虛數證明幾何題目及答案1.題目：證明復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)）的模\(|z|\)滿足\(|z|^2=a^2+b^2\)。答案：首先，根據復數的模的定義，我們有\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。然后，對兩邊進行平方，即：\[|z|^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2\]因此，我們證明了\(|z|^2=a^2+b^2\)。2.題目：證明對于任意兩個復數\(z_1=a+bi\)和\(z_2=c+di\)（其中\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)），它們的乘積\(z_1z_2\)的模等于它們各自模的乘積，即\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)。答案：根據復數乘法的定義，我們有：\[z_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\]因此，\(z_1z_2\)的模為：\[|z_1z_2|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}\]展開并簡化得：\[|z_1z_2|=\sqrt{a^2c^2+b^2d^2+2abcd-2abcd}=\sqrt{a^2c^2+b^2d^2}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=|z_1||z_2|\]從而證明了\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)。3.題目：證明對于任意復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），其共軛復數\(\overline{z}=a-bi\)的模等于\(z\)的模，即\(|\overline{z}|=|z|\)。答案：根據共軛復數的定義，我們有：\[|\overline{z}|=|a-bi|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|\]因此，證明了\(|\overline{z}|=|z|\)。4.題目：證明對于任意復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），其模的平方等于其實部平方與虛部平方之和，即\(|z|^2=a^2+b^2\)。答案：這實際上是第一個題目的重復，證明過程與第一個題目相同。5.題目：證明對于任意兩個復數\(z_1=a+bi\)和\(z_2=c+di\)（其中\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)），它們的和\(z_1+z_2\)的模小于等于它們各自模的和，即\(|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\)。答案：根據三角不等式，我們有：\[|z_1+z_2|=|(a+c)+(b+d)i|=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}\]根據實數的三角不等式，我們知道：\[(a+c)^2\leq(|a|+|c|)^2\quad\text{和}\quad(b+d)^2\leq(|b|+|d|)^2\]因此：\[|z_1+z_2|\leq\sqrt{(|a|+|c|)^2+(|b|+|d|)^2}\leq\sqrt{|a|^2+|b|^2}+\sqrt{|c|^2+|d|^2}=|z_1|+|z_2|\]從而證明了\(|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\)。6.題目：證明對于任意復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），其模的平方等于其共軛復數的模的平方，即\(|z|^2=|\overline{z}|^2\)。答案：這實際上是第三個題目的重復，證明過程與第三個題目相同。7.題目：證明對于任意復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），其模的平方等于其與共軛復數乘積的實部，即\(|z|^2=\text{Re}(z\overline{z})\)。答案：根據復數乘法的定義，我們有：\[z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2\]因此，\(z\overline{z}\)的實部為\(a^2+b^2\)，即\(|z|^2\)。從而證明了\(|z|^2=\text{Re}(z\overline{z})\)。8.題目：證明對于任意復數\(z=a+bi\)（其中\(a,b\in\mathbb{R}\)），其模的平方等于其與共軛復數乘積的模的平方，即\(|z|^2=|z\overline{z}|\)。答案：根據復數模的性質，我們有：\[|z\overline{z}|=|(a+bi