2022年清華大學強基計劃測試數學試題考試時間2022年6月28日1.x&y2.a2+b3.已知復數z滿足z=1,求4.在復平面內,復數z1終點在1+i和1+ai表示兩點連成的線段上移動,z2=5.已知一個空間幾何體三視圖如下,都為中點最大邊長為2,求這個幾何體可能的體積A.23B.13C.3D.46.對于x∈R,fx滿足fx+f7.用藍色和紅色給一排10個方格染色,則不超過(忘記是不超過還是不少于)三個相鄰塊顏色相同的方法種數為A.504B.505C.506D.5078.對于三個正整數a,b,c,有a+9.已知a2+ab+b10.limn→∞11.曲線CA.曲線C僅過0,B.曲線C上的點距原點最大距離為2C.曲線C圍成的圖形面積大于4πD.曲線C為軸對稱圖形12.任意四邊形ABCD,AC=a,BD=13.已知ax+by=12022年清華大學強基計劃校測數學試題答案1.若x&y【解析】新定義題型由于變量的任意性,不妨帶入x2000即2000再代入x2000即2000由1.1,2000因此,2000&2.a2+b【解析】不等式問題袁逸凡解答對于a?b≤a+b,其取等條件為a當以上不等式都取等時,則有a令a≥a因為a+2因此,a?b+3.已知復數z=1,求【解析】復數的性質已知z1z設T令z+z≤=當且僅當t=4.在復平面內,復數z1終點在1+i和1z=z1+z2在復平面上表示的點圍成的面積為【解析】復數的軌跡設z1=z因此有x如下圖所示,則z在復平面上圍成的面積即為粉色區域,即S解得a=同理當a<1時,則有6.對于x∈R,fx有fx1≤f【解析】復合函數的性質由條件知:f設0≤x02f當x0=0時,則有∴當1因此f17.用藍色和紅色給一排10個方格涂色,則至多2個藍色相鄰的方法數為__504_.【解析】揷空法+?郁法8.對于三個正整數a,b,c,有a+【解析】數論不妨設a>b>c,令a9.已知a2+ab【解析】不等式a110.lim【解析】定積分放縮求極限,單調有界性準側利用定積分定義求和式的極限公式lim11.曲線C:A.曲線C僅過0,B.曲線C上的點距原點最大距離為2C.曲線C圍成的圖形面積大于4πD.曲線C為軸對稱圖形【解析】四葉玫瑰線設曲線C:fxx2x故B正確,C錯誤;聯立x2+y23=1612.任意四邊形ABCD,AC=a,結果用a,【解析】向量的回路恒等式AB證明:AB+因此:AD或者AC13.已知ax+by答案:163解:由題意可知x聯立上述兩式可得x此時x將(1)代入(2)可得a2023年清華大學強基計劃數學試題有六面旗，兩面藍，兩面紅，兩面黃，除顏色外完全相同，從這些旗子中去除若干面（至少一面），從上到下懸掛在同一個旗桿上，可以組成一個信號序列，則不同的信號序列共有多少種？已知a，x，k∈3、11個黑球，9個紅球，依次取出，剩下全是一種顏色就結束，求最后只剩下紅球的概率。4、三個復數的模分別為1，5，52，且這三個復數實部虛部均為整數，則這三個復數的積有多少個可能值。橢圓x24+y23=1，F為左焦點，A數列an滿足a1=32，a4x+1已知點M8，1，過點N1，0的直線L上有一個動點P，則PN+2PM兩個人甲和乙，數字為2～30之間的共29個自然數，現找出兩個不同的數，把其和告訴甲，把其和告訴乙。甲說：“雖然我不知道是哪兩個數，但是肯定乙也不知道”，再問乙，乙說：“本來我不知道，但是聽到甲說這句話，現在為我知道了”，甲聽到乙說他知道了，然后就說：“現在我也知道了”，那么這兩個數是多