2025/6/26第10章博弈論1CONTENTS目錄2025/6/2610.1博弈的基本概念與分類10.2

完全信息靜態(tài)博弈10.3零和博弈10.4完全信息動態(tài)博弈210.1博弈的基本概念與分類2025/6/26何謂決策？背景什么是博弈？國際爭端：美、俄、中之間微妙的關系；敘利亞問題等最近烏克蘭危機，普京與西方國家的較量政黨競選：不同黨派的競選策略中央政府與地方政府：上有政策下有對策企業(yè)之間：價格戰(zhàn)、互聯(lián)網(wǎng)電商之爭共同之處：人或群體之間的利益沖突、對抗42025/6/26囚徒困境

52025/6/26背景囚徒困境兩個囚犯都可以做出自己的選擇：坦白抵賴警方給他們的規(guī)則：兩人都抵賴，就都會被輕判,各判一年；兩人都坦白，各判8年；一方抵賴，一方坦白，坦白者無罪釋放，抵賴者重判10年62025/6/26背景囚徒困境A.W.Tucker的囚犯困境(Prisoner‘sDilemma)：

囚徒B-8，-80,-10-10,0-1，-1囚徒A坦白抵賴坦白抵賴72025/6/26背景囚徒困境說明了什么在（坦白、坦白）這個組合中，兩囚徒Ａ和Ｂ都不能通過單方面的改變行動增加自己的收益，于是誰也沒有動力游離這個組合，因此這個組合是納什均衡，也叫非合作均衡。82025/6/26背景囚徒困境的意義“囚徒的兩難選擇”有著廣泛而深刻的意義。個人理性與集體理性的沖突，各人追求利己行為而導致的最終結局是一個“納什均衡”，也是對所有人都不利的結局。92025/6/26背景對經(jīng)典經(jīng)濟學的沖擊古典經(jīng)濟學的創(chuàng)始人亞當·斯密曾經(jīng)描述，市場機制這只“看不見的手”，會引導人們自利的行為促進社會的福利。博弈論的“囚徒困境”卻揭示，非合作的自利行為可能導致兩敗俱傷的情景。

102025/6/26背景現(xiàn)實中的“囚徒困境”見義勇為者常常孤立無緣；我國的應試教育制度下，學生的負擔、家長的焦慮；軍備競賽價格大戰(zhàn)（曾經(jīng)的家電大戰(zhàn)、民航大戰(zhàn)、牛奶業(yè)大戰(zhàn)）112025/6/26背景ElementsofGameTheory參與人一個博弈中的決策主體，他的目的是通過選擇行動（或策略）以最大化自己的效用。參與人可能是自然人，也可能是團體，如企業(yè)，國家等。重要的是：每個參與人必須有可供選擇的行動和一個很好定義的偏好函數(shù)。不做決策的被動主體只能被當作環(huán)境參數(shù)。122025/6/26背景行動ActionorMoves參與人在博弈的某個時點的行動選擇。如囚徒困境中囚徒的行動選擇集合{坦白,抵賴}N個參與人的行動的有序集稱為行動組合例如：（坦白，坦白），（坦白，抵賴）132025/6/26背景囚徒困境的例子A.W.Tucker的囚犯困境(Prisoner‘sDilemma)：

囚徒B-8，-80,-10-10,0-1，-1囚徒A坦白抵賴坦白抵賴142025/6/26背景支付payoff在一個特定的策略組合下參與人得到的確定效用水平，或是指參與人得到的期望效用水平。均衡equilibrium指所有參與人的最優(yōu)策略形成的組合。152025/6/26背景策略strategies參與人在給定信息集的情況下的行動規(guī)則，它規(guī)定參與人在什么時候選擇什么行動。策略與行動：策略是行動的規(guī)則而不是行動本身。在靜態(tài)博弈中，策略和行動是相同的。策略必須是完備的，要給出參與人在每一種可想象得到的情況下的行動選擇。162025/6/26背景行動的順序(sequenceorder)對于博弈的結果非常重要。有關靜態(tài)和動態(tài)博弈的區(qū)分就是基于行動的順序做出的。同樣的行動集合，行動的順序不同，每個參與人的最優(yōu)決策就不同，博弈的結果也不同。尤其在不完全信息博弈中，后行動者依賴觀察先行動者的行動來獲取信息。172025/6/26背景開發(fā)不開發(fā)開發(fā)不開發(fā)開發(fā)不開發(fā)開發(fā)商A開發(fā)商B(-3,-3)(1,0)(0,1)(0,0)行動的順序(sequenceorder)182025/6/26背景開發(fā)不開發(fā)開發(fā)不開發(fā)開發(fā)不開發(fā)(-3,-3)(1,0)(0,1)(0,0)開發(fā)商A開發(fā)商B開發(fā)商A策略空間{開發(fā)，不開發(fā)}開發(fā)商B策略空間{{不開發(fā),開發(fā)}，{開發(fā),不開發(fā)}，{開發(fā),開發(fā)}，{不開發(fā),不開發(fā)}}行動的順序(sequenceorder)192025/6/26背景信息information參與人有關博弈的知識，特別是有關自然的選擇，其他參與人的特征和行動的知識。202025/6/26背景信息與博弈知己知彼，百戰(zhàn)不殆。信息在博弈中發(fā)揮著重要的作用。冷戰(zhàn)時期，美國與蘇聯(lián)的間諜戰(zhàn)已眾所周知，驅(qū)逐間諜和交換間諜也是常有的事情。蘇聯(lián)解體后，俄羅斯與美國之間的冷戰(zhàn)結束，然而間諜戰(zhàn)并沒有因此而消失。早在2000多年前我國著名的《孫子兵法》中就強調(diào)了間諜的作用。在第13篇《用間篇》中討論了間諜的種類、作用及用法。212025/6/26背景信息與博弈田忌賽馬之所以成功，得益于對對手的賽馬信息了如指掌。——完全信息的博弈“上當?shù)墓哦獭薄煌耆畔⒉┺?22025/6/26背景順序和信息博弈論非常強調(diào)時間和信息的重要性，認為時間和信息是影響博弈均衡的主要因素。在博弈過程中，參與者之間的信息傳遞決定了其行動空間和最優(yōu)策略的選擇；同時參與人的行動次序(SequenceOrder）對博弈最后的均衡有直接的影響。232025/6/26背景博弈的分類博弈論根據(jù)其所采用的假設不同而分為合作博弈理論和非合作博弈理論。兩者的區(qū)別在于參與人在博弈過程中是否能夠達成一個具有約束力的協(xié)議(bindingagreement)。倘若不能，則稱非合作博弈Non-cooperativegame。合作博弈強調(diào)的是集體主義，團體理性CollectiveRationality，是效率、公平、公正。242025/6/26背景非合作博弈而非合作博弈則主要研究人們在利益相互影響的局勢中如何選擇策略使得自己的收益最大，強調(diào)個人理性、個人最優(yōu)決策，其結果則不一定是有效率的。本課程主要介紹非合作博弈，也就是各方在給定的約束條件下如何追求各自利益最大化，最后達到力量均衡。252025/6/26背景博弈的分類及對應的均衡靜態(tài)動態(tài)完全信息完全信息靜態(tài)博弈納什均衡；Nash(1950)完全信息動態(tài)博弈子博弈精煉納什均衡；澤爾騰（1965）不完全信息不完全信息靜態(tài)博弈貝葉斯納什均衡；海薩尼（1967-1968）不完全信息動態(tài)博弈精煉貝葉斯納什均衡；澤爾騰（1975）Kreps,Wilson(1982),Fudenberg,Tirole(1991)行動的順序信息262025/6/26背景博弈論的理論意義博弈論對于社會科學有著重要的意義，它正成為社會科學研究范式中的一種核心工具，以至于我們可稱博弈論是“社會科學的數(shù)學”，或者說是關于社會的數(shù)學。從理論上講，博弈論是研究理性的行動者（agents）相互作用的形式理論，而實際上它正深入到經(jīng)濟學、政治學、社會學等等，被各門社會科學所應用。272025/6/26背景博弈論與經(jīng)濟學博弈論進入主流經(jīng)濟學，反映了經(jīng)濟學發(fā)展的幾個趨勢：經(jīng)濟學研究的對象越來越轉(zhuǎn)向個體；經(jīng)濟學越來越轉(zhuǎn)向人與人關系的研究;經(jīng)濟學越來越重視對信息的研究,特別是信息不對稱對個人選擇及制度安排的影響。282025/6/26背景1994

TheprizewasawardedjointlytoJohnHarsanyi,JohnF.NashandReinhardSelten

fortheirpioneeringanalysisofequilibriainthetheoryofnon-cooperativegames.292025/6/26背景

1996

TheprizewasawardedjointlytoJamesA.MirrlessandWilliamVickery

fortheirpioneeringanalysisofInformationEconomics（不對稱信息條件下激勵機制問題）302025/6/26背景

2001

TheprizewasawardedjointlytoJeorgeAkerlof（阿克洛夫）、MichaelSpence（斯賓塞）andJosephStiglitz（斯蒂格利茨）

fortheirpioneeringanalysisof非對稱信息市場分析方面杰出貢獻

312025/6/26背景TheprizewasawardedjointlytoThomasC.Schelling(謝林）

RobertAumann（奧曼）Thetwoworkedindependentlytoapplygametheorytosocialandpoliticalproblems.

2005

322025/6/26背景

要想在現(xiàn)代社會做一個有文化的人，你必須對博弈論有一個大致了解。著名經(jīng)濟學家保羅·薩繆爾森332025/6/26背景為什么要學習博弈論博弈論告訴人們，要學會理解他人都有自己的思想，每個個體都是理性的，所以必須了解競爭對手的思想。但博弈論并不是療法，并不是處方。博弈論可以解釋經(jīng)濟中許多低效率現(xiàn)象的根源，找出導致低效率的制度原因，從而幫助政府制訂、修改政策完善交易制度和提高經(jīng)濟效率。3410.2完全信息靜態(tài)博弈2025/6/26背景博弈的策略式表述Normal(Strategic)FormRepresentation

完全信息靜態(tài)博弈標準式描述

362025/6/26背景

智豬博弈每次按出10個蘿卜，按者付出2個單位成本。小豬按，大豬先到，支付（收益）（9，1）；大豬按，小豬先到，支付（收益）（6，4）同時按，支付（收益）（7，3）

5，14，49，-10，0大豬按等待按等待小豬372025/6/26背景實際生活中的智豬博弈搭便車北約內(nèi)部，美國承擔了防務開支很大比例的份額，大大便宜了西歐和日本。美國經(jīng)濟學家曼庫爾.奧爾森將這一現(xiàn)象稱為“小國對大國的剝削”——“當家的不鬧事”公共物品，窮人和富人修路博弈（中產(chǎn)階級對社會的穩(wěn)定作用）；大企業(yè)大投入做廣告，小企業(yè)花精力模仿;大股東對管理者的監(jiān)督。382025/6/26背景智豬博弈與企業(yè)策略在實力懸殊公司之間的價格競爭策略也是這個道理。如果公司是弱小的一方，則可以選擇如下策略：（蒙牛、東星航空）首先是等待，靜觀其變。允許市場上占主導地位的品牌開拓本行業(yè)所有產(chǎn)品的市場需求。將自己的品牌定位在較低價格上，以享受主導品牌的強大廣告所帶來的市場機會。其次是不要貪婪，妄圖將“大豬”應得的那份也據(jù)為己有。只要主導品牌認為弱小公司不會對自己形成威脅，它就會不斷創(chuàng)造市場需求。392025/6/26背景智豬博弈與企業(yè)策略如果公司是“智豬博弈”中的大豬，在行業(yè)市場中占主導地位，則可采取以下策略：首先要接受小公司。作為主導品牌，加強廣告宣傳，創(chuàng)造和開拓對行業(yè)所有產(chǎn)品的市場需求才是真正的利益所在。不要采取降價這種浪費資源的做法與小企業(yè)競爭，除非它對公司形成了真正的威脅。正是小企業(yè)采取的低價格阻止了潛在進入者的涌入。402025/6/26背景

博弈的均衡分析（1）占優(yōu)策略不論其他參與人選擇什么策略，它的最優(yōu)策略是唯一的，這樣的最優(yōu)策略被稱為（嚴格）占優(yōu)策略。412025/6/26背景ANormalFormGamePlayer2Player112,1111,1214,1311,1010,1112,1210,1510,1313,14422025/6/26背景TheOutcomeThisoutcomeiscalledaNashequilibrium:“a”isplayer1’sbestresponseto“C”.“C”isplayer2’sbestresponseto“a”.Player2Player112,1111,1214,1311,1010,1112,1210,1510,1313,14432025/6/26背景KeyInsightsLookfordominantstrategiesWhenagamehasastrictlydominantstrategy,expectarationalplayertochooseit.Putyourselfinyourrival’sshoes442025/6/26背景（2）DominatedStrategy(劣策略)10,1025,2020,3015,25

Here,playerIIhasathirdoption--togivehisproductawayforfree.NomatterwhatplayerIdoes,playerIIisbetteroffwithanotherstrategy.Thisishenceadominatedstrategy.RightMiddleUpdownPLAYERIPLAYERII15,1530,20Left452025/6/26背景EliminationofStrictly

DominatedStrategiesAplayerhasastrictlydominatedstrategyifthereisoneaction/strategywhichalwaysprovidesalowerpayoffthananotherstrategy,nomatterwhatotherplayersdo.Ifyoucrossoff(除去）allstrictlydominatedstrategies,sometimesyouareleftwithonlyNE.462025/6/26背景RepeatedeliminationcanfindtheNE472025/6/26背景Nash均衡占優(yōu)均衡重復剔除劣策略的均衡EliminationofStrictly

DominatedStrategies482025/6/26背景Sometimestherearen’tdominatedstrategiessoyouhavetocheckforNEcellbycell

EliminationofStrictly

DominatedStrategies492025/6/26背景Nash均衡Formally,astrategyprofileformsaNE,ifforeveryplayeri,ui(si*,s-i*)

ui(si,s-i*),foranysiWhatisequilibrium?Equilibriumisastrategycombinationwherenooneplayerhasanincentivetochangeher/hisstrategygiventhestrategiesoftheotherplayers.502025/6/26背景囚徒困境的例子A.W.Tucker的囚犯困境(Prisoner‘sDilemma)：

囚徒B-8，-80,-10-10,0-1，-1囚徒A坦白抵賴坦白抵賴512025/6/26背景9.2.3策略式博弈的納什均衡求解方法（1）求解有限策略博弈的分析方法劃線法箭頭法522025/6/26背景(1)求解有限策略博弈的分析方法劃線法的基本思路： 每一位參與者先找出自己針對其他參與人的每種策略或策略組合（對多人博弈）的最佳策略，最后互為最優(yōu)策略的組合即為均衡。532025/6/26背景劃線法-8,-80,-10-1,-1Don’tconfessConfessDon’tconfessConfessPrisonerBPrisonerA-10,0(1)求解有限策略博弈的分析方法542025/6/26左中右上1,02,30,2下0,31,12,0Player1Player2(1)求解有限策略博弈的分析方法552025/6/26箭頭法的基本思路：是對博弈中的每一個策略組合進行分析，考察在每一個策略組合處各個博弈方能否通過單獨改變自己的策略而增加收益，直到得到的策略組合只有指向的箭頭，沒有指離的箭頭，即為均衡。(1)求解有限策略博弈的分析方法562025/6/26箭頭法-8,-80,-10-1,-1Don’tconfessConfessDon’tconfessConfessPrisonerBPrisonerA-10,0(1)求解有限策略博弈的分析方法572025/6/26(2)求解無限策略博弈的分析方法Cournotduopoly寡頭競爭模型在庫諾特模型里，有兩個參與人，分別為企業(yè)1和企業(yè)2，他們生產(chǎn)并銷售同一種產(chǎn)品，同時分別決定生產(chǎn)的產(chǎn)量，以追求各自利潤或效用最大化。該博弈中企業(yè)

的策略是選擇產(chǎn)量

。企業(yè)

的效用函數(shù)就是其利潤函數(shù)，分別表示為其中

表示企業(yè)

的生產(chǎn)成本；

表示產(chǎn)品的市場價格，是與兩個企業(yè)的產(chǎn)量相關的函數(shù)。582025/6/26Cournotduopoly寡頭競爭模型為簡單起見，令，其中

企業(yè)1和企業(yè)2的最優(yōu)策略選擇問題可分別表示為求解如下的優(yōu)化問題：而求解最優(yōu)解的方法是對每家企業(yè)的利潤函數(shù)求一階導數(shù)，并令其等于零，即一階條件，我們稱這個一階條件的解為企業(yè)1(或2)對企業(yè)2(或1)的策略的反應函數(shù)(reactionfunction)。592025/6/26根據(jù)上式，不難求出企業(yè)1和企業(yè)2的反應函數(shù)分別為：上述兩個反應函數(shù)的交點其實就是該博弈的納什均衡解

。

Cournotduopoly寡頭競爭模型602025/6/26Cournotduopoly寡頭競爭模型612025/6/26那也就是說，均衡點

即為兩個反應函數(shù)組成的方程組的解，求解該方程組即得Cournotduopoly寡頭競爭模型622025/6/26思考如果兩個企業(yè)之間的博弈不是靜態(tài)的，企業(yè)1先選擇，即是Leader；而企業(yè)2后行動，即是follower，會有什么博弈結果？632025/6/26

混合策略納什均衡及其求解SoccerPenaltyKicks-1

,

11

,

-11

,

-1-1

,

1GOALIELRKICKER

LR642025/6/26社會福利問題政府與流浪漢之間的博弈政府的策略選擇：救濟，不救濟流浪漢的策略選擇：找工作，游蕩3,2-1,30,0游蕩找工作不救濟救濟流浪漢政府-1,1非零和博弈652025/6/26分析類似的問題還有許多：如門衛(wèi)與小偷，偷稅與查稅等。以上例子都有一個共同的特征：每個參與人都想猜透對方的策略，同時又不想讓對方猜透自己的策略。這類問題都不存在原來意義上的Nash均衡，因此有必要拓展Nash均衡的定義。662025/6/26案例分析以猜硬幣為例蓋幣者：蓋幣者要使猜幣者不能準確猜中自己的策略，只有以隨機的方式出招；設蓋幣者出正面的概率為x,則出反面的概率為1-x;必須選擇出正面和反面的概率，使猜者不論猜正面或反面，其期望收益是相同的。猜幣者：猜正面的期望收益：x+(1-x)(-1)猜反面的期望收益：x(-1)+(1-x)x+(1-x)(-1)=x(-1)+(1-x)x*=1/2672025/6/26案例分析同理，若設猜幣者猜正面的概率為y,則在均衡時，其概率為：y*=1/2在該例中，假設了每個參與人在其策略空間上，有一概率分布,如蓋幣者{x,1-x},猜幣者{y,1-y},其均衡為：（{1/2，1/2}，{1/2，1/2}）682025/6/26混合策略Mixedstrategy純策略（purestrategy)：如果一個策略規(guī)定參與人在每一個給定的信息情況下只選擇一種特定的行動，稱為純策略。混合策略：如果一個策略規(guī)定參與人在給定的信息情況下以某種概率分布隨機地選擇不同的行動，稱為混合策略。692025/6/26混合策略Mixedstrategy

702025/6/26混合策略組合用表示參與人的混合策略空間；稱為一個混合策略組合；期望效用函數(shù)：712025/6/26混合策略Nash均衡定義：是一個混合策略Nash均衡，若對所有參與人i，有722025/6/26混合策略納什均衡的求解方法支付（效用）最大化法支付（效用）等值法7310.3零和博弈2025/6/26

基本概念零和博弈（Zero-Sumgame)

752025/6/26Zero-sumgame（零和博弈）762025/6/26另一種分析視角對每一個參與人，分析自己的每一個策略下，最壞的結果(意味著對對方最有利的結果），然后從中確定一個最好的結果，對應的策略即為自己的最佳策略772025/6/26零和博弈例：782025/6/26結果分析參與人1按最大最小原則參與人2按最小最大原則minjmaxiaij=maximinjaij=ai*j*=2

maximinjaijminjmaxiaij792025/6/269.3.2矩陣博弈的純策略納什均衡均衡（解）定義

802025/6/26求解812025/6/26判別定理零和博弈均衡存在的判別定理:零和博弈G={S1,S2;A}存在純策略的充分必要條件是，對任意的，i=1,..m,j=1,..,n,有：

ai*j*

稱為矩陣A的鞍點822025/6/26零和博弈均衡的性質(zhì)性質(zhì)1（無差別性）若（ai1,bj1)和（ai2,bj2),是博弈G的兩個解（均衡），則有ai1j1=ai2j2性質(zhì)2(可交換性)若（ai1,bj1)和（ai2,bj2),是博弈G的兩個解（均衡），則（ai1,bj2)和（ai2,bj1)也是博弈G的均衡。832025/6/26Sometimestherearen’tanyNEZero-sumgame（零和博弈）842025/6/26矩陣博弈的混合策略納什均衡零和博弈的混合策略及其均衡

852025/6/26零和博弈的混合策略博弈G={S1,S2;A)862025/6/26零和博弈的混合策略局中人1的收益函數(shù)：872025/6/26零和博弈的混合策略均衡定義：混合策略均衡滿足以下條件：

882025/6/26零和博弈的混合策略均衡定理：零和博弈G在混合策略意義下有解的充分必要條件：存在x*,y*,使對任意的x,y有：892025/6/26零和博弈的混合策略均衡定理：零和博弈G在混合策略意義下有解的充分必要條件：存在x*,y*,使對任意的i=1,2,…m;j=1,2,…n有：902025/6/26

矩陣博弈的求解如果設,，則參與人1的期望收益可表示為：

或

是矩陣博弈

的混合策略納什均衡解的充要條件是：定理

任一矩陣博弈

都一定存在混合策略意義下的納什均衡解。

912025/6/26定理的證明是構造性的，不僅證明了矩陣對策解的存在性，同時也給出了矩陣對策的一般求解方法，即線性規(guī)劃方法。矩陣對策的求解可轉(zhuǎn)化為求解互為對偶的線性規(guī)劃問題P)和D)。只要在問題P)中，做適當變換，即令：則問題P)等價于如下線性規(guī)劃問題P’：

矩陣博弈的求解922025/6/26同理，只要令：,則問題D)等價于如下線性規(guī)劃問題D’：顯然，問題P')和D')是互為對偶的線性規(guī)劃，可通過單純形法求解。然后再通過上述變換的逆變換，即可求得原對策問題的解。

矩陣博弈的求解932025/6/26例.利用線性規(guī)劃方法求解矩陣對策

，其中：解：該矩陣對策的最優(yōu)解可轉(zhuǎn)化為求解兩個互為對偶的線性規(guī)劃問題如下：P)D)

矩陣博弈的求解942025/6/26求解線性規(guī)劃P)和D)得：所以，該對策問題的解為：

矩陣博弈的求解9510.4完全信息動態(tài)博弈2025/6/26

擴展形式的博弈97例.“市場進入”博弈問題。有新企業(yè)1，考慮是否進入市場，如果企業(yè)1選擇進入，該市場現(xiàn)有企業(yè)2考慮是否降價進行價格戰(zhàn)。如果降價，雙方均受損，收益分別為?4和?3。如果企業(yè)1

進入后，現(xiàn)企業(yè)2

默許，雙方均可獲益，收益均為2