第1頁(yè)/共1頁(yè)2025上海高考真題數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果）1.已知全集，集合，則_________．2.不等式的解集為_(kāi)________．3.己知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為_(kāi)________．4.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________．5.函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)________．6.已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望_________．7.如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為_(kāi)________．8.設(shè)，則的最小值為_(kāi)________．9.4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有_________種．10.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是_________．11.小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長(zhǎng)為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B，它們?cè)陉?yáng)光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽(yáng)光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長(zhǎng)度為0.45米．則斜面的底角_________．（結(jié)果用角度制表示，精確到）12.已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則可的取值范圍是_______．二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.）13.己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.014.設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且15.已知，C在上，則的面積（）A.有最大值，但沒(méi)有最小值 B.沒(méi)有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值16.已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為，、，.若對(duì)任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.1個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)三、解答題（本大題共5題，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.）17.2024年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運(yùn)會(huì)男子米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；（2）從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；（3）若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)（精確到0.01秒）．18.如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．（1）若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；（2）已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．19.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；20.已知橢圓，，A是的右頂點(diǎn)．（1）若的焦點(diǎn)，求離心率e；（2）若，且上存在一點(diǎn)P，滿足，求m；（3）已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點(diǎn)，為鈍角，求a的取值范圍．21.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)于正實(shí)數(shù)a，定義集合．（1）若，判斷是否是中的元素，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，求a的取值范圍；（3）若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，均有．寫(xiě)出，解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．

參考答案一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果）1.【答案】##【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的含義知.故答案為：.2.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解出即可.【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為，解得，則其解集為.故答案為：.3.【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：4.【答案】【分析】利用通項(xiàng)公式求解可得.【詳解】由通項(xiàng)公式，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.5.【答案】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在上的值域?yàn)?故答案為：.6.【答案】【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.【詳解】由題設(shè)有.故答案為：.7.【答案】【分析】求出側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)后可求體積.【詳解】因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危剩剩剩仕篌w積為，故答案為：.8.【答案】4【分析】靈活利用“1”將展開(kāi)利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故答案為：49.【答案】288【分析】先選家長(zhǎng)作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.【詳解】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有種排法；再排對(duì)中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：28810.【答案】【分析】先設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及概念確定，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，則，又，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，如圖所示即線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圖象可知，所以.故答案為：11.【答案】【分析】先根據(jù)在處的旗桿算出陽(yáng)光和水平面的夾角，然后結(jié)合處的旗桿算出斜面角.【詳解】如圖，在處，，在處滿足，（其中水平面，是射過(guò)處桿子最高點(diǎn)的光線，光線交斜面于），故設(shè)，則，由勾股定理，，解得，于是故答案為：12.【答案】【分析】利用分段函數(shù)值分類(lèi)討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳解】若，則，又三個(gè)向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量?jī)蓛纱怪保@然不成立；故.不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.）13.【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可求.【詳解】因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故，故選：B.14.【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論與1的關(guān)系即可判定選項(xiàng).【詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)若，則一定有成立，故D正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯(cuò)誤.故選：D15.【答案】A【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無(wú)最小值，即中，邊上的高有最大值，無(wú)最小值，又一定，故面積有最大值，無(wú)最小值.故選：A16.【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點(diǎn)恒在線段上，則有.即對(duì)任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故至多個(gè)零點(diǎn)，又由，可知存在個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，且.①若，即時(shí)，此時(shí)或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時(shí)，此時(shí).則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：B.三、解答題（本大題共5題，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.）17.【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成績(jī)平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預(yù)測(cè)可得.【小問(wèn)1詳解】由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，則極差為；數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，則中位數(shù)為.故極差為，中位數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】由題意，數(shù)據(jù)共個(gè)，以上數(shù)據(jù)共有個(gè)，故設(shè)事件“恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上”，則，故恰有個(gè)數(shù)據(jù)在以上的概率為；【小問(wèn)3詳解】由題意，成績(jī)的平均數(shù)，由直線過(guò)，則，故回歸直線方程為.當(dāng)時(shí),.故預(yù)測(cè)年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)槊?18.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【小問(wèn)1詳解】由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長(zhǎng)為，則側(cè)面積為：;【小問(wèn)2詳解】由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面19.【答案】（1）（2）且.【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋剩剩剩始礊椋O(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.【小問(wèn)2詳解】在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無(wú)極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由方程可得，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，從而求出得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由向量關(guān)系坐標(biāo)化可解得坐標(biāo)，代入橢圓方程可得；（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式，再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)不等式求解可得范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，則，由右焦點(diǎn)，可知，則，故離心率.【小問(wèn)2詳解】由題意，由得，，解得，代入，得，又，解得.【小問(wèn)3詳解】由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，則，解得，由得中點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線，顯然直線過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)，故直線與橢圓恒有兩不同交點(diǎn)，設(shè)，由消得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)闉殁g角，則，且，則有，所以，即，解得，又，故，即的取值范圍是.21.【答案】（1）不是；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接代入計(jì)算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)使得，分析得，再計(jì)算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫(huà)出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時(shí)解析式，再分析出，最后對(duì)的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論即可.【小問(wèn)1詳解】（1），，則不是中的元素.【小問(wèn)2詳解】法一：因?yàn)椋瑒t存在實(shí)數(shù)使得，且，當(dāng)時(shí)，，其在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其在上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，假設(shè)交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組得【小問(wèn)3詳解】（3）對(duì)任意，因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，則，而，所以，所