2/2三角形全等幾何模型-共頂角（點）模型（專項練習）共頂角（點）模型：共頂角（點）模型，就是欲證全等的兩個三角形有相同角或對應角在同一個頂點上。一、單選題1．如圖，與相交于點O，，不添加輔助線，判定的依據是（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，當在內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），現給出以下四個結論：①②是等腰直角三角形；③④；其中所有正確結論的序號為（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④3．如圖，已知，則的度數為（

）A． B． C． D．4．如圖，點D在AB上，點E在AC上，①AB＝AC，②∠B＝∠C，③∠BFD＝∠CFE，④BE＝CD，⑤AE＝AD．五個條件中，能使的序號組合是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③⑤5．如圖，，增加下列條件可以判定的是（

）A． B． C． D．6．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點C與坐標原點重合，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點A的坐標為（-2，5），則線段DE的長為（）A． B． C． D．7．如圖，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依據是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS8．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD相交于點O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么還不能判定△ABE≌△ACD，補充下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB9．如圖，BC⊥CE，BC=CE，AC⊥CD，AC=CD，DE交AC的延長線于點M，M是DE的中點，若AB=8，則CM的長為（

）A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.810．如圖，點E是△ABC內一點，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F，若AB=6，EF=1，則線段AC的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．如圖，在和中，，，，線段BC的延長線交DE于點F，連接AF．若，，，則線段EF的長度為（

）A．4 B． C．5 D．12．平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠BPD的度數為（）A．110° B．125° C．130° D．155°二、填空題13．如圖，點D、E是線段AB、AC上的兩點，且AB＝AC．再添加一個條件可以使得△ACE≌△ACD，你添加的條件是______．（只需填一種情況）14．如圖，已知BE＝DC，請添加一個條件，使得△ABE≌△ACD：_____．15．如圖，AD，BE是的兩條高線，只需添加一個條件即可證明（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是______（寫出一個即可）．16．如圖，OP平分∠MON，過點P的直線與OM，ON分別相交于點A，B，只需添加一個條件即可證辱，這個條件可以是___（寫出一個即可）．17．已知：如圖，AC＝DC，∠1＝∠2，請添加一個已知條件：_____，使ABCDEC．18．如圖，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的條件是________(只需寫出一個條件)．19．如圖，在中，，，，分別在，，上，且，，，則的度數是_____．（用含的代數式表示）20．如圖，，，，，，則______．21．如圖，與的頂點A、B、D在同一直線上，，，，延長分別交、于點F、G．若，，則______．22．如圖，已知，，添加一個條件，使，你添加的條件是______（填一個即可）．23．如圖，已知，，，B、D、E三點在一條直線上．若，，則的度數為___________．24．如圖，BE交AC于點M，交CF于點D，AB交CF于點N，，給出的下列五個結論中正確結論的序號為．①；②；③；④；⑤．25．如圖，點B、C、E三點在同一直線上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，則∠3＝______°．三、解答題26．已知，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的速度均為1cm/s．當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s）．（1）如圖1，連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數．（2）如圖2，當t為何值時，△PBQ是直角三角形？（3）如圖3，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，請直接寫出∠CMQ度數．27．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點E，F分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F重合），過點A作AG⊥AH且AG＝AH，連接GC，HB．（1）證明：AHB≌AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②當AQG為等腰三角形時，求∠AHE的度數．28．在中，∠BAC＝90°，，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為直角邊在AD右側作等腰直角三角形ADE（，），連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，猜想：BC與CE的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，（1）題的結論是否仍然成立？說明理由；（3）如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，結論（1）題的結論是否仍然成立？不需要說明理由．參考答案1．B【分析】根據，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．解：∵在△ABO和△DCO中，，∴，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握兩邊對應相等，且其夾角也對應相等的兩個三角形全等，是解題的關鍵．2．A【分析】利用旋轉的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根據全等三角形的性質對題中的結論逐一判斷．解：如圖，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠BAC=90°，P是BC中點，∴AP=CP，∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠1=∠2，在△APE與△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正確；②由△APE≌△CPF得到PE=PF，∵∠EPF是直角，∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確；③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF，則S四邊形PEAF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC，故③正確；④∵EF大小是變化的，而AP不變，所以EF不一定等于AP∴④錯誤；正確結論為①②③，共3個．故選：A．【點撥】此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質，綜合利用了全等三角形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．3．C【分析】首先根據已知條件證明，再利用等腰三角形求角度即可．解：∵，∴，∴，在與中，∵，∴（SAS），∴，，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查三角形全等的證明，利用已知條件進行證明是解題的關鍵．4．A【分析】根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．解：A．①②在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），故本選項符合題意；B.②③，C.①④，D.③⑤都不能證明△ABE≌△ACD，故都不符合題意．故選：A．【點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形可以用HL．5．B【分析】利用全等三角形的判定，逐項判斷即可求解．解：根據題意得：，，A、添加，無法判定，故本選項錯誤，不符合題意；B、添加，可利用角邊角判定，故本選項正確，符合題意；C、添加，無法判定，故本選項錯誤，不符合題意；D、添加，無法判定，故本選項錯誤，不符合題意；故選：B【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．6．D【分析】由等腰直角三角形的性質得出OA=BO，∠AOB=90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質得出AD=OE=5，OD=BE=2，則可得出答案．解：∵A（-2，5），AD⊥x軸，∴AD=5，OD=2，∵△ABO為等腰直角三角形，∴OA=BO，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，∴∠DAO=∠BOE，在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴AD=OE=5，OD=BE=2，∴DE=OD+OE=5+2=7．故選：D．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．7．D【分析】根據題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以寫出相應的全等三角形，并寫出判定依據．解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故選：D．【點撥】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數形結合的思想解答．8．B【分析】根據題目中的條件和各個選項中的條件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪個選項中的條件，不能判定△ABE≌△ACD，從而可以解答本題．解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵∠BAE=∠CAD，∴補充條件AD=AE時，△ABE≌△ACD（SAS），故選項A不符合題意；補充條件BE=CD，無法判斷△ABE≌△ACD，故選項B符合題意；補充條件OB=OC時，則∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，則△ABE≌△ACD（ASA），故選項C不符合題意；補充條件∠BDC=∠CEB時，則∠AEB=∠ADC，則△ABE≌△ACD（AAS），故選項D不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定的知識，解答本題的關鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數形結合的思想解答．9．C【分析】過點E作EF⊥AC，交AC的延長線于點F，先證明△DCM≌△EFM（AAS），得到CM＝FM，CD＝FE，再證明△ABC≌△FCE（SAS），得到FC＝AB＝8，利用CM＝FC得到答案．解：如圖，過點E作EF⊥AC，交AC的延長線于點F，∵CD⊥AC，EF⊥AC∴∠DCM＝∠EFM＝90°∵M是DE的中點∴DM＝EM∵∠DMC＝∠EMF∴△DCM≌△EFM（AAS）∴CM＝FM，CD＝FE∵BC⊥CE，EF⊥AC∴∠BCE＝90°，∠CFE＝90°∴∠ACB＋∠ECF＝90°，∠ECF＋∠FEC＝90°∴∠ACB＝∠FEC∵AC＝CD∴AC＝FE∵BC＝CE∴△ABC≌△FCE（SAS）∴FC＝AB＝8∵CM＝FM∴M是FC的中點∴CM＝FC＝4故選：C【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握三角形的判定方法是基礎，添加輔助線構造全等三角形是關鍵．10．B【分析】延長交于，證明，根據全等三角形的性質求出，根據三角形中位線定理解答即可．解：延長交于，平分，，在和中，，，，，，，，，，，故選：B．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．11．B【分析】證明，，根據全等三角形對應邊相等，得到，，由解得，繼而解得，最后由解答．解：，，，，，，故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質、線段的和差等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．12．C【分析】易證△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質可知：∠A＝∠B，再根據已知條件和四邊形的內角和為360°，即可求出∠BPD的度數．解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，∴∠BCA＝∠ECD，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠BCA+∠ECD＝100°，∴∠BCA＝∠ECD＝50°，∵∠ACE＝55°，∴∠ACD＝105°∴∠A+∠D＝75°，∴∠B+∠D＝75°，∵∠BCD＝155°，∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的內角和定理以及四邊形的內角和定理，解題的關鍵是利用整體的數學思想求出∠B+∠D＝75°．13．AB＝AD（答案不唯一）【分析】根據全等三角形的判定定理即可求解．解：添加AE＝AD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案為AE＝AD（答案不唯一）【點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．14．∠B＝∠C【分析】根據全等三角形的判定方法解答即可．解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，∴根據AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案為：∠B＝∠C．【點撥】本題考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型．15．（答案不唯一）【分析】根據已知條件可知，故只要添加一條邊相等即可證明．解：添加，AD，BE是的兩條高線，，在與中，．故答案為：（答案不唯一）．【點撥】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．16．答案不唯一，如OA＝OB【分析】添加OA=OB，根據OP平分∠MON，得出∠AOP=∠BOP，利用SAS證明△AOP≌△BOP解：添加OA=OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），故答案為OA=OB（答案不唯一）．【點撥】本題考查添加條件判定三角形全等，掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．17．【分析】已知給出了∠1＝∠2，可得三角形中一對應角相等，又有一邊對應相等，根據邊角邊判定定理，補充BC＝AC可得ABCDEC答案可得．解：∵∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD，又AC＝DC，添加BC＝CE，∴ABCDEC（SAS）．故答案為：BC＝EC．【點撥】此題考查了三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解題的關鍵是添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件．18．DC=AC（答案不唯一）【分析】由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定兩個三角形全等．解：添加的條件是DC=AC，理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ECD=∠BCA，在△ECD和△BCA中，，∴△ECD≌△BCA（SAS）．故答案為DC=AC．【點撥】本題考查了全等三角形的判定定理．熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．19．180°?2α【分析】根據已知條件可推出△BDF≌△CDE，從而可知∠EDC＝∠FDB，則∠EDF＝∠B．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS）∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°?∠A）÷2＝90°?∠A，∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°?2α，故答案為：180°?2α．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質及三角形內角和定理；此題能夠發現全等三角形，再根據平角的定義和三角形的內角和定理發現∠EDF＝∠B．再根據三角形的內角和定理以及等腰三角形的性質進行推導．20．17【分析】由AAS證明△ABC≌△EFC，得出對應邊相等AC=EC，BC=CF=9，求出EC，即可得出AC的長．解：∵AC⊥BE，∴∠ACB=∠ECF=90°，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC≌△EFC，∵BE=26，CF=9，∴AC=EC，BC=CF=9，∵EC=BE-BC=26-9=17，∴AC=EC=17．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．21．##110度【分析】先證明△ABC≌△EDB，可得∠E=，然后利用三角形外角的性質求解．解：∵，∴∠ABC=∠D，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB，∴∠E=，∴，，∴∠EGF=30°+50°=80°，∴80°+30°=110°，故答案為：110°．【點撥】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形外角的性質，熟練掌握三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和是解答本題的關鍵．22．（答案不唯一）【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，先根據∠BCE＝∠ACD求出∠BCA＝∠DCE，再根據全等三角形的判定定理SAS推出即可．解：添加的條件是CB＝CE，理由是：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA，∴∠BCA＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．【點撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．23．25°【分析】先證明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性質：對應角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根據三角形外角的性質求∠1即可．解：∵，∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，∴∠1＝∠CAE；在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠2＝30°；∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性質）∴∠1＝25°．故答案為：25°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質，三角形的外角性質；將所求的角與已知角通過全等及內角、外角之間的關系聯系起來是解答此題的關鍵．24．①；②；③；⑤【分析】①先證明△ABE≌△ACF，然后根據全等三角形的性質即可判定；②利用全等三角形的性質即可判定；③根據ASA即可證明三角形全等；④無法證明該結論；⑤根據ASA證明三角形全等即可．解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，故②正確，∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠1=∠2，故①正確，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，在△CAN和△BAM中，，∴△CAN≌△BAM（ASA），故③正確，CD=DN不能證明成立，故④錯誤在△AFN和△AEM中，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正確．結論中正確結論的序號為①；②；③；⑤．故答案為①；②；③；⑤．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．25．47【分析】根據“邊邊邊”證明，再根據全等三角形的性質可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可．解：在△ABC和△ADE中，，∴（SSS），∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，∵，∴，∴．故答案為：47．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．26．（1）不變，60°；（2）或；（3）120°．【分析】（1）通過證△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；（3）通過證△ABQ≌△CAP得到∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．解：（1）不變．在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t，①當∠PQB=90°時，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，∴4-t=2t，；②當∠BPQ=90°時，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，∴t=2（4-t），t=；∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（3）在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．27．（1）見分析；（2）①見分析；②當△AQG為等腰三角形時，∠AHE的度數為67.5°或90°．【分析】（1）根據SAS可證明△AHB≌△AGC；（2）①證明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，從而根據兩角的和可得結論；②分兩種情況：i）如圖3，AQ=QG時，ii）如圖4，當AG=QG時，分別根據等腰三角形的性質可得結論．解：（1）證明：如圖1，由旋轉得：AH=AG，∠HAG=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAH=∠CAG，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵點E，F分別為AB，AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG=∠AEH=45°，∴∠HFG=45°+45°=90°；②分兩種情況：i）如圖3，AQ=QG時，∵AQ=QG，∴∠QAG=∠AGQ，∵AG⊥AH且AG=AH，∴∠AHG=∠AGH=45°，∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，∴∠EAH=∠FAH=45°，∵AE=AF，AH=AH，∴△AEH≌△AFH（SAS），∴∠AHE=∠AHF，∵∠AHE+∠AHF=180°，∴∠AHE=∠AHF=90°；ii）如圖4，當AG=QG時，∠GAQ=∠AQG，∵∠AEH=∠AGQ=45°，∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，∵∠EAQ=∠HAG=90°，∴∠EA