第二章

一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程復習導入將下列各式分解因式：(1)5x2－4x＝_____________；(2)x2－4x＋4＝___________；(3)4x(x－1)－2＋2x＝_________________；(4)x2－4＝_______________；(5)(2x－1)2－x2＝________________．x(5x－4)(x－2)22(x－1)(2x＋1)(x＋2)(x－2)(3x－1)(x－1)實踐探究一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數是幾？你是怎樣求出來的？小穎、小明、小亮都設這個數為x.根據題意，可得方程x2＝3x.但他們的解法各不相同：小穎的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.這里a＝1，b＝－3，c＝0.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，∴x＝.即x1＝3，x2＝0，∴這個數是3或0.

小明的解法：方程x2＝3x兩邊同時約去x，得x＝3，∴這個數是3.小亮的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.∴x1＝3，x2＝0，∴這個數是3或0.解法分析(1)以上三種解法對嗎？為什么？(2)三種解法分別用的是什么方法？(3)小亮的解法是我們以前學過的哪種變形？利用這種方法解方程的依據是什么？(4)你能總結一下什么是因式分解法嗎？對于這道題，哪種解法更簡便？當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以用小亮的方法求解．這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法．引例：根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經過xs物體離地面的高度(單位：m)為10x-4.9x2.你能根據上述規律求出物體經過多少秒落回地面嗎(精確到0.01s)?分析：設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0，即10x-4.9x2=0①

解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.

∴

b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0

=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.4.9x2-10x=0.化為一般形式為因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.兩個因式乘積為0，說明什么？或降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根因式分解法是不是很簡單？10x-4.9x2=0①

x(10-4.9x)=0②

x=010-4.9x=0歸納總結

這種通過因式分解，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫做因式分解法.因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移—方程的右邊=0;二分—方程的左邊因式分解;三化—方程化為兩個一元一次方程;四解—寫出方程兩個解;簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解

解下列方程：(1)5x2=4x；

(2)x(x–2)=x–2.解：(1)原方程可變形為5x2–4x=0，x(5x–4)=0，x=0，或5x–4=0.(2)原方程可變形為x(x–2)–(x–2)=0，(x–2)(x–1)=0，x–2

=0，或x

–1=0.x1

=2，x2=1.應用舉例例1

用適當的方法解下列方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；

(2)3x2＝4x＋1；

(3)5x2＝4x－1.方法指導：解一元二次方程時，若沒有具體的要求，應盡量選擇最簡便的方法去解．能用因式分解法或直接開平方法的，選用因式分解法或直接開平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法時，要先計算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，則判斷原方程沒有實數根．沒有特殊要求時，一般不用配方法.例2解：(1)原方程可變形為3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，(x＋5)(3x－5)＝0，x＋5＝0，或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝

；

(2)將方程化為一般形式，得3x2－4x－1＝0.這里a＝3，b＝－4，c＝－1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x＝

＝

＝

，即x1＝

，x2＝

；

(3)將方程化為一般形式，得5x2－4x＋1＝0.這里a＝5，b＝－4，c＝1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程沒有實數根．

用適當的方法解方程：(1)（5x+1）2=1；

(2)x2-12x=4.分析：方程一邊以平方形式出現，另一邊是常數，可直接開平方法.解：開平方，得5x+1=±1.

解得，

x1=0,x2=

分析：二次項的系數為1，可用配方法來解題較快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開平方,得

解得x1=,x2=練一練填一填各種一元二次方程的解法及適用類型.一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0因式分解法概念步驟簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理將方程左邊因式分解，右邊=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).課堂小結與作業隨堂練習知識點1

用因式分解法求解一元二次方程1.方程(x－2)(x＋3)＝0的解是()A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝－3C.x1＝2，x2＝3 D.x1＝2，x2＝－3D2.(2025·丹東東港期中)方程x2＝3x的解為()A.x1＝x2＝0 B.x1＝x2＝3C.x1＝x2＝－3 D.x1＝0，x2＝3D3.一元二次方程x(x＋1)－2(x＋1)＝0的根是________________.

x1＝－1，x2＝2

4.用因式分解法解下列方程：(1)3x(x－1)＝2(x－1)；

4.用因式分解法解下列方程：(2)x(x－3)＝5x－15；解：移項，得x(x－3)－5x＋15＝0，∴x(x－3)－5(x－3)＝0.因式分解，得(x－3)(x－5)＝0，∴x－3＝0或x－5＝0，∴x1＝3，x2＝5.4.用因式分解法解下列方程：(3)(3x－2)2＝x2.解：移項，得(3x－2)2－x2＝0.因式分解，得(3x－2＋x)(3x－2－x)＝0，∴4x－2＝0或2x－2＝0，∴x1＝0.5，x2＝1.知識點2

用適當的方法解一元二次方程5.

在下列各題的橫線上填寫適當的解法.(1)解方程4(x－1)2－1＝24，用_______________法較合適；(2)解方程x2＋4x＝3，用________法較合適；(3)解方程3x2－5x＋1＝0，用________法較合適；(4)解方程(x－3)2－2(x－3)＝0，用___________法較合適.

直接開平方

配方

公式

因式分解6.用適當的方法解下列方程：(1)5(x－1)2＝125；解：兩邊都除以5，得(x－1)2＝25.兩邊開平方，得x－1＝±5，即x－1＝5或x－1＝－5，∴x1＝6，x2＝－4.6.用適當的方法解下列方程：(2)x2－2x＝2x－1；

6.用適當的方法解下列方程：(3)x2－5x－1＝0；

6.用適當的方法解下列方程：(4)x2－1＝2(x＋1).解：原方程變形為(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0.因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，∴x＋1＝0或x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.

易錯點

方程兩邊都除以含未知數的式子，導致失根7.【新考法·過程性學習】小敏與小霞解方程3(x－3)＝(x－3)2的過程如下：你認為她們的解法正確嗎？若不正確，請寫出正確的解答過程.小敏：兩邊同除以x－3，得3＝x－3，∴x＝6.小霞：移項，得3(x－3)－(x－3)2＝0.因式分解，得(x－3)(3－x－3)＝0，∴x－3＝0或3－x－3＝0，∴x1＝3，x2＝0.解：兩人的解法都錯誤.正確的解答過程如下：移項，得3(x－3)－(x－3)2＝0.因式分解，得(x－3)[3－(x－3)]＝0，即(x－3)(6－x)＝0，∴x－3＝0或6－x＝0，∴x1＝3，x2＝6.8.已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，則m2＋n2的值為()A.－4或2 B.－2或4C.4 D.2D9.三角形的兩邊長分別是7和11，第三邊的長是一元二次方程x2－25＝2(x－5)2的一個實數根，則該三角形的周長是()A.23 B.23或33C.24 D.24或30B10.用因式分解法解下列方程：(1)2(t－1)2＋t＝1；

10.用因式分解法解下列方程：(2)(2x－1)2＝(x－2)2.解：移項，得(2x－1)2－(x－2)2＝0.因式分解，得[(2x－1)－(x－2)][(2x－1)＋(x－2)]＝0，即(x＋1)(3x－3)＝0，∴x＋1＝0或3x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝1.11.(2025·沈陽渾南區期中)如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數根，其中一個實數根是另一個實數根的2倍，那么稱該方程為“倍根方程”.例如，方程x