少環？甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數、中位數、眾數都是7從這個角度看，兩名運動員之間沒有差別課堂探究追問2

觀察下圖，你能說明兩人水平差異在哪里嗎？甲成績比較分散乙成績相對集中環數頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環數頻率0.40.30.20.14567

8910O（乙）甲44577789910乙5667777889甲78795491074乙9578768677課堂探究追問3

如何度量成績的這種差異呢?

極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度.但極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，對其他數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.追問4

極差在分析估計時有何優缺點?課堂探究思考1你還能想出其他刻畫數據離散程度的辦法嗎?如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績比較遠.因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.課堂探究思考2

為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用總距離可以嗎？總距離和樣本量有關例如，從一個總體中抽取兩組樣本，但兩組的樣本量不同，一個為100，另一個為1000，如果用總距離，兩者之間會相差很大，但“平均距離”相差不大！所以用“平均距離”刻畫離散程度比較合理.課堂探究思考3如何定義“平均距離”？

避免絕對值,改用平方代替

課堂探究有時為了計算方便，我們還把方差寫成以下形式：方差

方差也可以寫成加權的形式.若n個數據中，不同的值有k個，不妨記為x1，x2，…，xk，其中xi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則這組數據的方差為：課堂探究？

課堂探究由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開方，取它的算數平方根，即我們稱(2)式為這組數據的標準差.思考3

方差或標準差的取值范圍是什么？

方差或標準差為0的一組數據有什么特點？方差或標準差的取值范圍是[0,+∞)，方差或標準差為0的樣本所有數據都相等.標準差課堂探究這樣，我們從定義一組數據的“平均距離”出發，經歷了兩次改進的過程，獲得了刻畫一組數據離散程度的標準差，即

課堂探究總體方差、總體標準差如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標準差

．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為：樣本方差、樣本標準差如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標準差

．課堂探究標準差和方差刻畫了數據的_______程度或波動幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越____，越不穩定；標準差（或方差）越小，數據的離散程度越____，越穩定．離散大小

在實際問題中，總體平均數和總體標準差都是未知的.就像用樣本平均數估計總體平均數一樣，通常我們也用樣本標準差（或方差）去估計總體標準差（或方差）.

在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性.課堂探究顯然，在刻畫數據的離散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用標準差.單位一致追問

如何對問題3中，甲乙運動員做出選擇？

甲44577789910乙5667777889

甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.說明乙比甲的射擊成績穩定.課堂探究如果這是一次選拔性考核，你應當如何做出選擇？

如果要從這兩名選手中選擇一名參賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.

如果兩人都排在前面，就選成績穩定的乙選手；如果兩人都排在后面，希望比賽時超常發揮的，建議選成績標準差大的甲.課堂探究例6

在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高作出估計嗎？解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，平均數記為x，方差記為sx2

;把女生樣本記為:y1，y2，…，y27，平均數記為y，方差記為sy2

;把總樣本數據的平均數記為z，方差記為s2

.則典例精研根據方差的定義，總樣本方差為典例精研典例精研典例精研

根據按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數與各層樣本平均數的關系，可得總樣本平均數為∴總樣本的方差為51.4682，估計高一年級全體學生的身高的方差為51.4862.男生樣本方差12.59，女生樣本方差38.62？說明分層隨機抽樣的效果好分層抽樣總樣本方差的計算（以分兩層的樣本為例）把第一層樣本記為:

x1，x2，…，xm，平均數記為x，方差記為sx2;把第二層樣本記為:

y1，y2，…，

yn，平均數記為y，方差記為sy2

;把總樣本數據的平均數記為z，方差記為s2

.則總結提升

樣本標準差刻畫了數據離平均數波動的幅度大小,平均數和標準差一起能反映數據取值的信息.

例如，根據9.2.1節中100戶居民用戶的月均用水量數據，可以計算出樣本平均數和樣本標準差分別為

可以發現，這100個數據中大部分落在區間=[2.59，14.99]內，在區間=[-3.61，21.19]外的只有7個.也就是說，絕大部分數據落在

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鞏固訓練

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2.甲、乙兩支田徑隊體檢結果為：甲隊的體重的平均數為60kg，方差為200，乙隊體重的平均數為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？

鞏固訓練3.將某班40名學生平均分成兩組，兩組學生

某次考試的成績情況如表所示：求該班學生這次考試成績的平均數和標準差.組別平均數標準差第一組904第二組806

鞏固訓練4.(1)若樣本數據x1，x2，…，x10的平均數為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均數為()A．8 B．15C．16 D．32B(2)若樣本數據x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為()A．8 B．15C．16 D．32C(3)若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標準差為()A．8 B．15C．16 D．32D鞏固訓練

數據平均數標準差方差x1，…，xnax1+b，…，axn+b

鞏固訓練鞏固訓練5平均數、方差性質總結提升6.在去年的足球聯賽上，一隊每場比賽平均失球數是1.5，全年比賽失球個數的標準差為1.1；二隊每場比賽平均失球數是2.1，