旋轉性質的題目及答案1.題目：已知點A(2,3)，點B(4,5)，點C(6,7)，求點A繞點B旋轉90度后的新坐標。答案：首先，我們需要找到點A相對于點B的向量，即向量AB。向量AB的坐標為(4-2,5-3)=(2,2)。接下來，我們將向量AB繞原點旋轉90度。旋轉90度后，向量的坐標變為(-2,2)。最后，我們將旋轉后的向量加到點B的坐標上，得到點A的新坐標。因此，點A的新坐標為(4-2,5+2)=(2,7)。2.題目：已知直線l的方程為y=2x+3，求直線l繞原點旋轉45度后的新方程。答案：直線l的斜率為2，旋轉45度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計算：k'=(k+tan(45°))/(1-ktan(45°))。將k=2代入公式，得到k'=(2+1)/(1-21)=-3。因此，旋轉后的直線方程為y=-3x。但是，由于旋轉后直線可能經過原點，我們需要檢查這一點。將x=0代入原方程，得到y=3，所以原點不在直線l上。因此，旋轉后的直線方程為y=-3x+3。3.題目：已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，求圓C繞原點旋轉60度后的新方程。答案：圓C的圓心為(1,2)，半徑為3。首先，我們需要找到圓心繞原點旋轉60度后的新坐標。圓心的向量為(1,2)，旋轉60度后，向量的坐標變為(1cos(60°)-2sin(60°),1sin(60°)+2cos(60°))=(-1,√3)。因此，旋轉后的圓心為(-1,√3)。由于圓的半徑不變，旋轉后的圓方程為(x+1)^2+(y-√3)^2=9。4.題目：已知點A(3,4)，點B(6,8)，求點A繞點B旋轉180度后的新坐標。答案：點A繞點B旋轉180度后，新坐標可以通過以下公式計算：(x',y')=(2xB-xA,2yB-yA)。將點A和點B的坐標代入公式，得到新坐標為(26-3,28-4)=(9,12)。5.題目：已知直線l的方程為y=x+1，求直線l繞點(2,2)旋轉30度后的新方程。答案：直線l的斜率為1，旋轉30度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計算：k'=(k+tan(30°))/(1-ktan(30°))。將k=1代入公式，得到k'=(1+√3/3)/(1-1√3/3)=2+√3。因此，旋轉后的直線方程為y-2=(2+√3)(x-2)。整理后得到：y=(2+√3)x-4-2√3。6.題目：已知圓C的方程為(x-3)^2+(y-4)^2=16，求圓C繞點(1,1)旋轉45度后的新方程。答案：圓C的圓心為(3,4)，半徑為4。首先，我們需要找到圓心繞點(1,1)旋轉45度后的新坐標。圓心的向量為(3-1,4-1)=(2,3)，旋轉45度后，向量的坐標變為(2cos(45°)-3sin(45°)+1,2sin(45°)+3cos(45°)+1)=(1-√2,1+√2)。因此，旋轉后的圓心為(1-√2,1+√2)。由于圓的半徑不變，旋轉后的圓方程為(x-(1-√2))^2+(y-(1+√2))^2=16。7.題目：已知點A(5,6)，點B(8,10)，求點A繞點B旋轉120度后的新坐標。答案：點A繞點B旋轉120度后，新坐標可以通過以下公式計算：(x',y')=(xB+(xA-xB)cos(120°)-(yA-yB)sin(120°),yB+(xA-xB)sin(120°)+(yA-yB)cos(120°))。將點A和點B的坐標代入公式，得到新坐標為(8+(5-8)(-1/2)-(6-10)(-√3/2),10+(5-8)(-√3/2)+(6-10)(-1/2))=(7+√3,8-√3)。8.題目：已知直線l的方程為y=-x+2，求直線l繞點(0,0)旋轉60度后的新方程。答案：直線l的斜率為-1，旋轉60度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計算：k'=(k+tan(60°))/(1-ktan(60°))。將k=-1代入公式，得到k'=(-1+√3)/(1+√3)=√3-1。因此，旋轉后的直線方程為y=(√3-1)x。9.題目：已知圓C的方程為(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圓C繞點(4,4)旋轉30度后的新方程。答案：圓C的圓心為(2,3)，半徑為5。首先，我們需要找到圓心繞點(4,4)旋轉30度后的新坐標。圓心的向量為(2-4,3-4)=(-2,-1)，旋轉30度后，向量的坐標變為(-2cos(30°)-(-1)sin(30°)+4,-2sin(30°)+(-1)cos(30°)+4)=(3-√3,4-√3)。因此，旋轉后的圓心為(3-√3,4-√3)。由于圓的半徑不變，旋轉后的圓方程為(x-(3-√3))^2+(y-(4-√3))^2=25。10.題目：已知點A(7,8)，點B(9,11)，求點A繞點B旋轉135度后的新坐標。答案：點A繞點B旋轉135度后，新坐標可以通過以下公式計算：(x',y')=(xB+(xA-xB)cos(135°)-(yA-yB)sin(135°),yB+(xA-xB)sin(135°)+(yA-yB)c