限時練習：90min完成時間：月日天氣：作業05排列組合與二項式定理1.求解排列應用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進行排列，然后用總排列數Aeq\o\al(n,n)除以m個順序一定的元素之間的全排列數Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價轉化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數)，避免重復計數．(2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．隔板法將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區域，剛好對應那個盒子環排問題(1)把個不同的元素圍成一個環狀，排法總數為(2)個不同的元素圍成一圈，個元素相鄰，符合條件的排列數為(3)個不同的元素圍成一圈，個元素不相鄰，符合條件的排列數為涂色問題涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區域搭配的可能，再進行涂色即可。2．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數項．(2)h(r)是非負整數?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數?Tr＋1是有理項．一、單選題1．五一假期，小明和他的同學一行四人決定去看電影，從《功夫熊貓4》、《維和防暴隊》、《哥斯拉大戰金剛2》這三部電影中，每人任選一部電影，則不同的選擇共有（）A．9種 B．36種 C．64種 D．81種【答案】D【分析】由分步計數原理求解.【詳解】四人依次選擇電影，每人都有3種選擇，則不同的選擇共有種.故選：D.2．今天是星期天，則天后是（

）A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一【答案】B【分析】利用二項式定理即可求解.【詳解】因為，所以除以7的余數為6，所以天后是星期六．故選：B.3．已知的展開式中所有項的系數和為，則展開式中的系數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用賦值法求得，進而根據兩個多項式相乘及展開式的通項求解【詳解】令，得，解得則，展開式的通項；當時，展開式中的系數為，當時，展開式中的系數為，所以展開式中的系數為故選：D4．“一帶一路”2024國際冰雪大會中國青少年冰球國際邀請賽在江蘇無錫舉行，現將4名志愿者分成3組，每組至少一人，分赴3個不同場館服務，則不同的分配方案種數是（

）A．18 B．36 C．54 D．72【答案】B【分析】先將4人分成3組，一組2人，一組1人，一組1人，再分配.【詳解】將4人分成3組，一組2人，一組1人，一組1人，分法有種，再分配給3個不同場館有，所以不同的分配方案種數種．故選：B.5．某校為了拓展同學們的視野，開設了數學類的校本課程，分別為：數學與生活、數學史、數學與金融三門課程．現由甲、乙、丙、丁、戊五名同學報名參加，每人僅能報名一門課程，每門課程至少有一個人報名，則不同的報名方法有（

）A．72 B．100 C．240 D．150【答案】D【分析】分別對各種情況進行討論，再利用分類加法計數原理求解即可.【詳解】三個小組的人數可能是或，若是的情況，則報名方法共有種；若是的情況，則報名方法共有種，所以共有種.故選：D.二、多選題6．在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．第3項為 B．常數項為20C．系數最大的項為第4項 D．二項式系數最大的項為第4項【答案】AD【分析】根據題意，求得二項展開式的通項，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由二項式在的展開式的通項公式為，對于A中，令，可得，所以A正確；對于B中，令，得，所以常數項為，所以B錯誤；對于C中，因為，所以C錯誤；對于D中，因為二項式的次數，可得展開式共有7項，根據二項式系數的性質，都可二項式系數最大的項為第4項，所以D正確.故選：AD.7．現將8把椅子排成一排，4位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（

）A．4個空位全都相鄰的坐法有120種 B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種C．4個空位均不相鄰的坐法有180種 D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有1080種【答案】AD【分析】對于A，利用捆綁法結合排列數；對于B，利用插空法結合排列數；對于C，利用插空法結合排列組合；對于D，根據分類加法原理結合插空法，可得答案.【詳解】對于A，將四個空位當成一個整體，全部的坐法：種，故A對；對于B，先排4個學生，然后將三個相鄰的空位當成一個整體，和另一個空位插入由4個學生形成的5個空檔中有種方法，所以一共有種，故B錯；對于C，先排4個學生，4個空位是一樣的，然后將4個空位插入由4個學生形成的個空檔中有種，所以一共有種，故C錯；對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，空位兩個兩個相鄰的有，空位只有兩個相鄰的有，所以一共有種，故D對；故選：AD.8．已知函數展開式中二項式系數和為256.則下列說法正確的有（）A． B．C． D．被6整除余數為1【答案】ACD【分析】利用二項式系數和為256，可得，再利用賦值方法來求，利用展開式通項公式求得，利用求導數和賦值方法可求得，利用構造二項式的展開式來判斷整除和余數.【詳解】由二項式系數和為256，可得：，所以，由，令得：，令得：，代入，可得：，故選項A是正確的；由展開式公式得：，故選項B是錯誤的；由函數求導得：，令得：，故選項C是正確的；由，可知選項D是正確的；故選：ACD．三、填空題9．有4人到甲?乙?丙三所學校去應聘，若每人恰被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為.（用數字作答）【答案】36【分析】根據分組分配問題即可結合排列組合求解.【詳解】根據題意，四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學校，有種不同的錄用情況；故答案為：36．10．已知的展開式中，含項的系數為，．則．【答案】【分析】根據二項展開式通項可求得，采用賦值法，令、可求得結果.【詳解】展開式通項為：，令，解得：，展開式中，含項的系數，，令，則，令，則，.故答案為：.四、解答題11．已知二項式的展開式中，二項式系數之和為128，系數和為1.(1)求與的值；(2)求其展開式中所有的有理項.【答案】(1)；(2)有理項為，，【分析】（1）根據二項式系數之和為128可得，再根據各項系數之和可得，即可求出；（2）利用二項展開式的通項公式即可求得其展開式中所有的有理項．【詳解】（1）二項式系數之和為，解得：，令可得二項式的展開式的系數和為：，解得：.（2）的展開式的通項為：，當為整數時，是有理項，則時，滿足題意，所以有理項為：，，.12．如圖，從左到右有5個空格．(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法?（用數字作答）(2)若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法?（用數字作答）(3)若把這5個格子看成5個企業，現安排3名校長與5個企業洽談，若每名校長與2家企業領導洽談，每家企業至少接待1名校長，則不同的安排方法共有多少種（用數字作答）．【答案】(1)96(2)48(3)180【分析】（1）先將排好，再排其他數字即可；（2）先涂第一個格子，再涂第二個格子，依次進行，求出每步的方法種數，即可得解；（3）法一：從5家企業中選一家，再從3位校長中選2位，再從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長，進而可得出答案.法二：先將五家企業分為3份，再將這3份分給3位校長即可.【詳解】（1）分2步：①第三個格子不能填0，則0有4種選法；②將其余的4個數字全排列安排在其他四個格子中有種情況，則一共有種不同的填法；（2）根據題意，第一個格子有3種顏色可選，即有3種情況，第二個格子與第一個格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，同理可得：第三、四、五個格子都有2種情況，則五個格子共有種不同的涂法；（3）法一：根據題意，有一家企業與2位校長談，其余4家企業只與1位校長談，第1步：從5家企業中選一家，第2步：從3位校長中選2位，第3步：從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長，第4步：在第2步選中的兩位校長，每位還要安排一家企業，因此有種．法二：五家企業記為A，B，C，D，E，把這五家企業分為3份，如，，，含有E的這一份要從A，B，C，D取一家組成2家，如取A得，前面分三份會出現，因此有，然后再分給3位校長，因此總排法有種．【點睛】方法點睛：求解涂色（種植）問題一般直接利用兩個計算原理求解：（1）按區域的不同以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理分析；（3）對于涂色問題將空間問題平面化，轉化為平面區域涂色問題.1．若將6本不同的小說全部分給3個同學，每本書只能分給一個人，每個人至少分一本書，則不同的分法的數量為（

）A．540 B．90 C．10 D．450【答案】A【分析】先將書分成三組，再將學生排列好，將每組的書分別發放給學生.【詳解】根據題意，每位同學至少分一本書，則分成三組，若分成三組，有種分組方法，若分成三組，有種分組方法，若分成三組，有種分組方法，從而分組方法有種；將分好的三組全排列，對應3名學生，有種情況.根據分步乘法計數原理，故共有種不同的分法.故選：A.2．如圖，用4種顏色標注6個地圖的區域，相鄰省顏色不同，不同的涂色方式共有種【答案】【分析】根據題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一種顏色，利用窮舉法，結合排列數公式，即可求解.【詳解】根據題意，用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一種顏色，共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，所以不同的涂色共有種.故答案為：.3．二項式的展開式中僅有第5項系數最大，則的展開式中x的系數為（

）A． B． C．28 D．56【答案】A【分析】由二項式的展開式中僅有第5項系數最大，求出，然后求出的通項，再分別乘以和1，由的指數為1求出，則可以得到x的系數.【詳解】因為二項式的展開式中僅有第5項系數最大，所以，因為的通項，所以，當時，，或，此時，，所以的展開式中x的系數為．故選：A.4．（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用賦值法即可求解ACD，根據4個個2或者選2個個即可求出展開式中的系數判斷B.【詳解】令，則;令，則，所以，故C錯誤;令，則，又，以上兩式相加可得，所以，所以，故正確;因為是的展開式的系數和，所以令，則，所以，故D正確;因為表示5個的乘積，所以選4個個2或者選2個個即可求出展開式中的系數為，則，故B錯誤.故選：AD5．國家教育部為了發展貧困地區教育，在全國重點師范大學免費培養教育專業師范生，畢業后要分到相應的地區任教.現有6個免費培養的教育專業師范畢業生要按照以下要求到3所學校去任教，有多少種不同的分派方法.(1)6人分配到三所學校甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人；(2)6人分配到三所學校一校1人、一校1人、一校4人；(3)6人分配到三所學校每所學校至少一人；【答案】(1)60(2)90(3)540【分析】（1）利用分步計數原理可求得方法數；（2）先將名學生按分為三個組有種方法，則可求人分配到分配到三所學校方法數；（3）分為三個組可分為三類，即①分組；②分組；③分組；再將再分好的三個組安排到三所學校可求總的方法數.【詳解】（1）名學生選名到甲學校任教有種方法；從剩余的名學生中選名到乙學校有種方法；剩余名學生都分配到丙學校去任教有種方法，則人分配到三所學校甲學校人、乙學校人、丙學校人共有種分配方法；（2）名學生按分為三個組有種方法，則人分配到三所學校一學校人、一學校人、一學校人共有種分配方法；（3）由題可得學生的分配方案可以有：①；②；③；①名學生按分為三個組有種方法，則人分配到三所學校共有種分配方法；②名學生按分為三個組有種分法，則人分配到三所學校一學校人、一學校人、一學校人共有種分配方法；③名學生平均分配到所學校有種方法；則人分配到三所學校每所學校至少一人一共有：種方法.1．的展開式中常數項為（

）A．544 B．559 C．495 D．79【答案】B【分析】若要展開式中出現常數項，需考慮六個括號中每個括號提供哪些項，分三種情況解決即可.【詳解】展開式中的常數項分三種情況：第一種，六個括號都提供，此時得到；第二種，六個括號中一個括號提供，兩個括號提供，三個括號提供，此時得到；第三種，六個括號中兩個括號提供，四個括號提供，此時得到，所以展開式的常數項為，故選：B.2．已知，則.【答案】4048【分析】求導賦值可得，直接賦值可得，即可得結果.【詳解】因為，兩邊同時求導得，令，可得，由，令，可得；令，可得；可得；所以.故答案為：4048.3．已知的二項展開式中，第2、3、4項的二項式系數依次成等差數列.(1)求的值；(2)求的展開式中所有的有理項；(3)在的展開式中，求的項的系數.【答案】(1)7(2)和(3)【分析】（1）根據二項式系數結合等差中項列式求解即可；（2）根據二項式定理可得，由，運算求解，代入通項即可得結果；（3）可知的展開式中的系數為，結合組合數性質分析求解.【詳解】（1）因為展開式中第2，3，4項的二項式系數依次成等差數列，則，整理得，解得或，又因為，，所以的值為7.（2）設第項為有理項，則，（），可知，解得或，若，可得；若，可得；所以展開式中所有的有理項為.（3）因為的二項展開式為，可知的展開式中的系數為，所以的展開式中的系數為：，所以展開式中的系數為495.1．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數為．【答案】【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數為.故答案為：60.2．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.3．（2023·全國·高考真題）甲