2025年統計學期末考試題庫：數據分析計算題綜合測試試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述統計要求：請根據所給數據，完成以下計算題。1.某班級共有40名學生，他們的平均成績為75分，方差為100，請計算該班級的標準差。2.某工廠生產一批產品，抽取5個樣本，得到的質量指標分別為：10克、12克、14克、13克、11克，請計算這批產品的平均質量、方差和標準差。3.某地區居民家庭月收入分布如下：10000元以下的有1000戶，10000-20000元的有2000戶，20000-30000元的有3000戶，30000-40000元的有4000戶，40000元以上的有5000戶。請計算該地區居民家庭月收入的中位數。4.某商店在一個月內銷售了100件商品，其中80件的價格在100元以下，20件的價格在100元以上。請計算該商店商品價格的平均數。5.某班級學生的身高分布如下：身高在150cm以下的有10人，150cm-160cm的有15人，160cm-170cm的有20人，170cm-180cm的有25人，180cm以上的有10人。請計算該班級學生的身高眾數。6.某地區居民家庭擁有汽車的數量分布如下：0輛的有500戶，1輛的有1000戶，2輛的有1500戶，3輛以上的有2000戶。請計算該地區居民家庭擁有汽車的平均數。7.某工廠生產一批產品，抽取10個樣本，得到的產品長度分別為：5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm、11cm、12cm、13cm、14cm，請計算這批產品的平均長度、方差和標準差。8.某班級學生的體重分布如下：體重在40kg以下的有5人，40kg-50kg的有10人，50kg-60kg的有15人，60kg-70kg的有20人，70kg以上的有10人。請計算該班級學生的體重中位數。9.某商店在一個月內銷售了200件商品，其中100件的價格在200元以下，100件的價格在200元以上。請計算該商店商品價格的標準差。10.某班級學生的年齡分布如下：15歲以下的有10人，15-20歲的有15人，20-25歲的有20人，25-30歲的有25人，30歲以上的有10人。請計算該班級學生的年齡眾數。二、概率與分布要求：請根據所給數據，完成以下計算題。1.拋擲一枚公平的硬幣，求出現正面和反面的概率。2.某地區某月份的降雨量分布如下：0-50mm的有100mm，50-100mm的有200mm，100-150mm的有300mm，150-200mm的有400mm，200mm以上的有500mm。求該地區該月份的降雨量期望值。3.某班級有50名學生，其中有30名學生成績優秀，20名學生成績良好，請計算該班級學生成績的眾數。4.某工廠生產的一批產品中，合格產品的概率為0.9，不合格產品的概率為0.1。求該批產品中合格產品的期望數。5.拋擲一枚均勻的骰子，求出現1、2、3、4、5、6點的概率。6.某地區某月份的氣溫分布如下：-10℃以下的有5天，-10℃-0℃的有10天，0℃-10℃的有15天，10℃-20℃的有20天，20℃-30℃的有25天，30℃以上的有5天。求該地區該月份的氣溫期望值。7.某班級有60名學生，其中有40名學生成績良好，20名學生成績優秀，請計算該班級學生成績的中位數。8.某工廠生產的一批產品中，不合格產品的概率為0.2，合格產品的概率為0.8。求該批產品中不合格產品的期望數。9.拋擲一枚均勻的骰子，求出現偶數的概率。10.某地區某月份的降雨量分布如下：0-50mm的有100戶，50-100mm的有200戶，100-150mm的有300戶，150-200mm的有400戶，200mm以上的有500戶。求該地區該月份的降雨量方差。四、假設檢驗要求：請根據所給數據，完成以下假設檢驗題。1.某工廠生產一批產品，抽取10個樣本，得到的產品長度分別為：5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm、11cm、12cm、13cm、14cm。已知該批產品的標準長度為10cm，標準差為2cm。請使用t檢驗方法，以0.05的顯著性水平檢驗該批產品的平均長度是否與標準長度一致。2.某班級學生的考試成績分布如下：平均分為80分，標準差為10分。從該班級中隨機抽取20名學生，他們的平均分為75分。請使用t檢驗方法，以0.05的顯著性水平檢驗這20名學生的平均分是否顯著低于班級平均分。3.某地區居民家庭月收入分布如下：10000元以下的有1000戶，10000-20000元的有2000戶，20000-30000元的有3000戶，30000-40000元的有4000戶，40000元以上的有5000戶。請使用卡方檢驗方法，以0.05的顯著性水平檢驗該地區居民家庭月收入分布是否符合正態分布。4.某工廠生產的一批產品，已知合格產品的平均重量為500克，標準差為10克。從該批產品中隨機抽取10個樣本，得到的產品平均重量為490克。請使用z檢驗方法，以0.05的顯著性水平檢驗這10個樣本的平均重量是否顯著低于已知合格產品的平均重量。5.某班級學生的身高分布如下：150cm以下的有10人，150cm-160cm的有15人，160cm-170cm的有20人，170cm-180cm的有25人，180cm以上的有10人。請使用卡方檢驗方法，以0.05的顯著性水平檢驗該班級學生的身高分布是否符合正態分布。五、回歸分析要求：請根據所給數據，完成以下回歸分析題。1.某地區某月份的降雨量（單位：mm）與氣溫（單位：℃）的數據如下：|降雨量（mm）|氣溫（℃）||--------------|------------||50|10||100|15||150|20||200|25||250|30|請使用最小二乘法建立降雨量與氣溫之間的線性回歸模型，并計算模型的參數。2.某商店在一個月內銷售的商品數量（單位：件）與銷售額（單位：元）的數據如下：|銷售數量（件）|銷售額（元）||----------------|--------------||100|5000||150|8000||200|12000||250|15000||300|18000|請使用最小二乘法建立銷售數量與銷售額之間的線性回歸模型，并計算模型的參數。3.某地區某月份的降雨量（單位：mm）與居民家庭月收入（單位：元）的數據如下：|降雨量（mm）|月收入（元）||--------------|--------------||50|2000||100|3000||150|4000||200|5000||250|6000|請使用最小二乘法建立降雨量與居民家庭月收入之間的線性回歸模型，并計算模型的參數。4.某班級學生的身高（單位：cm）與體重（單位：kg）的數據如下：|身高（cm）|體重（kg）||------------|------------||150|40||160|45||170|50||180|55||190|60|請使用最小二乘法建立身高與體重之間的線性回歸模型，并計算模型的參數。5.某地區某月份的氣溫（單位：℃）與居民家庭用電量（單位：度）的數據如下：|氣溫（℃）|用電量（度）||------------|--------------||10|100||15|150||20|200||25|250||30|300|請使用最小二乘法建立氣溫與用電量之間的線性回歸模型，并計算模型的參數。六、時間序列分析要求：請根據所給數據，完成以下時間序列分析題。1.某地區某月份的降雨量（單位：mm）數據如下：|月份|降雨量（mm）||------|--------------||1|50||2|60||3|70||4|80||5|90||6|100||7|110||8|120||9|130||10|140||11|150||12|160|請使用移動平均法預測下一個月的降雨量。2.某商店在一個月內銷售的商品數量（單位：件）數據如下：|日期|銷售數量（件）||----------|----------------||1月1日|100||1月2日|120||1月3日|130||1月4日|140||1月5日|150||1月6日|160||1月7日|170||1月8日|180||1月9日|190||1月10日|200|請使用指數平滑法預測下一天的銷售額。3.某地區某月份的氣溫（單位：℃）數據如下：|月份|氣溫（℃）||------|------------||1|10||2|15||3|20||4|25||5|30||6|35||7|40||8|45||9|50||10|55||11|60||12|65|請使用自回歸模型預測下一個月的氣溫。4.某班級學生的考試成績（單位：分）數據如下：|日期|考試成績（分）||----------|----------------||1月1日|80||1月2日|85||1月3日|90||1月4日|95||1月5日|100||1月6日|105||1月7日|110||1月8日|115||1月9日|120||1月10日|125|請使用趨勢預測法預測下一次考試的及格率。5.某地區某月份的居民家庭用電量（單位：度）數據如下：|月份|用電量（度）||------|--------------||1|100||2|150||3|200||4|250||5|300||6|350||7|400||8|450||9|500||10|550||11|600||12|650|請使用季節性分解法預測下一個月的居民家庭用電量。本次試卷答案如下：一、描述統計1.標準差=√方差=√100=10。2.平均質量=(10+12+14+13+11)/5=12.6克。方差=[(10-12.6)2+(12-12.6)2+(14-12.6)2+(13-12.6)2+(11-12.6)2]/4=1.44克2。標準差=√方差=√1.44=1.2克。3.中位數=(3000*100+4000*200)/(1000+2000+3000+4000+5000)=18000元。4.平均價格=(80*100+20*200)/100=160元。5.眾數=170cm（因為170cm區間內的學生最多）。6.平均數=(500*0+1000*1+1500*2+2000*3)/(500+1000+1500+2000)=1.5輛。7.平均長度=(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14)/10=10cm。方差=[(5-10)2+(6-10)2+(7-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2+(13-10)2+(14-10)2]/9=6.44cm2。標準差=√方差=√6.44=2.55cm。8.中位數=(20*40+25*50)/(5+10+15+20+25)=52kg。9.標準差=√[(100*(200-160)2+100*(200-160)2+100*(200-160)2+100*(200-160)2+100*(200-160)2)/5]=40元。10.眾數=25歲（因為25歲區間內的學生最多）。二、概率與分布1.P(正面)=P(反面)=1/2。2.期望值=(100*50+200*100+300*150+400*200+500*250)/2000=150mm。3.眾數=20分。4.期望數=10*0.9=9個合格產品。5.P(1、3、5、7、9)=5/6。6.期望值=(5*(-10)+10*(-10)+15*0+20*10+25*20+5*30)/50=15℃。7.中位數=(20*40+25*50)/(60)=45分。8.期望數=10*0.2=2個不合格產品。9.P(2、4、6、8)=1/2。10.方差=[(100-150)2+(200-150)2+(300-150)2+(400-150)2+(500-150)2]/2000=100mm2。三、假設檢驗1.樣本均值=(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14)/10=10cm。樣本標準差=√[(5-10)2+(6-10)2+(7-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(12-10)2+(13-10)2+(14-10)2]/9=2.55cm。t值=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(10-10)/(2.55/√10)=0。因為t值=0，且P(t>0)=1>0.05，所以不能拒絕原假設，即平均長度與標準長度一致。2.樣本均值=75分。總體均值=80分。樣本標準差=10分。t值=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(75-80)/(10/√20)=-1.58。因為t值=-1.58，且P(t>-1.58)=0.069<0.05，所以拒絕原假設，即這20名學生的平均分顯著低于班級平均分。3.卡方值=Σ(頻數-期望頻數)2/期望頻數。期望頻數=(總頻數*每個區間的概率)。計算卡方值并查表比較與0.05顯著水平對應的卡方值，判斷是否符合正態分布。4.樣本均值=490克。總體均值=500克。樣本標準差=10克。z值=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(490-500)/(10/√10)=-3.16。因為z值=-3.16，且P(z>-3.16)=0.999<0.05，所以拒絕原假設，即這10個樣本的平均重量顯著低于已知合格產品的平均重量。5.卡方值=Σ(頻數-期望頻數)2/期望頻數。期望頻數=(總頻數*每個區間的概率)。計算卡方值并查表比較與0.05顯著水平對應的卡方值，判斷是否符合正態分布。四、回歸分析1.使用最小二乘法計算斜率b和截距a。斜率b=∑(x-x?)(y-?)/∑(x-x?)2=(10*10+15*15+20*20+25*25+30*30-5*(10+15+20+25+30)/5)/(102+152+202+252+302-52*(10+15+20+25+30)/5)=1.25。截距a=?-b*x?=15-1.25*20=-2.5。線性回歸模型：y=1.25x-2.5。2.使用最小二乘法計算斜率b和截距a。斜率b=∑(x-x?)(y-?)/∑(x-x?)2=(100*500+120*800+200*12000+250*15000+300*18000-5*(100+120+200+250+300)/5)/(1002+1202+2002+2502+3002-52*(100+120+200+250+300)/5)=0.8。截距a=?-b*x?=5000-0.8*200=3600。線性回歸模型：y=0.8x+3600。3.使用最小二乘法計算斜率b和截距a。斜率b=∑(x-x?)(y-?)/∑(x-x?)2=(200*2000+300*3000+400*4000+500*50