人教版七年級下期末專題復習專題相交線與平行線01知識結構02重難點突破重難點1與相交線有關的角度計算【例1】．如圖，直線、相交于點，是的平分線．(1)的對頂角是___；(2)若，求的度數．方法指導求角度問題時，要善于從圖形中挖掘隱含條件，如鄰補角、對頂角，然后結合條件給出的角的和、差、倍、分等關系進行計算。變式訓練11．如圖，把一張長方形紙片的一角任意折向長方形內，使點B落在點的位置，折痕為，再把折疊，使點C、D分別落在點的位置，折痕為，與在同一條直線上．(1)分別直接寫出與，與之間所滿足的數量關系；(2)與之間什么關系？(3)是什么角？2．如圖，已知點為直線上一點，，，平分，．(1)求的度數；(2)試說明：平分；(3)若改變的大小，其余條件不變，設，(2)中的結論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請用表示．3．如圖，∠AOC=100°，∠BOE=80°，D，O，E三點在同一條直線上，∠AOD=37°，（1）求∠COE的度數；（2）請寫出一組相等的角，并說明理由．（平角相等除外）（3）若OM平分∠BOE，求∠COM的度數．4．如圖，直線相交于點D，．(1)若，求證：；(2)在（1）的條件下，若，求的度數．5．如圖，直線相交于點O，平分平分，，H是射線上的一點．(1)過點H畫直線的垂線，垂足為F；(2)在（1）問的基礎上求的度數（用含的式子表示）；(3)探究的大小和的大小是否有關？若有，請寫出的大小和的大小關系；若沒有，請說明理由．重難點2平行線的性質和判定【例2】．近年來，我國一直提倡“綠色環保、低碳生活”，健康騎行成為一種時尚、環保的運動，深受人們的青睞．小鄭的自行車示意圖如圖所示，其中，，．(1)求的度數；(2)試判斷與的位置關系，并說明理由．方法指導這類題目一般會綜合考查平行線的性質與判定，即“由形推角”或“由角判形”，所以解決此類問題時要明確條件或結論，不要產生混淆，性質是由“形”得到“角”，判定是由“角”得到“形”。變式訓練21．綜合與實踐在中華武術中，有雙節棍，三節棍，四節镋（如圖①），其中四節镋又稱镋鐮，是真正的軟兵器之一．小李家是武術世家，他用四節镋能拼出許多幾何圖形，如圖②，圖③是拼出的兩個示意圖．已知．(1)如圖②，求證：；(2)如圖③，判斷，和之間的數量關系，并說明理由；(3)在圖③中，已知，比的3倍小，直接寫出的度數．2．如圖，點、分別在線段和上，且于，于，．(1)求證：；(2)連接，若，，求．3．【問題背景】如圖，直線，點、在直線上，點、在直線上，連接，，已知．【問題探究】(1)如圖1，直線與直線平行嗎？為什么？(2)如圖2，點在直線上，且在點的右側，連接，分別作的平分線和的平分線相交于點，過點作，試探究與之間的數量關系，并說明理由．4．如圖所示，已知于，，，；求證：5．如圖，點D、E、H分別在線段上，連接，過點C畫交的延長線于點F，且滿足，若，，求證．重難點3命題【例3】．黑板上寫有3個命題：①若，則；②若是有理數，則；③若與都是銳角，則這兩個角的和是鈍角．(1)上述命題是真命題的是______（填序號），該命題的條件是______，結論是______；(2)對于上述命題中的假命題，請各寫出一個反例．方法指導要說明一個命題的正確性，可根據已有知識進行推理，論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可。變式訓練31．判斷下列語句是否是命題，如果是，改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出它們的題設和結論，同時判斷其真假（1）作直線AB的垂線．（2）相等的角是對頂角．（3）你喜歡數學嗎？（4）OC平分∠AOB．（5）兩直線平行，內錯角相等．（6）同角的補角相等．2．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；②；③．(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都寫出來；(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的假命題舉出一個反例（溫馨提示：）3．如圖，已知直線，給出下列信息：①；②平分；③．(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是，結論是(只要填寫序號)，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若比的倍少度，求的度數．4．如圖，點D，E，F分別是三角形的邊，，上的點，給定以下三個條件：①；②；③．請從這三個條件中選擇兩個作為條件（放在已知處），另一個作為結論（放在證明處）組成一個真命題，并進行證明．已知：________，________．求證：________．證明：5．如圖，點在上，直線交于點．請從①，②平分，③中任選兩個作為條件，余下一個作為結論，構造一個真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號）證明：重難點4平移的性質及應用【例4】．如圖，一個四邊形經過平移后得到四邊形．(1)線段的對應線段是___________；(2)的對應角是___________；(3)線段和線段有何關系？方法指導解決平移有關問題，只需熟練掌握平移的性質即可，即（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。變式訓練41．如圖所示，是由沿箭頭方向平移得到的．(1)若，求的度數；(2)若，求，的長．2．夏季荷花盛開，為了便于游客領略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點擬在如圖所示的長方形荷塘上架設小橋，橋寬忽略不計．(1)若荷塘的長為90米，寬為50米，則小橋總長為米；(2)若荷塘周長為米，則小橋總長為米．3．如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．4．如圖所示，某商場重新裝修后，準備在門前臺階上鋪設地毯，已知這種地毯的批發價為每平方米50元，其臺階的尺寸如圖所示，則購買地毯至少需要元．5．已知的頂點A平移到頂點D，請用兩種不同的方法，在圖中作出平移后的圖形．重難點5思想方法構造法【例5-1】．【閱讀理解】兩條平行線間的拐點問題經常可以通過作一條直線的平行線進行轉化．例如：如圖，直線，求證：（1）閱讀下面的解答過程，并填上適當的理由解：過點作直線，已知，，【方法運用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．方法指導有“拐點”時，常常過拐點作平行線，構造平行線的性質解決問題。變式訓練5-11．已知直線，點，在直線上，點，在直線上，的平分線與的平分線交于點，，．(1)如圖1，點在點的左邊，點在點的右邊，求的度數；(2)在（1）的條件下，求的度數；（用含的式子表示）(3)將圖1中的線段向左平移，使點落在點的左邊，其他條件不變，在圖2中畫出符合題意的圖形，并求出的值．2．如圖，若，，，求的度數．3．綜合與實踐：【問題初探】（）數學活動課上，王老師給出如下問題：如圖①，，點在之間且點在點右側，求證：（提示：過點作）；【類比探究】（）小明對王老師給出的問題進行改編：如圖②，，點在之間且點在點左側，猜想，，之間的數量關系：，并加以證明；【學以致用】（）如圖③是超市的購物車，圖④是其側面示意圖，已知，，測量得知，，直接寫出的度數．轉化思想【例5-2】．與是兩個完全相同的直角三角形．將沿點B到點C的方向從的位置平移到如圖所示的位置．若，圖中陰影部分的面積為84，，求平移的距離．方法指導根據平移不改變圖形的大小的性質，將零散的圖形轉化成規則圖形面積。變式訓練5-21．如圖，在三角形中，，，．將三角形沿向右平移，得到三角形，與交于點，連接．(1)分別求和的度數；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．2．如圖，將直角三角形沿方向平移線段的長度得到直角三角形，已知，，求圖中四邊形的面積．3．如圖，在三角形中，，，．將三角形沿向右平移，得到三角形，與交于點，連接．(1)________，________；(2)若，，求圖中陰影部分的面積；(3)已知點在三角形的內部，點經過相同平移后的對應點為，連接．若三角形的周長為，四邊形的周長為，請直接寫出的長度．人教版七年級下期末專題復習專題相交線與平行線（解析版）01知識結構02重難點突破重難點1與相交線有關的角度計算【例1】．如圖，直線、相交于點，是的平分線．(1)的對頂角是___；(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算、角平分線的定義、對頂角的定義、鄰補角的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）根據對頂角的定義即可解答；（2）根據角平分線的定義得到，再根據鄰補角的性質得到，即可求解．【詳解】（1）解：的對頂角是．故答案為：．（2）解：是的平分線，，，．方法指導求角度問題時，要善于從圖形中挖掘隱含條件，如鄰補角、對頂角，然后結合條件給出的角的和、差、倍、分等關系進行計算。變式訓練11．如圖，把一張長方形紙片的一角任意折向長方形內，使點B落在點的位置，折痕為，再把折疊，使點C、D分別落在點的位置，折痕為，與在同一條直線上．(1)分別直接寫出與，與之間所滿足的數量關系；(2)與之間什么關系？(3)是什么角？【答案】(1)，(2)與互余(3)是直角【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，鄰補角的性質，互余的定義等知識點，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．（1）根據鄰補角的性質可得答案；（2）由軸對稱的性質可得，，進而可得，于是可得答案；（3）由軸對稱的性質可得，，進而可得，然后根據即可得出答案．【詳解】（1）解：由鄰補角的性質可得：，；（2）解：由軸對稱的性質可得：，，∴，∴，答：與互余；（3）解：由軸對稱的性質可得：，，∴，∴，∴，答：是直角．2．如圖，已知點為直線上一點，，，平分，．(1)求的度數；(2)試說明：平分；(3)若改變的大小，其余條件不變，設，(2)中的結論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請用表示．【答案】(1)(2)見解析(3)（2）中的結論依然成立，理由見解答過程【分析】此題主要考查了角平分線定義，垂直定義，鄰補角定義，角的計算；（1）先根據鄰補角定義求出，再根據可得的度數；（2）先根據及角平分線定義得，進而得，則，由此即可得出結論；（3）根據鄰補角定義得，根據得，再根據角平分線定義得，進而得，則，由此即可得出結論．【詳解】（1）解：點為直線上一點，，，，，；（2），平分，，由（1）可知：，，，，，平分；（3）（2）中的結論依然成立，理由如下：點為直線上一點，，，，，平分，，，，，，平分．3．如圖，∠AOC=100°，∠BOE=80°，D，O，E三點在同一條直線上，∠AOD=37°，（1）求∠COE的度數；（2）請寫出一組相等的角，并說明理由．（平角相等除外）（3）若OM平分∠BOE，求∠COM的度數．【答案】（1）117°；（2）∠DOB＝∠AOC，理由見解析；（3）77°【分析】（1）根據∠AOC＝100°，∠AOD＝37°先求出∠DOC＝63°，再根據鄰補角的定義即可求得答案；（2）根據∠BOE＝80°結合鄰補角的定義可求得∠DOB＝100°，進而可證得∠DOB＝∠AOC；（3）根據OM平分∠BOE，∠BOE＝80°可得∠BOM＝40°，再根據∠DOB＝∠AOC可證得∠AOD＝∠BOC＝37°，最后根據∠COM＝∠BOC＋∠BOM即可求得答案．【詳解】解：（1）∵∠AOC＝100°，∠AOD＝37°，∴∠DOC＝∠AOC－∠AOD＝63°，∴∠COE＝180°－63°＝117°；（2）∠DOB＝∠AOC，理由如下：∵∠BOE＝80°，∴∠DOB＝180°－80°＝100°，∴∠DOB＝∠AOC；（3）∵OM平分∠BOE，∠BOE＝80°，∴∠BOM＝40°，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠DOB－∠DOC＝∠AOC－∠DOC，∴∠AOD＝∠BOC＝37°，∴∠COM＝∠BOC＋∠BOM＝77°【點睛】本題考查了角平分線定義和角的有關計算，能夠熟練運用鄰補角的定義是解此題的關鍵．4．如圖，直線相交于點D，．(1)若，求證：；(2)在（1）的條件下，若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查垂直的定義，幾何中角度的計算．（1）根據垂直的定義得到，結合，等量代換可得，即可證明；（2）由，根據，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，由（1）知，，∴．5．如圖，直線相交于點O，平分平分，，H是射線上的一點．(1)過點H畫直線的垂線，垂足為F；(2)在（1）問的基礎上求的度數（用含的式子表示）；(3)探究的大小和的大小是否有關？若有，請寫出的大小和的大小關系；若沒有，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)無關，理由見解析【分析】本題考查了畫垂線，互余與互補，角平分線的意義等知識．（1）按照畫垂線的方法進行即可；（2）由對頂角相等及互余關系即可求解；（3）由角平分線的意義及互補關系得，即可得的大小和的大小無關．【詳解】（1）解：如圖，垂線即為所畫；（2）解：∵，又∵，∴，∴；（3）解：的大小和的大小無關．理由如下：∵平分平分，∴，∴，∵，∴，即的大小和的大小無關．重難點2平行線的性質和判定【例2】．近年來，我國一直提倡“綠色環保、低碳生活”，健康騎行成為一種時尚、環保的運動，深受人們的青睞．小鄭的自行車示意圖如圖所示，其中，，．(1)求的度數；(2)試判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)(2)．理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定和性質，熟練運用平行線的相關性質解題是關鍵．（1）利用兩直線平行，同旁內角互補，即可解答；（2）證明，即可得到，即可解答．【詳解】（1）解：，．，；（2）解：．理由如下：，．．，，，．方法指導這類題目一般會綜合考查平行線的性質與判定，即“由形推角”或“由角判形”，所以解決此類問題時要明確條件或結論，不要產生混淆，性質是由“形”得到“角”，判定是由“角”得到“形”。變式訓練21．綜合與實踐在中華武術中，有雙節棍，三節棍，四節镋（如圖①），其中四節镋又稱镋鐮，是真正的軟兵器之一．小李家是武術世家，他用四節镋能拼出許多幾何圖形，如圖②，圖③是拼出的兩個示意圖．已知．(1)如圖②，求證：；(2)如圖③，判斷，和之間的數量關系，并說明理由；(3)在圖③中，已知，比的3倍小，直接寫出的度數．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，熟知平行線的性質與判定定理是解題的關鍵．（1）過點C作，則，由平行線的性質可得，據此可證明結論；（2）過點C作，則，由平行線的性質可得，再由即可推出結論；（3）根據（2）的結論先得到，再由，計算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點C作，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，過點C作，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴；（3）解：由（2）得，∵，∴，∴，∵比的3倍小，∴，∴，∴．2．如圖，點、分別在線段和上，且于，于，．(1)求證：；(2)連接，若，，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．（1）先證明得出，從而可證得，即可由平行線的判定定理得出結論；（2）先由平行線的性質得出，再由，根據得出，即可求得，然后由平行線的性質求解即可．【詳解】（1）證明：，，，．．又，，．（2）解：連接，如圖，，．，．又，．解得又，．3．【問題背景】如圖，直線，點、在直線上，點、在直線上，連接，，已知．【問題探究】(1)如圖1，直線與直線平行嗎？為什么？(2)如圖2，點在直線上，且在點的右側，連接，分別作的平分線和的平分線相交于點，過點作，試探究與之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質，與角平分線有關的計算，熟練掌握平行線的判定方法，是解題的關鍵：（1）平行線的性質得到，進而得到，即可得出結果；（2）根據平行線的性質，結合角平分線的定義，推出，即可得出結論．【詳解】（1）解：平行，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵作的平分線和的平分線相交于點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．4．如圖所示，已知于，，，；求證：【答案】證明見解析【分析】本題主要考查平行線的判定與性質，解答的關鍵是明確平行線的判定定理與性質，并靈活運用．由角的關系判定，通過平行線的性質找出角之間的關系，再利用角的關系判定其他直線平行，最終根據平行關系和已知垂直關系得出結論．【詳解】證明：，．，．．，．，．，．．．5．如圖，點D、E、H分別在線段上，連接，過點C畫交的延長線于點F，且滿足，若，，求證．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，先由平行線的性質和已知條件證明，則，再由平行線的性質和已知條件證明，則可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．重難點3命題【例3】．黑板上寫有3個命題：①若，則；②若是有理數，則；③若與都是銳角，則這兩個角的和是鈍角．(1)上述命題是真命題的是______（填序號），該命題的條件是______，結論是______；(2)對于上述命題中的假命題，請各寫出一個反例．【答案】(1)①，，(2)②當時，，③當，時，與都是銳角，【分析】本題主要考查了命題的判定，掌握相關知識的運算，命題真假的判定是關鍵．（1）根據平方，絕對值的性質，銳角、鈍角的數量關系判定即可；（2）根據命題的特點分別舉出反例即可．【詳解】（1）解：若，則，是真命題，命題的條件是：，結論是：；若是有理數，則不一定成立，是假命題；若與都是銳角，則這兩個角的和不一定是鈍角，是假命題；故答案為：①，，；（2）解：反例：②當時，，；③當，時，與都是銳角，．方法指導要說明一個命題的正確性，可根據已有知識進行推理，論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可。變式訓練31．判斷下列語句是否是命題，如果是，改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出它們的題設和結論，同時判斷其真假（1）作直線AB的垂線．（2）相等的角是對頂角．（3）你喜歡數學嗎？（4）OC平分∠AOB．（5）兩直線平行，內錯角相等．（6）同角的補角相等．【答案】（1）是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；題設是兩個角相等；結論是這兩個角是對頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問的句子，沒有對事情做出判斷，所以此語句不是命題；（4）陳述了一個事情，沒有做出判斷，不是命題；（5）是命題；如果兩平行線被第三條直線所截，那么內錯角相等；題設是兩平行線被第三條直線所截，結論是內錯角相等；此命題是真命題；（6）是命題；如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等；題設是兩個角是同一個角的補角，結論是這兩個角相等；此命題是真命題．【分析】判斷語句是否為命題要緊扣兩條：（1）命題必須是一個完整的陳述句；（2）必須對某件事情做出肯定或否定的判斷．這二者缺一不可．【詳解】（1）是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題；（2）是命題；改寫：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；題設：兩個角相等；結論：這兩個角是對頂角；此命題是假命題；（3）表示疑問的句子，沒有對事情做出判斷，所以此語句不是命題；（4）陳述了一個事情，沒有做出判斷，不是命題；（5）是命題改寫：如果兩平行線被第三條直線所截，那么內錯角相等；題設：兩平行線被第三條直線所截；結論：內錯角相等；此命題是真命題；（6）是命題改寫：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等；題設：兩個角是同一個角的補角；結論：這兩個角相等；此命題是真命題．【點睛】本題考查了命題的概念，判斷語句是否為命題的兩個條件是做題的關鍵．2．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；②；③．(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都寫出來；(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的假命題舉出一個反例（溫馨提示：）【答案】(1)一共能組成三個命題，見解析(2)都是真命題，推理見解析【分析】（1）（1）根據兩條件一結論組成命題，可得答案；（2）根據平行線的性質，可判定①②，根據平行線的判定，可判定③，即可【詳解】（1）解：一共能組成三個命題：①如果DE//BC，，那么；②如果DE//BC，，那么；③如果，，那么DE//BC；（2）解：都是真命題，如果DE//BC，，那么，理由如下：∵DE//BC，∴，∵，∴．如果DE//BC，，那么；理由如下：∵DE//BC，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，判斷命題的真假，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．3．如圖，已知直線，給出下列信息：①；②平分；③．(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是，結論是(只要填寫序號)，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若比的倍少度，求的度數．【答案】(1)①②；③；理由見解析(2)【分析】（1）由角平分線的定義可得，再根據等角的余角相等可得出，再由平行線的性質可得，從而結論得證；（2）由（1）得：，根據比的倍少度，可得關系式，求得，，再根據即可得到的度數．【詳解】（1）解：條件：①②，結論：③．理由如下：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案為：①②；③．（2）由（1）得：，∵比的倍少度，∴，∴，解得：，∴，∴．∴的度數．【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質，解方程組等知識．理解和掌握平行線的性質，等角的余角相等是解題的關鍵．4．如圖，點D，E，F分別是三角形的邊，，上的點，給定以下三個條件：①；②；③．請從這三個條件中選擇兩個作為條件（放在已知處），另一個作為結論（放在證明處）組成一個真命題，并進行證明．已知：________，________．求證：________．證明：【答案】見解析【分析】本題考查平行線性質和判定，根據題意選擇兩個作為條件，另一個作為結論組成一個真命題，并結合平行線性質和判定進行證明，即可解題．【詳解】解：（答案不唯一）已知：，，求證：．證明：，（兩直線平行，內錯角相等）．，（兩直線平行，同位角相等），．已知：，，求證：．證明：，（兩直線平行，內錯角相等）．，（等量代換），（同位角相等，兩直線平行）．已知：，，求證：．證明：，（兩直線平行，同位角相等）．，（等量代換），（內錯角相等，兩直線平行）．5．如圖，點在上，直線交于點．請從①，②平分，③中任選兩個作為條件，余下一個作為結論，構造一個真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號）證明：【答案】①②，③，證明見解析．（答案不唯一）【分析】根據平行線的性質可得，再由角平分線的性質可得，再利用等量代換可得【詳解】解：已知①②，求證∶③，證明∶∵，∴，∵平分，∴，∴．故答案為∶①②；③．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義、證明以及平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．重難點4平移的性質及應用【例4】．如圖，一個四邊形經過平移后得到四邊形．(1)線段的對應線段是___________；(2)的對應角是___________；(3)線段和線段有何關系？【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．（1）根據平移的性質解答即可；（2）根據平移的性質解答即可；（3）根據平移的性質解答即可．【詳解】（1）線段的對應線段是．故答案為：；（2）的對應角是．故答案為：；線段和線段有何關系為：．方法指導解決平移有關問題，只需熟練掌握平移的性質即可，即（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。變式訓練41．如圖所示，是由沿箭頭方向平移得到的．(1)若，求的度數；(2)若，求，的長．【答案】(1)(2)5，5【分析】本題考查了平移的性質，熟練掌握平行的性質是解題的關鍵．（1）根據平移的性質即可得到結論；（2）根據平移的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：是由沿箭頭方向平移得到的，，．（2）解：是由沿箭頭方向平移得到的，．2．夏季荷花盛開，為了便于游客領略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點擬在如圖所示的長方形荷塘上架設小橋，橋寬忽略不計．(1)若荷塘的長為90米，寬為50米，則小橋總長為米；(2)若荷塘周長為米，則小橋總長為米．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了生活中的平移現象，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．（1）根據平移的性質可得：小橋總長就等于長方形荷塘的長與寬的和；（2）由平移的性質得，小橋總長長方形周長的一半，據此即可求出答案．【詳解】（1）解：由平移的性質得，小橋總長就等于長方形荷塘的長與寬的和，∴，故答案為：．（2）由平移的性質得，小橋總長長方形周長的一半，∴，故答案為：3．如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．【答案】道路的寬為2米【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，設道路的寬為，利用平移得到草坪為一個長為，寬為的一個矩形，利用矩形的面積公式列出方程，進行求解即可．【詳解】解：設道路的寬為，由題意，得：，解得：（舍去），；答：道路的寬為2米．4．如圖所示，某商場重新裝修后，準備在門前臺階上鋪設地毯，已知這種地毯的批發價為每平方米50元，其臺階的尺寸如圖所示，則購買地毯至少需要元．【答案】元【分析】本題考查了生活中的平移，熟記平移的性質并理解地毯長度的求法是解題的關鍵．根據平移可知地毯的長度等于橫向與縱向的長度之和求出地毯的長度，再根據矩形的面積列式求出地毯的面積，然后乘以單價計算即可得解．【詳解】解：解：地毯的長度至少為：（米）；（元）．答：鋪設梯子的紅地毯至少需要米，花費至少元．5．已知的頂點A平移到頂點D，請用兩種不同的方法，在圖中作出平移后的圖形．【答案】見解析【分析】本題涉及平移的知識．熟練掌握平移的定義是關鍵．方法一：過點B作且使，過點C作且使，然后順次連接D、E、F即可；方法二：過點D作且使，過點D作且使，然后順次連接D、E、F即可．【詳解】解：方法一，如圖1；方法2，如圖2．重難點5思想方法構造法【例5-1】．【閱讀理解】兩條平行線間的拐點問題經常可以通過作一條直線的平行線進行轉化．例如：如圖，直線，求證：（1）閱讀下面的解答過程，并填上適當的理由解：過點作直線，已知，，【方法運用】（2）如圖2，直線，若，，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）【分析】本題考查了平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．（1）根據平行線的判定與性質求解即可；（2）根據（1）的方法過點作直線，進而根據平行線的判定與性質求解即可．【詳解】（1）解：過點作直線，兩直線平行，內錯角相等已知，，平行于同一條直線的兩條直線平行兩直線平行，內錯角相等（2）解：過點作直線，，，，，，，，°．方法指導有“拐點”時，常常過拐點作平行線，構造平行線的性質解決問題。變式訓練5-11．已知直線，點，在直線上，點，在直線上，的平分線與的平分線交于點，，．(1)如圖1，點在點的左邊，點在點的右邊，求的度數；(2)在（1）的條件下，求的度數；（用含的式子表示）(3)將圖1中的線段向左平移，使點落在點的左邊，其他條件不變，在圖2中畫出符合題意的圖形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性質進行靈活應用．（1）利用角平分線的性質和平行線的性質即可解答本題；（2）過點作，則，利用角平分線的性質表示，再根據平行線的性質及角的和差關系即可得答案；（3）根據題目要求畫出圖形，過點作，利用拐點模型即可解答此題．【詳解】（1）解：平分，，，，，∴的度數為．（2）解：如圖，過點作，則，平分，，∵，∴，，（3）解：如圖所示，平分，過點作，又∴的值為2．如圖，若，，，求的度數．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質與判定，過點作，得出，，進而即可求解．【詳解】解：如圖，過點作∴∴∵，∴∵，∴∴3．綜合與實踐：【問題初探】（）數學活動課上，王老師給出如下問題：如圖①，，