長沙市明達教育集團2025屆第十次月考試卷數學時間：120分鐘總分：150分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.2.歐拉公式把自然對數的底數e，虛數單位i，三角函數和聯系在一起，被譽為“數學的天橋”.若復數z滿足，則z的虛部為（）A.1 B.i C.2 D.2i3.如圖，，A，，，且A，B，，直線，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必經過（）A.點A B.點B C.點C但不過點M D.點C和點M4.某學校舉行運動會，該校高二年級2班有甲、乙、丙、丁四位同學將參加跳高、跳遠、100米三個項目的比賽，每人只能參加一個項目，每個項目至少有一個人參加，若甲、乙兩人不能參加同一項目的比賽，則不同參賽方案總數為（）A.24 B.30 C.32 D.365.已知等腰中，，，點P是邊BC上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.最大值為18 D.與P的位置有關6.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則外接圓的直徑為（）A.14 B.7 C. D.7.已知函數，.若，，.則下列關系式正確的是（）A. B. C. D.8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于A，B兩點，若A，B兩點的橫坐標之比是，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下列結論中正確的是（）A. B.，，是兩兩互斥的事件C. D.事件B與事件相互獨立10.已知等邊的邊長為6，M，N分別為邊AB，AC的中點，將沿MN折起至，在四棱錐中，下列說法正確的是（）A.直線平面B.當四棱錐體積最大時，平面平面MNCBC.在折起過程中存在某個位置使平面D.當四棱錐體積最大時，它的各項點都在球O的球面上，則球O的表面積為11.對于函數，下列說法正確的是（）A.函數的單調遞減區間為B.C.若方程有6個不等實數根，則D.對任意正實數，，且，若，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，常數項為______.13.已知函數，，當時，取得最值，且當時，單調遞增，則在上的零點個數為______.14.過點的直線與拋物線的一個交點是A，與y軸交于D點，且，P為拋物線C上一動點，則的最小值是______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分13分）已知等差數列的公差為2，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求使成立的最大正整數n的值.16.如圖，P為圓錐的頂點，AB為底面圓O的直徑，C為圓周上一點，D為劣弧BC的中點，.（1）求證：；（2）E在線段PB上且，當平面POC時，求平面PBC與平面ABC夾角的余弦值.17.（本小題滿分15分）已知雙曲線，直線PQ與雙曲線E交于P，Q兩點，直線MN與雙曲線E交于M，N兩點.（1）若直線MN經過坐標原點，且直線PM，PN的斜率，均存在，求；（2）設直線PQ與直線MN的交點為，且，證明：直線PQ與直線MN的斜率之和為0.18.（本小題滿分17分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數無極值點，求實數a的取值范圍；（3）若為函數的極小值點，證明：.19.（本小題滿分17分）某企業生產一種零部件，其質量指標介于的為優品.技術改造前，該企業生產的該種零部件質量指標服從正態分布；技術改造后，該企業生產的同種零部件質量指標服從正態分布.附：若，取，.（1）求該企業生產的這種零部件技術改造后的優品率與技術改造前的優品率之差；（2）若該零件生產的控制系統中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統中有超過一半的元件正常工作，系統就能正常工作.系統正常工作的概率稱為系統的可靠性.①若控制系統原有4個元件，計算該系統的可靠性，并判斷若給該系統增加一個元件，可靠性是否提高？②假設該系統配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統的可靠性？請給出你的結論并證明.明達中學2025屆高復部第十次月考數學參考答案題號1234567891011答案DCDBADACBCABBCD12、 13、4 14、四?解答題15.【詳解】（1）由題意知，，即，解得，故，.5分（2）由，7分得，，11分由，解得.故所求的最大正整數為5.13分16.【詳解】（1）證明：如圖，連接，因為為的中點，所以，又因為平面，故，，平面，所以平面，平面，則.4分（2）如圖，以為坐標原點，，為，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，，，設，則，設，則6分因為，，設平面的法向量為由，可取，8分又因為平面，所以，即得，10分于是，，則，所以，11分又，設平面的法向量為，則，可取，13分又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，14分則，所以平面與平面夾角的余弦值為.15分17.【詳解】（1）當直線經過坐標原點時，，兩點關于原點對稱.設，，，于是，.因為，，三點都在雙曲線，所以，兩式作差，，所以.6分（2）已知，由題意可知均有斜率，可設直線，直線，，，，.，.聯立直線方程與雙曲線的方程：.整理得，，當時，.，.10分于是，12分同理可得，.因為，所以整理得，，而，所以.15分18.【詳解】（1），，又，在點處的切線方程為：.3分（2）由題意知：的定義域為，若函數無極值點，在上單調，或在上恒成立；在上恒成立，，，解得：；5分下面證明充分性：當時，，又，，，令，當時，，在上單調遞增，又，為定義在上的偶函數，在上單調遞減，，，在上單調遞增，無極值點，充分性成立；綜上所述：..9分（3）由（2）可得：當時，函數無極值點.當時，令，則，當時，，又，為定義在上的奇函數，在上單調遞增，又，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，，，使得，在，上單調遞增，在上單調遞減；函數存在唯一的極小值點，且滿足.12分下證：.令，則，令，則，在上單調遞增，即，在單調遞增，，即又，，又，，15分即，，即，，又，.17分19.【詳解】（1）技術改造前，易知，，則其優品率為；技術改造后，，，則其優品率為.所以優品率之差為.4分（2）①記為原系統中正常工作元件個數，為增加一個元件后正常工作元件個數.由條件知，，.，.因為，所以可靠性提高.10分②方法一：根據上一問的假設，易知，.當為奇數時，設，原系統的可靠性為，新系統的可靠性，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當為偶數時，設，原系統的可靠性為，新系統的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性提高.綜上，當為奇數時，增加一個元件后系統的可靠性會下降；當為偶數時，增加一個元件后系統的可靠性會提高.17分方法二：當為奇數時，設，原系統的可靠性為，新系統的可靠性為，由題意可知，于是，，這說明可靠性降低.當為偶數時，設，原系統的可靠性為，新系統的可靠性為，由題意可知，于是，.這說明可靠性提高.綜上，當為奇數時，增加一個元件后系統的可靠性會下降；當為偶數時，增加一個元件后系統的可靠性會提高.方法三：設兩兩獨立且均服從二項分布，記，則該系統配置有個元件時，系統的可靠性為.則，且這就得到，.這表明，當為奇數時，增