北京數學理科試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\log_{2}(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)3.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則\(a_{7}\)的值為（）A.11B.12C.13D.144.已知\(i\)是虛數單位，復數\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.0B.1C.\(\sqrt{2}\)D.25.曲線\(y=x^{3}\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x-4\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=2x-3\)6.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)7.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y=2x\)，則其離心率為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)8.已知函數\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\e^{x},x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(-2))\)的值為（）A.-1B.0C.1D.\(e\)9.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.3B.4C.5D.610.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數字中任取\(3\)個不同的數字組成一個三位數，則這個三位數是偶數的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：1.A2.B3.C4.B5.A6.B7.A8.D9.C10.B多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^{2}+1)\)D.\(y=2^{x}\)2.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結論正確的有（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)3.以下哪些是直線的方程形式（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式4.對于空間向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)，下列說法正確的有（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)B.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c})\)C.\(\vert\vec{a}+\vec\vert\leq\vert\vec{a}\vert+\vert\vec\vert\)D.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)共線，則存在實數\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec\)5.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(0\lt\varphi\lt\pi)\)，若\(f(x)\)是偶函數，則\(\varphi\)的值可能為（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{3\pi}{4}\)6.一個正方體的棱長為\(a\)，則以下說法正確的有（）A.正方體的表面積為\(6a^{2}\)B.正方體的體積為\(a^{3}\)C.正方體的體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}a\)7.已知函數\(f(x)=x^{3}-3x\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個極值點B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調遞增C.\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞減D.\(f(x)\)的極大值為\(2\)8.下列概率模型中，是古典概型的有（）A.從區間\([1,10]\)內任取一個數，求取到\(5\)的概率B.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取一個數，求取到奇數的概率C.向一個正方形內隨機投一點，求點落在其對角線位置的概率D.拋擲一枚質地均勻的骰子，求向上點數為\(3\)的概率9.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)10.已知數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，則（）A.數列\(\{a_{n}+1\}\)是等比數列B.\(a_{n}=2^{n}-1\)C.數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=2^{n+1}-n-2\)D.\(a_{n}=3\cdot2^{n-1}-2\)答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.ACD5.A6.ABCD7.ABD8.BD9.ABCD10.ABC判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）2.函數\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）3.若直線\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與直線\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，則\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)。（）4.若\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，則\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點構成平行四邊形。（）5.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^{2}=ac\)。（）6.函數\(y=e^{x}\)與\(y=\lnx\)的圖象關于直線\(y=x\)對稱。（）7.若\(f(x)\)是奇函數，且\(f(0)\)有定義，則\(f(0)=0\)。（）8.一個球的半徑擴大為原來的\(2\)倍，則其體積擴大為原來的\(8\)倍。（）9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。（）10.直線\(y=kx+1\)恒過定點\((0,1)\)。（）答案：1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.√簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期和值域。答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。因為\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的值域是\([-1,1]\)，所以\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的值域是\([-3,3]\)。2.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，\(a_{3}=5\)，\(S_{5}=25\)，求\(a_{n}\)的通項公式。答案：設等差數列公差為\(d\)，由\(S_{5}=\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}=5a_{3}=25\)，得\(a_{3}=5\)。又\(a_{3}=a_{1}+2d=5\)，\(S_{5}=5a_{1}+\frac{5\times4}{2}d=25\)，解得\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，所以\(a_{n}=1+(n-1)\times2=2n-1\)。3.求曲線\(y=x^{2}+1\)在點\((1,2)\)處的切線方程。答案：對\(y=x^{2}+1\)求導得\(y^\prime=2x\)，當\(x=1\)時，\(y^\prime=2\)，即切線斜率\(k=2\)。由點斜式得切線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(y=2x\)。4.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\sin2\alpha\)的值。答案：因為\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，所以\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。則\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的單調性和極值情況。答案：對函數求導得\(y^\prime=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數遞減。極大值為\(y(0)=2\)，極小值為\(y(2)=-2\)。2.在解析幾何中，直線與圓的位置關系有哪幾種？如何判斷？答案：有三種位置關系：相離、相切、相交。判斷方法有兩種：一是比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是聯立直線與圓的方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=1\)，討論\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)的最小值及取得最小值時\(a\)，\(b\)的值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{4}=(\frac{1}{a}+\frac{4})(a+b)=1+\frac{a}+\frac{4a}+4=5+\frac{a}+\frac{4a}\)。由基本不等式，\(\frac{a}