高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省新高考2025屆高三適應性考試（第三次聯考）數學試題一、單選題1．已知集合A=-2,-1,0,1,2,3,B=xx2A．-2,-1,0,1,2,3 B．-2,-1,0,1,2 C．-1,0,1,2 D．0,1,2【答案】C【解析】因為A=-2,-1,0,1,2,3，B=所以A∩B=-1,0,1,2故選：C.2．已知i為虛數單位，復數z滿足z+2i?i=-1+iA．2 B．2 C．1 D．2【答案】B【解析】由z+2i?i=-1+i=i故選：B3．下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間π4,πA．y=sin2x B．y=cos2x C．【答案】D【解析】對于A，最小正周期為2π2=π，由x∈π4,對于B，最小正周期為2π2=π，由x∈π4,對于C，最小正周期為π，當x∈π4,π2對于D，最小正周期為π，當x∈π4,π2故選：D4．已知函數fx=x3-xA．關于點-2,2對稱 B．關于點2,-2對稱C．關于直線x=2對稱 D．關于直線x=-2對稱【答案】A【解析】因為f-x=-x所以fx函數y=fx+2+2的圖象可由fx的圖象先向左平移2所以函數y=fx+2+2的圖象關于點故選：A5．已知向量a=cosα,1,b=sinα,3，則“α=πA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當α=π3時，向量a=12由向量a=cosα,1，b=sin所以“α=π3”是“向量a,故選：A6．趙爽是我國古代數學家，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．如圖的“趙爽弦圖”中小正方形的面積為49，大正方形的面積為169，直角三角形中較大的銳角為α，則sin2α=（

A．713 B．49169 C．60169【答案】D【解析】由題意，大、小正方形的邊長分別為13，7，于是有13sinα-13cos兩邊平方得1-sin2α=49故選：D7．甲、乙等6人參加某次會議，會議安排其前后兩排入座，每排3人（如圖所示），其中甲坐后排，乙與甲前后、左右均不相鄰，則不同的坐法種數共有（

）A．144種 B．168種 C．192種 D．216種【答案】C【解析】如圖所示，甲坐位置①，乙有3種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有甲坐位置②，乙有2種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有甲坐位置③，乙有3種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有所以不同坐法種數共有72+48+72=192種．故選：C8．設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，P為拋物線C上任意一點，O為坐標原點，M為線段FP的中點，則直線OM斜率的最大值為（A．12 B．1 C．p2 D【答案】B【解析】由已知，Fp2,0，設Pt22p,tkOM=t2p另解：可取點Q-p2,0，連接PQ，則PQ//OM，直線OM的斜率kOM故選：B.二、多選題9．已知袋裝食鹽標準質量為400g，設甲、乙兩品牌袋裝食鹽質量的誤差分別為隨機變量X，Y，且X~N0,22，A．PX≤-2+PX≤2C．P(Y>0)>P(X<0) D．P【答案】AD【解析】對于A，作出隨機變量X,Y的正態分布密度曲線草圖，根據對稱性PX≤-2=1-PX≤2對于B，P(0<Y<3)+PY≤-3=P(0<Y<3)+PY≥3對于C，P(Y>0)=P(X<0)=12，選項對于D，對于正態分布X～Nμ,σ2，給定k∈則P-2≤X≤2=P-3≤Y≤3故選：AD10．已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=4,sinB+sinA．△ABC的周長為12 B．角A的最大值為πC．△ABC的面積最小值為23 D．△ABC的面積最大值為【答案】ABD【解析】對于A，由a=4,sinb+c=2a=8,△ABC的周長為a+b+c=12，選項A正確；對于B，因為bc≤b+c22因為A∈0,π,cosA≥12對于C，S△ABC=12bcsinA，當角A接近0對于D，S△ABC=12bcsinA故S△ABC在b=c=4,A=π3時取得最大值4故選：ABD.11．已知x=-1是函數fx=xA．函數fx的極小值為B．若-1<x<0，則fC．若0<m<1e2，則y=fD．若fx1=fx【答案】ACD【解析】對于A中，由函數fx=x因為x=-1是fx的極大值點，所以f'-1所以fx=x當x<-1時，f'x>0，fx單調遞增；當當x>0時，f'所以函數fx的極大值點為-1，極小值點為0，所以A對于B中，當-1<x<0時，x-x3=x因為fx在區間-1,0上單調遞減，所以fx3對于C中，由fx≥0，且當x→-∞時，fx→0可得fx當0<m<1e2時，y=ft-m對于D中，因為-1<x1<0<x2由fx在0,+∞上單調遞增，需證明即當-1<x1<0構造函數gx=fx則g'當-1<x<0時，g'x>0，則g所以gx=fx-f-x所以fx2<f-x故選：ACD.三、填空題12．已知雙曲線C:x2-y23=1，O為坐標原點，過雙曲線C的右焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于點M【答案】4【解析】c2=a2+由已知，一條漸近線的方程為y=3x，其傾斜角為所以FM=23，△MON的面積為故答案為：413．若?x0∈1,+∞【答案】3,+【解析】由1x0-1因為?x0∈令fx=x+1當且僅當x-1=1x-1，即x=2時取等號，所以m≥3，所以實數m的取值范圍為故答案為：3,+∞14．已知正四面體ABCD的棱長為2，其頂點都在球O的球面上，點M在棱CD上，且CM=34CD，則過點M的平面截球【答案】3【解析】如圖所示，由題可知棱長為1的正方體的頂點也都在球面O上，所以球O的半徑為R=3取CD的中點N，連接ON，則ON=1由CM=34CD且正四面體的棱長為2，可得則MN=DN-DM=2因為過點M的平面截球O所得截面為圓，則過點M且垂直于OM的截面為面積最小，設該截面圓半徑為r，則r=R可得所得截面的圓面積最小值為π×故答案為：3π四、解答題15．已知在各項為正的等比數列an中，a1=3，a2+6（1）求數列an（2）若bn=n2an+1-an解：（1）設各項為正的等比數列an的公比為q(q>0)由a1=3，所以因為a2+6是a1所以3+3q2=2解得q=3,q=-1（舍去），所以數列an的通項公式為a（2）由（1）可得，bn所以Sn3S兩式相減得-2=31-3所以Sn16．某工廠生產了兩批次的某種產品，現從兩批次的產品中共抽取500件進行檢測，根據檢測結果（“次品”或“合格品”）得到如下列聯表：（1）根據小概率值α=0.01的χ2（2）用樣本估計總體，頻率估計概率．現等可能地從兩批次中選一批次，再從該批次中隨機抽取1件產品．（?。┣笕〕龅漠a品是次品的概率；（ⅱ）已知取出的產品是次品，求它是從第一批次的產品中取出的概率．參考公式：χ2=n參考數據：解：（1）提出零假設H0由χ2根據小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗，推斷H即產品檢測結果與生產批次有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01；（2）設事件B=“取出的產品是次品”，事件A=“被選出的是第一批次”，（?。┮李}意，PAPB由全概率公式得：PB（ⅱ）取出的是次品，則它是從第一批次的產品中取出的概率為：PA17．動點Mx,y與定點F1,0的距離和點M到定直線l:x=4的距離的比是常數12，記點M（1）求曲線C的方程；（2）若直線m:kx-y-k=0與曲線C交于A,B兩點，（?。┣驛B的取值范圍；（ⅱ）是否存在實數k，使得點N17,0在線段AB解：（1）因為動點Mx,y與定點F1,0的距離和點M到定直線l:x=4的距離的比是常數可得(x-1)2+y24-x=1（2）聯立方程組x24+設Ax1,且x1+x（ⅰ）由弦長公式，可得AB=即AB=因為3<31+14k2（ⅱ）由x1+x可得AB的中點坐標為P4所以PN的斜率kPN因為點N17,0在線段AB的中垂線上，可得-7k所以存在k=±1，使得點N17,0在線段18．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為正方形，AB=2AA

（1）請說明當點P在何處時，A1（2）當點P滿足4BP=3BC時，求三棱錐P-（3）設二面角A1-EF-P的大小為θ，求解：（1）方法一：如圖，取CD的中點M，連接AM,MF，

由已知，AA1//MF，A易知，當點P位于點C的位置時，ECP此時A1平面ABCD//A若A1則A1F//EP，當點P不在點EP與AM不平行，從而與A1因此A1所以，當且僅當點P位于點C的位置時，A1方法二：根據已知，以D為原點，DA,DC,DD1為x軸、y軸、

設CP=t0≤t≤2又因為AB=2AA則A1所以A1顯然，A1E與A1由上可得，t-2,2,-1=m于是有t-2=-2n,2=m+n,-1=-m,此時，A1所以，當且僅當點P在點C的位置時，A1（2）由（1），A1設平面A1EF的法向量為則n不妨設x1=1，可得y1所以n=1,2,2為平面由已知，當4BP=3BC時，可得P所以點P到平面A1EF的距離為在△A1EF所以，S△A1（3）方法一：由（1）可知，A1

則二面角A1-EF-P的平面角θ與二面角C-EF-P的平面角所以sinθ=設點P到平面CEF的距離為h，點P到直線EF的距離為l，則sinθ=在矩形ABC1D1中，則BE⊥EF，又因為BE⊥BC，所以，BE是異面直線EF與BC的公垂線，故當點P運動至點B時，點P到直線EF的距離l最小，且lmin此時點P到平面CEF的距離h最大，即hmax等于點B到平面CEF的距離h所以，sinθ的最大值為h在△CEF中，EF=5CF邊上的高為EC由VB-ECF=V即S△CEF所以，12×2所以，sinθ的最大值為2方法二：由（2）可知平面A1EF的一個法向量為設Pt,2,00≤t≤2，則設平面PEF的法向量為m=x不妨設x2=1，可得y2所以m=1,2-t,2為平面則cosθ令9-2t=k，則5≤k≤9,1所以cosθ所以，當且僅當1k=15，即t=2時，此時，sinθ取得最大值219．定義二元函數fm,nm,n∈R，且同時滿足：①fm,1（1）求fπ（2）當0<m<π時，比較fm,nn∈（3）若x=0為gx=ln附：參考公式：sinαcoscosαcos解：（1）由題意知，m=πf=f==4（2）由已知fm,n+1當n≥2時，fm,nfm,n=fm,n所以2==43≥4當且僅當cos2km=1當n=1時，fm,n所以當0<m<π,n∈N（3）因為fx,2所以gx=lng'x=令hx則h'x=-令ux則u'可知當x∈-1,π2則當-π6<x<π6若h'0=2a-1≥0存在0<x0<π6，使得當0<x<所以在區間0,x0上所以x=0不是gx若h'0=2a-1<0存在x1∈0,π6，使得當-所以，在區間0,x1上，g'在區間-π6,0上，g所以，x=0是gx綜上所述，a的取值范圍為-∞四川省新高考2025屆高三適應性考試（第三次聯考）數學試題一、單選題1．已知集合A=-2,-1,0,1,2,3,B=xx2A．-2,-1,0,1,2,3 B．-2,-1,0,1,2 C．-1,0,1,2 D．0,1,2【答案】C【解析】因為A=-2,-1,0,1,2,3，B=所以A∩B=-1,0,1,2故選：C.2．已知i為虛數單位，復數z滿足z+2i?i=-1+iA．2 B．2 C．1 D．2【答案】B【解析】由z+2i?i=-1+i=i故選：B3．下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間π4,πA．y=sin2x B．y=cos2x C．【答案】D【解析】對于A，最小正周期為2π2=π，由x∈π4,對于B，最小正周期為2π2=π，由x∈π4,對于C，最小正周期為π，當x∈π4,π2對于D，最小正周期為π，當x∈π4,π2故選：D4．已知函數fx=x3-xA．關于點-2,2對稱 B．關于點2,-2對稱C．關于直線x=2對稱 D．關于直線x=-2對稱【答案】A【解析】因為f-x=-x所以fx函數y=fx+2+2的圖象可由fx的圖象先向左平移2所以函數y=fx+2+2的圖象關于點故選：A5．已知向量a=cosα,1,b=sinα,3，則“α=πA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當α=π3時，向量a=12由向量a=cosα,1，b=sin所以“α=π3”是“向量a,故選：A6．趙爽是我國古代數學家，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．如圖的“趙爽弦圖”中小正方形的面積為49，大正方形的面積為169，直角三角形中較大的銳角為α，則sin2α=（

A．713 B．49169 C．60169【答案】D【解析】由題意，大、小正方形的邊長分別為13，7，于是有13sinα-13cos兩邊平方得1-sin2α=49故選：D7．甲、乙等6人參加某次會議，會議安排其前后兩排入座，每排3人（如圖所示），其中甲坐后排，乙與甲前后、左右均不相鄰，則不同的坐法種數共有（

）A．144種 B．168種 C．192種 D．216種【答案】C【解析】如圖所示，甲坐位置①，乙有3種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有甲坐位置②，乙有2種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有甲坐位置③，乙有3種選擇，其他人不同坐法有A44種，共有所以不同坐法種數共有72+48+72=192種．故選：C8．設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，P為拋物線C上任意一點，O為坐標原點，M為線段FP的中點，則直線OM斜率的最大值為（A．12 B．1 C．p2 D【答案】B【解析】由已知，Fp2,0，設Pt22p,tkOM=t2p另解：可取點Q-p2,0，連接PQ，則PQ//OM，直線OM的斜率kOM故選：B.二、多選題9．已知袋裝食鹽標準質量為400g，設甲、乙兩品牌袋裝食鹽質量的誤差分別為隨機變量X，Y，且X~N0,22，A．PX≤-2+PX≤2C．P(Y>0)>P(X<0) D．P【答案】AD【解析】對于A，作出隨機變量X,Y的正態分布密度曲線草圖，根據對稱性PX≤-2=1-PX≤2對于B，P(0<Y<3)+PY≤-3=P(0<Y<3)+PY≥3對于C，P(Y>0)=P(X<0)=12，選項對于D，對于正態分布X～Nμ,σ2，給定k∈則P-2≤X≤2=P-3≤Y≤3故選：AD10．已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=4,sinB+sinA．△ABC的周長為12 B．角A的最大值為πC．△ABC的面積最小值為23 D．△ABC的面積最大值為【答案】ABD【解析】對于A，由a=4,sinb+c=2a=8,△ABC的周長為a+b+c=12，選項A正確；對于B，因為bc≤b+c22因為A∈0,π,cosA≥12對于C，S△ABC=12bcsinA，當角A接近0對于D，S△ABC=12bcsinA故S△ABC在b=c=4,A=π3時取得最大值4故選：ABD.11．已知x=-1是函數fx=xA．函數fx的極小值為B．若-1<x<0，則fC．若0<m<1e2，則y=fD．若fx1=fx【答案】ACD【解析】對于A中，由函數fx=x因為x=-1是fx的極大值點，所以f'-1所以fx=x當x<-1時，f'x>0，fx單調遞增；當當x>0時，f'所以函數fx的極大值點為-1，極小值點為0，所以A對于B中，當-1<x<0時，x-x3=x因為fx在區間-1,0上單調遞減，所以fx3對于C中，由fx≥0，且當x→-∞時，fx→0可得fx當0<m<1e2時，y=ft-m對于D中，因為-1<x1<0<x2由fx在0,+∞上單調遞增，需證明即當-1<x1<0構造函數gx=fx則g'當-1<x<0時，g'x>0，則g所以gx=fx-f-x所以fx2<f-x故選：ACD.三、填空題12．已知雙曲線C:x2-y23=1，O為坐標原點，過雙曲線C的右焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于點M【答案】4【解析】c2=a2+由已知，一條漸近線的方程為y=3x，其傾斜角為所以FM=23，△MON的面積為故答案為：413．若?x0∈1,+∞【答案】3,+【解析】由1x0-1因為?x0∈令fx=x+1當且僅當x-1=1x-1，即x=2時取等號，所以m≥3，所以實數m的取值范圍為故答案為：3,+∞14．已知正四面體ABCD的棱長為2，其頂點都在球O的球面上，點M在棱CD上，且CM=34CD，則過點M的平面截球【答案】3【解析】如圖所示，由題可知棱長為1的正方體的頂點也都在球面O上，所以球O的半徑為R=3取CD的中點N，連接ON，則ON=1由CM=34CD且正四面體的棱長為2，可得則MN=DN-DM=2因為過點M的平面截球O所得截面為圓，則過點M且垂直于OM的截面為面積最小，設該截面圓半徑為r，則r=R可得所得截面的圓面積最小值為π×故答案為：3π四、解答題15．已知在各項為正的等比數列an中，a1=3，a2+6（1）求數列an（2）若bn=n2an+1-an解：（1）設各項為正的等比數列an的公比為q(q>0)由a1=3，所以因為a2+6是a1所以3+3q2=2解得q=3,q=-1（舍去），所以數列an的通項公式為a（2）由（1）可得，bn所以Sn3S兩式相減得-2=31-3所以Sn16．某工廠生產了兩批次的某種產品，現從兩批次的產品中共抽取500件進行檢測，根據檢測結果（“次品”或“合格品”）得到如下列聯表：（1）根據小概率值α=0.01的χ2（2）用樣本估計總體，頻率估計概率．現等可能地從兩批次中選一批次，再從該批次中隨機抽取1件產品．（ⅰ）求取出的產品是次品的概率；（ⅱ）已知取出的產品是次品，求它是從第一批次的產品中取出的概率．參考公式：χ2=n參考數據：解：（1）提出零假設H0由χ2根據小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗，推斷H即產品檢測結果與生產批次有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01；（2）設事件B=“取出的產品是次品”，事件A=“被選出的是第一批次”，（?。┮李}意，PAPB由全概率公式得：PB（ⅱ）取出的是次品，則它是從第一批次的產品中取出的概率為：PA17．動點Mx,y與定點F1,0的距離和點M到定直線l:x=4的距離的比是常數12，記點M（1）求曲線C的方程；（2）若直線m:kx-y-k=0與曲線C交于A,B兩點，（?。┣驛B的取值范圍；（ⅱ）是否存在實數k，使得點N17,0在線段AB解：（1）因為動點Mx,y與定點F1,0的距離和點M到定直線l:x=4的距離的比是常數可得(x-1)2+y24-x=1（2）聯立方程組x24+設Ax1,且x1+x（?。┯上议L公式，可得AB=即AB=因為3<31+14k2（ⅱ）由x1+x可得AB的中點坐標為P4所以PN的斜率kPN因為點N17,0在線段AB的中垂線上，可得-7k所以存在k=±1，使得點N17,0在線段18．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為正方形，AB=2AA

（1）請說明當點P在何處時，A1（2）當點P滿足4BP=3BC時，求三棱錐P-（3）設二面角A1-EF-P的大小為θ，求解：（1）方法一：如圖，取CD的中點M，連接AM,MF，

由已知，AA1//MF，A易知，當點P位于點C的位置時，ECP此時A1平面ABCD//A若A1則A1F//EP，當點P不在點EP與AM不平行，從而與A1因此A1所以，當且僅當點P位于點C的位置時，A1方法二：根據已知，以D為原點，DA,DC,DD1為x軸、y軸、

設CP=t0≤t≤2又因為AB=2AA則A1所以A1顯然，A1E與A1由